Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
4
p
0 1 2 3 4
1 ( ).p p p p p
0
p
Время
t
5
t
6
t
4
t
2
t
3
t
1
1
t
MAXT1
MINT1
1
t
MINT1
MAXT1
2
t
отказы в установлении соединения по вине телефонной сети –
;
Доля вызовов, окончившихся удачным установлением соединения (р0), может быть получена на основе очевидного соотношения:
(5.8)
Обычно в телефонных сетях величина
находится в диапа-
зоне 0,5–0,7. В сетях мобильной связи – по понятным причинам –
доля вызовов, закончившихся удачным установлением соединения
(в данном случае можно считать, что разговором, благодаря персонализации связи), существенно выше.
На рис. 5.4 показана структура длительности занятия в случае
успешного вызова. Этот простой рисунок позволяет наглядно
представить случайный процесс, который характерен для обслуживания телефонной нагрузки.
Рис. 5.4. Длительность занятия для успешного вызова
Время
начинается с момента поднятия микротелефонной
трубки (или проведения аналогичной операции) и заканчивается
набором первой цифры номера. Если абонент не начинает набор
номера, то по истечении некоторого контрольного времени
он услышит зуммер «Занято». Существует некоторое минимальное
время
, до которого набор номера невозможен. Это время,
измеряемое миллисекундами, необходимо для подачи абоненту
акустического сигнала «Ответ станции». Кроме того, абонент
может положить трубку, не приступив к набору номера. Таким
образом, случайная величина
как-то распределена на отрезке
(
,
Время
заканчивается, когда передана вся адресная информация. Абонент
).
начинается с момента набора первой цифры номера и
71
Учебное пособие
2
t
MINT2
MAXT2
3
t
4
t
4
t
MINT4
MAXT4
5
t
5
t
),0(
6
t
1
может прекратить набор, когда ему это покажется целесообразным.
Число набираемых цифр зависит от типа соединения. Кроме того,
некоторые абоненты делают паузы в процессе набора номера. Продолжая подобные рассуждения можно уяснить, что случайная вели-
чина
распределена на неком отрезке (
,
).
Случайная величина
нормируется в рекомендациях МСЭ се-
рии Q. За это время должен быть создан тракт между терминалами
вызывающего и вызываемого абонентов. Если такой процесс не реализуем или линия вызываемого абонента недоступна, то вызывающий абонент должен получить акустический сигнал «Занято».
За время
должен завершиться процесс прослушивания вы-
зывающим абонентом акустического сигнала «Контроль посылки
вызова». Можно выделить три характерных события:
вызывающий абонент повесил трубку, не ожидая ответа
(передумал или потерял терпение);
вызываемый абонент не ответил в течение допустимого
(разумного) времени;
соединение успешно установлено.
Несложно убедиться, что рассматриваемая случайная величина
распределена на отрезке (
,
).
Далее начинается фаза разговора (обмена информацией). Случайной величине
часто приписывают экспоненциальное распре-
деление. Правда, в ряде работ, основанных на результатах измерений, говорится о целесообразности использования иных законов
распределения. Можно отметить, что в общем случае областью из-
менения случайной величины
считается диапазон
.
Случайная величина
определяет отрезок времени, который
начинается после завершения разговора, а заканчивается освобождением всех коммутационных станций и транспортных ресурсов.
Эта величина измеряется миллисекундами, что часто позволяет
исключить ее из формул для расчета длительности занятия.
Можно ввести два коэффициента, которые будут характеризовать отношение между длительностью разговора и временем заня-
тия. Первый коэффициент –
определяется так:
72
Учебное пособие
5
1
1 2 3 4 5 6
.
t
η
t t t t t t
2
1 2 3 4 6
2
5
.
t t t t t
η
t
1
2
1
2
ПОС
Y
РАЗГ
Y
1
2
ПОС РАЗГ
Y θY
1
i
p
(5.9)
Этот коэффициент позволяет оценить долю длительности разговора в суммарном времени занятия. Второй коэффициент –
оценивает непроизводительное занятие сети (время, которое вы-
зывающий абонент не оплачивает):
(5.10)
При росте длительности телефонного разговора (в общем случае – времени обмена информацией) коэффициенты
и
при-
ближаются к единице и нулю соответственно. Оператор в принципе может влиять на длительность телефонного разговора или обмена информацией, изменяя, например, тарифную политику. Возможность управления такого рода ограничена коммуникативными
потребностями абонентов. Эффективный способ для достижения
разумных величин
и
– снижение непроизводительных за-
трат времени на операции, осуществляемые при установлении соединения.
Для решения ряда проектных задач необходимо определить
среднюю величину поступающей нагрузки (
). В качестве исходной информации часто используется среднее значение так
называемой разговорной нагрузки (
). Эту нагрузку проще
всего измерять. По аналогии с коэффициентами
ввести множитель – , который связывает два вида нагрузки:
результате измерений или рассчитана на основе ранее введенных
вероятностей
(AnswerSeizureRatio), измеряемый рядом Операторов развитых
стран.
