Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч.1. Начертательная геометрия. Курс лекций по направлениям подготовки 23.03.01 «Технология транспортных
.pdf
Рис. 79
6.4 Способ плоско параллельного перемещения
При использовании способа вращения фигур иногда происходит наложение изображений. Этого можно избежать, применяя способ плоскопараллельного перемещения. Этот способ относится к способам третей группы.
Сущность этого способа заключается в том, что все точки геометрической фигуры перемещаются в плоскостях, параллельных одной из плоскостей проекций.
Следовательно, точки движутся в плоскостях
ций геометрической фигуры перемещается без изменения формы и размеров, а на другой проекции траектории движения точек параллельны оси 0Х.
Рассмотрим преобразование отрезка АВ прямой общего положения в
проецирующую прямую (рис. 80). Первоначально преобразуем прямую АВ
во фронталь, переместив проекцию А
без изменения размеров парал-
1В1
лельно оси 0Х (в произвольном месте). Точки прямой АВ перемещаются
параллельно плоскости π
. На фронтальной проекции траектории точек па-
1
раллельны оси 0Х. Новые фронтальные проекции отрезка А
1
1
В
ются на пересечении линий связи от А
с траекториями движения точек.
1
1
уровня, и одна из проек-
1
1
В
определя-
2
2
61
Рис. 80
1
Проекция А
1
В
является натуральной величиной АВ, так как первым
2
2
перемещением прямая преобразована во фронталь (характерный признак –
1
1
А
В
∥0Х).
1
1
Второе перемещение выполняется параллельно плоскости π
. Фрон-
2
тальная проекция перемещается без изменений размеров перпендикулярно
2
оси 0Х (А
2
В
⊥0Х). На горизонтальной проекции точки движутся парал-
2
2
лельно оси 0Х, и отрезок АВ преобразуется в горизонтально проецирую-
щую прямую.
6.5. Определение натуральных величин
геометрических объектов
Определение натуральных величин геометрических объектов базируется на использовании четырех основных задач. К таким параметрам геометрических объектов относятся 15 основных параметров.
1. Определение натуральной величины отрезка. (Задача № 1).
2. Расстояние между двумя точками. Между точками проводится
отрезок и решается задача № 1. Натуральная величина отрезка есть искомая величина.
3. Определение
шается задача № 1 и используются свойства прямых уровней.
4. Расстояние от точи до прямой. Прямая переводится в проеци-
рующие положение (задача № 2). Расстояние от проекции точки до вырожденной проекции прямой является искомой величиной.
5. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Одна из пря
мых переводится в проецирующие положение (задача №2). Перпендикуляр
угла наклона прямой к плоскости проекций. Ре-
-
62
от вырожденной проекции прямой до проекции другой прямой является
искомой величиной.
6. Расстояние между параллельными прямыми. Одна из прямых
переводится в проецирующие положение (задача № 2). Расстояние между
вырожденными проекциями прямых является искомой величиной.
7. Натуральная величина плоской фигуры. Плоская фигура заключается в плоскость. Затем эта плоскость переводится в
положение плоскости уровня (задача № 4). Натуральная величина плоской фигуры определяется по свойству плоскости уровня.
8. Угол между пересекающимися прямыми. Прямые заключаются в
плоскость и плоскость переводится в положение уровня (задача № 4). Угол
пересечения натуральных величин прямых является искомой величиной.
9. Угол между скрещивающимися прямыми. Используя параллельный перенос одной
из прямых, прямые доводят до положения пересечения
прямых и задачу решают, как определения угла между пересекающимися
прямыми.
10. Угол наклона плоскости к плоскости проекций. Плоскость пере-
водится в проецирующие положение (задача № 3). Угол наклона вырожденной проекции плоскости к оси является искомой величиной.
11. Расстояние от точки до плоскости.
Плоскость переводится в проецирующие положение (задача № 3). Перпендикуляр от проекции точки до
вырожденной проекции плоскости является искомой величиной.
12. Расстояние от прямой до плоскости, которой она параллельна.
Плоскость переводится в проецирующие положение (задача № 3). Перпендикуляр между проекциями прямой и вырожденной проекцией плоскости
является искомой величиной.
13. Расстояние между
параллельными плоскостями. Одна из плос-
костей переводится в проецирующие положение (задача №3). Перпендикуляр между вырожденными проекциями плоскостей является искомой величиной.
14. Определение двугранного угла. Линия пересечения плоскостей
переводится в проецирующие положение (задача №2). Угол между вырожденными проекциями плоскостей является искомой величиной.
15. Определение угла наклона прямой к
плоскости. Вначале плос-
кость переводится в плоскость уровня (задача № 4), а затем находится натуральная величина прямой (задача № 1). Угол между натуральной величиной прямой и вырожденной проекцией плоскости является искомой величиной.
