Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
Рис. 5.10. Вероятность потерь для регулярного потока,
потока с равномерным распределением
Таким образом, при обслуживании потока вызовов коммута-
ционной системой каждый вызов занимает выход системы на некоторый промежуток времени. Если, например, выход одновременно обслуживает только один вызов, то загрузка выхода может
характеризоваться суммарным временем обслуживания всех вызовов, а коэффициент полезного действия или использование выхода
можно оценивать отношением суммарного времени обслуживания
всех вызовов ко времени действия выхода. В теории телетрафика
суммарное время обслуживания вызовов принято называть
нагрузкой. В теории телетрафика в большинстве случаев рассматривается обслуживание случайных потоков вызовов. При этом поступающая, обслуженная и потерянная нагрузки являются случайными величинами. Из определений указанных нагрузок следует,
что обслуженные, поступающие и потерянные вызовы имеют одну
81
Учебное пособие
и ту же среднюю длительность занятия. На практике данное условие часто не выполняется, поэтому при прогнозировании нагрузки
и расчете объема оборудования это необходимо учитывать.
Контрольные вопросы
1. Что определяет термин «нагрузка»?
2. Каковы свойства нагрузки?
3. Каковы наиболее важные параметры нагрузки?
4. Какова взаимосвязь поступающей и разговорной нагрузки?
5. Что представляют собой СМО с потерями заявок?
6. В чем суть первой формулой Эрланга?
82
Учебное пособие
1
0
//1// dMM
1
0
//// dVMM
1
0
//1// dGM
1
0
//1// drGM
1
0
//1// dDM
1
0
//1// dMM
t
etA
1)(
.1)(
1
t
etB
1
At
1
Bt
A
B
t
t
1
1
0
p
kk
k
pp
)1(0
1
N
2
)1(
)(
ND
)1(
W
6. СМО С ОЖИДАНИЕМ
Рассматриваются виды систем массового обслуживания следую-
щих видов:
.
6.1. СМО вида
Распределение промежутков между заявками (вызовами) под-
чиняется экспоненциальному закону:
Распределение длительности обслуживания вызовов подчиня-
ется экспоненциальному закону:
Средние значения интервалов между вызовами и времени об-
служивания определяется так:
,
,
,
. (6.1)
(6.2)
,
,
. (6.3)
Условие стационарности СМО:
. (6.4)
Вероятности состояний СМО:
. (6.5)
Среднее число заявок в СМО:
. (6.6)
Дисперсия числа заявок в СМО:
. (6.7)
Среднее время ожидания заявок в очереди:
. (6.8)
83
Учебное пособие
)1(
1
S
t
etW
)1(
1)(
t
etS
)1(
1)(
s
ss
s
)()(
)(
)1(1
22
kk
1
0
//// dVMM
i
p
Среднее время пребывания заявок в системе:
. (6.9)
ФР длительности ожидания начала обслуживания:
. (6.10)
ФР длительности задержки заявок в СМО:
. (6.11)
Преобразование Лапласа – Стилтьеса ФР интервалов между
заявками, покидающими СМО:
. (6.12)
По двум моментам легко определяется коэффициент вариации:
. (6.13)
Рис. 6.1. Зависимости длины очереди и времени пребывания заявок
в СМО от загрузки системы
6.2. СМО вида
Состояние «i» определяет наличие в СМО – в обслуживании и
на ожидании – ровно i заявок. Вероятность такого состояния СМО
обозначается через
. Можно показать, что СМО рассматривае-
мого вида справедливы такие соотношения:
84
Учебное пособие
!
)(
0
i
V
pp
i
i
Vio
!0V
V
pp
Vi
i
Vi
1
1
!
)(
!
)(
1
0
1
V
V
j
V
p
V
V
j
j
o
}0{ WP
)1(1
}0{
C
C
WP
C
)(L
1
}0{WPL
)(W
WL
}0{ WP
tV
eWPtWP
)1(
}0{1}{
0
t
C
tWP
}{
)1(
)]1(1ln[
0
Vt
C
при
при
(6.14)
.
Ожидание (Waiting) обычно обозначат буквой «W». В некото-
рых старых монографиях встречается обозначение «γ». Вероятность
ожидания
определяется второй формулой Эрланга:
, (6.15)
где
– вероятность потери вызова, рассчитанная по первой
формуле Эрланга для СМО без возможности ожидания.
Средняя длина очереди в СМО рассматриваемого вида
определяется по такой формуле:
. (6.16)
Среднее время ожидания начала обслуживания
рассчи-
тывается по теореме Литтла:
. (6.17)
На рис. 6.2 показано поведение функции
при раз-
личных величинах трафика и числа обслуживающих приборов.