Примечание. Если преобразование производится применительно к какому-то
одному геометрическому образу, то оно относится ко всему изображению в целом.
63
6.6. Контрольные вопросы
1. В чем заключается сущность способа замены плоскостей проекций?
2. Как определяется натуральная величина отрезка способом замены
плоскостей проекций?
3. Как получить проецирующею прямую способом замены плоскостей?
5. Как получить проецирующею плоскость способом замены плоско-
стей?
6. Как получить плоскость уровня способом замены плоскостей?
7. В чем заключается сущность способа вращения вокруг проецирую-
щей
прямой?
8. Как определяется натуральная величина отрезка способом вращения
вокруг проецирующей прямой?
9. Как получить проецирующею прямую способом вращения вокруг
проецирующей прямой?
10. Как получить проецирующею плоскость способом вращения вокруг
проецирующей прямой?
11. Как получить плоскость уровня способом вращения вокруг проеци-
рующей прямой?
12. В чем заключается сущность способа плоско параллельного пере-
мещения
13. Перечислите основные геометрические характеристики, опреде-
ляемые способами преобразования чертежа.
и в каких случаях он применяется?
64
Лекция 7. ПОВЕРХНОСТИ
7.1. Многогранники.
7.2. Классификация поверхностей.
7.3. Задание поверхностей на эпюре Монжа.
7.4. Пересечение поверхности проецирующей плоскостью.
7.5. Пересечение прямой с поверхностью.
7.6. Контрольные вопросы.
7.1. Многогранники
Отдельным классом поверхностей выделены многогранники. Многогранной поверхностью называется поверхность, образованная частями пересекающихся плоскостей. Если плоскости при этом замыкают пространство со всех сторон, то они образуют многогранник. Говоря другими словами многогранниками это тела, ограниченные плоскими п-угольниками
называемыми гранями.
Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют
Пирамида
остальные грани треугольники с общей вершиной – рис. 81а.
пирамиды, призмы и правильные многоугольники.
– это многогранник, одна грань которого многоугольник, а
Рис. 81
Пирамиду называют правильной, если основанием ее является правильный многоугольник и высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный
из вершины на основание) проходит через центр этого многоугольника –
рис. 81б.
Пирамида называется усеченной, если вершина ее отсекается плоскостью, пересекающей все ребра, исходящие из этой вершины – рис. 81в.
Призмой
призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы – рис. 82а.
называют многогранник, две грани которого (основания
65
Призму называют прямой, если ребра ее перпендикулярны плоскости
основания – рис. 82б. Если основанием призмы является прямоугольник,
призму называют параллелепипедом – рис. 82в.
Правильные многоугольники
. Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильным. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой. Более
двух тысяч лет назад древнегреческий философ Платон описал все 5 видов
правильных многогранников. Поэтому эти многогранники называют телами Платона.
Рис. 82
Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.
Тетраэдр
– правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (рис. 83а). Это и правильная треугольная
пирамида. Каждая из четырех граней тетраэдра может быть выбрана в качестве её основания. Перпендикуляр, опущенный из любой вершины тетраэдра на противолежащую грань, проходит через ее центр.
Октаэдр
– правильный восьмигранник (рис. 83б). Он состоит из восьми
равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по
четыре у каждой вершины. Каждая из диагональных плоскостей делит октаэдр на две пирамиды с основаниями в виде квадрата.
Гексаэдр
– правильный шестигранник (рис. 83в). Это куб, состоящий
из шести равных квадратов.
Додекаэдр
– правильный двенадцатигранник состоит из 12 правильных
и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины.
Два противолежащих пятиугольника можно принять за основания додекаэдра.
Икосаэдр
– состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, со-
единенных по пять около каждой вершины.
66
Рис. 83
Леонард Эйлер (1707-1783 гг.) открыл и доказал знаменитую теорему,
связывающую числа граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) любого выпуклого
многогранника: Г + В–Р = 2. Здесь число 2 называют числом Эйлера.
Задание многогранников на эпюре Монжа. Как видно
из рис. 84, каждый многогранник содержит грани, ребра и вершины. Их совокупность называется сеткой. На эпюре многогранники изображаются
проекциями своей сетки – рис. 85. Каждая вершина имеет своё обозначение. Ребра многогранников есть линии пересечения смежных граней. Каждая грань – это часть плоскости, ограниченной ребрами и сторонами основания многогранника.
Рассмотрим, в каком случае точка пространства будет принадлежать
многограннику.
Рис. 84
Понятно, что точка пространства может принадлежать: вершине многогранника, его ребру или грани многогранника.
В первом и втором варианте проблем изображения точки на чертеже
многограннике нет.
Если же точка принадлежит грани многогранника, т.е. плоскости, надо
пользоваться информацией: точка лежит в плоскости, если она лежит
на прямой этой плоскости.
Условимся
наблюдателя грани, в скобках, например, (E
записывать обозначение точки, лежащей на невидимой для
).
2
67
На рис. 85а задана проекция (E
), т.е. точка E располагается грани ADS
2
четырёхгранной пирамиды, невидимой относительно фронтальной плоскости проекции. Для нахождения горизонтальной проекции проводится прямая S-1 в грани BCS через вершину S, на горизонтальной проекции которой
и лежит E
.
1
Рис. 85
На рис. 85б задана проекция F2, т.е. точка F располагается на грани
BCS правильной четырёхгранной пирамиды, видимой относительно фронтальной плоскости проекции. Для нахождения горизонтальной проекции
проводится в грани BCS прямая, параллельная стороне AD основания пирамиды. На горизонтальной проекции этой прямой и лежит F
На рис. 85в задана проекция (G
), т.е. точка G располагается на грани
2
.
1
1-2-BA наклонной призмы, видимой относительно фронтальной плоскости
проекции. Для нахождения горизонтальной проекции проведена в грани
1-2-BA прямая, параллельная ребрам призмы. На горизонтальной проекции
этой прямой и лежит G
.
1
У прямой призмы (рис. 85г) грани занимают горизонтальнопроецирующее положение, поэтому горизонтальные проекции K
и L1 оп-
1
ределяются с помощью вертикальных линий связи на следах граней.
7.2. Классификация поверхностей
Для того, чтобы ориентироваться во всем многообразии поверхностей,
в способах задания и изображения поверхностей, необходимо классифицировать поверхности по общим, наиболее характерным признакам. Практически каждая поверхность может быть образована несколькими способами.
Однако наиболее целесообразным способом образования поверхностей яв-
68
ляется кинематический, основанный на определенных законах движения.
Такой подход к рассмотрению поверхностей позволяет выполнить их классификацию и, что не менее важно, выбрать наиболее рациональную технологию их воссоздания в металле или в другом материале.
Рассмотрим аппарат получения поверхностей (рис. 86).
Рис. 86
Введём обозначения:
– S – центр (точка относительно которой перемещается образующая);
– g – от слова genero (образую, порождаю);
– d – от слова dirigo (направляю).
Идея кинематического способа образования поверхностей состоит в
том, что линия g, относительно центра S, в пространстве перемещается
вдоль направляющей d и при движении образует поверхность. Линия может поступательно перемещаться, или
вращается, или перемещается по
винтовому закону, или, как по перилам, скользит по заданным линиям.
Линия g называется в этом случае образующей
, а множество ее поло-
жений в пространстве образует кривую поверхность Ф.
Линии d, по которым скользит образующая g, называются направляющими. Значит, образующие g и направляющие d обязательно пересекаются
друг с другом. Очевидно, от формы образующей и характера её изменения
зависит класс поверхности.
Если образующая g – прямая линия, то поверхность Ф называется линейчатой.
Если образующая g – кривая линия, то поверхность называется нелинейчатой.
Таким образом, выделено два класса поверхностей – линейчатые и нелинейчатые.
69
Из наиболее часто встречающихся в технике поверхностей выделены
поверхности вращения.
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вра-
щением образующей g вокруг оси вращения.
На рис. 87 изображены линейчатая поверхность вращения (конус), не-
линейчатая поверхность вращения (глобоид) и многогранник (пирамида).
Рис. 87
При вращении образующей, каждая ее точка описывает окружность с
центром S на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.
Параллель с минимальным размером радиуса называется горлом
симальным размером радиуса – экватором.
, а с мак-
Кривые, получающиеся в сечении тела вращения плоскостями, проходящими через ось, называются меридианами
. Меридиан, параллельный
фронтальной плоскости проекций, называется главным.
При вращении кривой 2-го порядка вокруг её оси образуется поверхность 2-го порядка:
окружность вокруг диаметра – сфера;
эллипс вокруг малой оси – сжатый эллипсоид вращения;
эллипс вокруг большой оси – вытянутый эллипсоид вращения;
парабола вокруг оси – параболоид вращения;
гипербола вокруг мнимой оси – однополостный гиперболоид враще-
ния;
гипербола вокруг действительной оси – двуполостный гиперболоид
вращения.
Если вращать вокруг оси прямолинейную образующую (прямую), то
возможны 3 вида поверхностей:
если g пересекает ось вращения – коническая поверхность вращения;
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]