ФР длительности ожидания:
. (6.18)
Для оценки эффективности дисциплины обслуживания с ожи-
данием определяется величина
, при которой
:
. (6.19)
85
Учебное пособие
}0{ WP
}{ tWP
}{ tWP
Рис. 6.2. поведение функции
и числа обслуживающих приборов
при различных величинах трафика
На рис. 6.3 показано влияние дисциплины обслуживания за-
явок на поведение плотности
Рис. 6.3. Влияние дисциплины обслуживания заявок
на поведение плотности
.
86
Учебное пособие
1
0
//1// dGM
)1(2
)1(
2
B
B
C
t
W
)1(2
)1(
1
2
B
B
C
t
S
)(
)1(
)(
sBs
s
sW
)(
)(
)1(
)( sB
sBs
s
sS
1
0
//1// drGM
)1( r
1r
P
.
1
)1(
21
r
r
.)1(
j
j
P
)1( r
.)1(
11
r
r
P
6.3. СМО вида
Среднее время ожидания заявок в очереди (формула Поляче-
ка-Хинчина):
. (6.20)
Среднее время пребывания заявок в системе (формула Поля-
чека-Хинчина):
. (6.21)
Преобразование Лапласа – Стилтьеса ФР длительности ожи-
дания начала обслуживания (уравнение Полячека – Хинчина):
. (6.22)
Преобразование Лапласа – Стилтьеса для ФР времени пребы-
вания в СМО (уравнение Полячека – Хинчина):
. (6.23)
6.4. СМО вида
Вероятность потери заявок для рассматриваемой модели – π
определяется состоянием СМО
, то есть
. Для СМО
с r местами для ожидания эта вероятность определяется таким
соотношением:
очереди вероятности состояний определяются следующим образом:
состоянии
(6.24)
Для СМО с неограниченным числом мест для ожидания в
(6.25)
Следовательно, вероятность того, что заявка застанет СМО в
, будет определяться так:
(6.26)
87
Учебное пособие
.
||
21
r
r
P
1r
P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ρ=0,8
ρ=0,5
ρ=0,2
r
δ
10
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
2,0
5,0
8r
8,0
1r
P
Относительная ошибка в оценке вероятности потерь заявок –
определяется простым соотношением:
(6.27)
На рис. 6.4 показана зависимость от r при различных зна-
чениях . При достаточно малых вероятностях потерь (сравнительно больших значениях r) величины и
жаются.
быстро сбли-
Рис. 6.4. Относительная ошибка при расчете вероятности потерь заявок
Ошибка меньше для СМО с невысокой загрузкой. Кстати,
– рекомендуемая величина загрузки для некоторых эле-
ментов сетей электросвязи. Если
представляются приемлемыми для оценки исследуемых ха-
рактеристик СМО.
Величины
грузки отдельных элементов инфокоммуникационной сети. Для
подобных задач использование величины
считать корректным из-за высоких значений ошибки .
Итак, при малой загрузке хорошей моделью системы можно считать СМО с неограниченным числом мест для ожидания.
в двух видах СМО
, то значения ошибки при
представляют интерес для режимов пере-
вместо нельзя
88
Учебное пособие
1
0
//1// dDM
VDM //
)1( V
)(
0
!
)]([
)1(}{
kt
k
t
k
e
k
tk
tWP
}{1 tWP
1//MM
1// DM
6.5. СМО вида
Для модели
ФР длительности ожидания получена
Кроммелином. Обычно результаты расчета ФР представляются в
графической форме. Они известны как кривые Кроммелина. Для
однолинейной системы
, на которую поступает поток за-
явок с интенсивностью выражение для расчета ФР длительности ожидания имеет следующий вид:
. (6.28)
На рис. 6.5. показано поведение дополнительных ФР, то есть
для СМО вида
и
.
Рис. 6.5. показано поведение дополнительных ФР
На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что системы с потерями обладают более высокой пропускной способностью. Ведь с точки зрения использования коммутационных
устройств (пучка линий) система с ожиданием создает более благоприятные условия, вызовы в очереди ожидают начала обслуживания и после освобождения каждая линия пучка немедленно занимается для обслуживания очередного ожидающего вызова.
В системах же с потерями освободившаяся линия может некоторое
89
Учебное пособие
1
0
//// dVMM
1
0
//1// dGM
1
0
//1// drGM
1
0
//1// dDM
время оставаться свободной и занимается только после поступления нового вызова.
Однако эти рассуждения не в полной мере отражают процессы обслуживания поступающего потока вызовов системой с ожиданием и системой с потерями.
Контрольные вопросы
1. Какому закону подчиняется распределение промежутков
между заявками (вызовами)?
2. Как определяется ФР длительности задержки заявок в
СМО?
3. Каково преобразование Лапласа – Стилтьеса ФР интерва-
лов между заявками, покидающими СМО?
4. В чем отличие СМО вида
и
?
5. Охарактеризуйте СМО вида
6. Охарактеризуйте СМО вида
?
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]