ется иная терминология. В частности, термин «часо-занятие» заменяется словом «работа», а различие между понятиями «нагрузка» и «интенсивность нагрузки» отсутствует.
и
можно
. (5.11)
Очевидно, что
. Величина может быть определена в
. Ее аналогом можно считать коэффициент ASR
В некоторых публикациях, посвященных нагрузке, использу-
73
Учебное пособие
()
ij
Zt
ij
Z
ij ji
ZZ
j ой
j
D
.
j j j j
D C kY I
j
C
j
kY
j
Y
j
I
j
D
Нагрузка в телефонной сети распределяется между коммута-
ционными станциями. Свойства этого распределения можно установить с помощью матрицы
, которая определяет для мо-
мента времени t долю трафика, направляемого из коммутационной станции i в коммутационную станцию j. Обычно эту матри-
цу определяют для ЧНН. Это означает, что можно оперировать
величинами
. Как правило,
.
Нагрузку можно рассматривать и, в ряде случаев, необходимо
рассматривать как меру доходов Оператора. Обычно Операторы
сетей электросвязи используют различные принципы для разработки тарифных планов на предоставляемые ими услуги. Для ги-
потетической
услуги величина платы
, которую должен
внести абонент, может быть представлена такой суммой:
(5.12)
Величина
– постоянная составляющая, которая не зависит
от длительности соединения и полученной (или переданной) абонентом информации. Слагаемое
фика
(k – коэффициент пропорциональности). Плата за полу-
определяется величиной тра-
ченную (или переданную) абонентом информацию обозначена через
. В эту формулу не входит стоимость подключения терми-
нала к телекоммуникационной сети.
Значение
может быть равно нулю. Примером такой ситуа-
ции можно считать вызов оператора экстренных служб, осуществляемый набором двух цифр (01, 02, 03 и 04) в местной телефонной
сети. Формула (5.12) для каждой конкретной услуги может включать одно, два или все три слагаемых.
5.2. СМО с потерями заявок (полнодоступный пучок)
В полнодоступном пучке обслуживающих приборов любой
вход может быть связан с любым свободным выходом. Характерным примером полнодоступного пучка служит так называемый
74
Учебное пособие
k
p
V
i
i
k
k
i
Y
k
Y
p
0
!
!
k
p
k
p
V
v
p
V
i
i
v
Vcv
i
Y
v
Y
YEBp
0
!
!
)(
)(
)(
)(
1
1
YYEV
YYE
YE
V
V
V
«квадратный» коммутатор, в котором любой вход может быть
соединен с любым выходом.
Рассмотри полнодоступный пучок, состоящий из V исправных
линий. Пусть на него поступает нагрузка с интенсивностью Y. Ве-
роятность занятости ровно k линий –
определяется по такой
формуле:
. (5.13)
Очевидно, что сумма всех вероятностей
Набор вероятностей {
Пуассона. При
} называют усеченным распределением
распределение (5.13) становится пуассо-
равна единице.
новским.
Вероятность
определяет то состояние СМО, когда все ли-
нии заняты. Она используется как оценка вероятности потерь заявок. Ее обозначают разными символами:
. (5.14)
Формула (5.14) была выведена Эрлангом. Иногда ее называют
B-формулой Эрланга, или первой формулой Эрланга. Есть и другие
названия. Для вывода формулы (5.14) Эрлангом использовались
предположения о пуассоновском входящем потоке и экспоненциальном распределении длительности обслуживания заявок. Позже
Б. А. Севастьянов доказал, что соотношение, полученное А. К. Эрлангом, справедливо для любого закона распределения длительности обслуживания заявок.
Для рассматриваемой формулы Эрланга справедливо рекуррентное соотношение следующего вида:
. (5.15)
75
Учебное пособие
Это соотношение очень полезно для минимизации ошибки
вычислений вероятности потерь. Формула Эрланга табулирована.
Практически все учебники содержат таблицы, которые позволяют
вычислять одну из переменных в формуле (5.14). В подобных таблицах переменные меняются дискретно. Для емкости пучка это
естественно. Для других величин (вероятность потерь и нагрузка)
не всегда приемлема подобная форма представления данных.
Существует также ряд так называемых калькуляторов Эрлан-
га. Это очень простые программы, обычно работающие под операционной системой Windows. Они позволяют быстро вычислять
любую из величин, входящих в формулу (5.14), по двум заданным
аргументам. Калькуляторы Эрланга можно найти в Интернете.
Распределение числа занятых линий в пятилинейном пучке
СЛ приведено ниже для трех значения интенсивности нагрузки
(рис. 5.5–5.7).
Рис. 5.5. Распределение числа занятых линий в пятилинейном пучке СЛ
для трех значения интенсивности нагрузки
В первых автоматических системах коммутации использовался исключительно алгоритм обслуживания заявок с потерями.
В следующих поколениях коммутационной техники стали применяться различные виды алгоритмов с ожиданием. Тем не менее,
для пучков СЛ чаще всего используется алгоритм обслуживания с
потерями. Если свободной СЛ нет, то вызов теряется.
76
Учебное пособие
C
Y
T
Рис. 5.6. Зависимость вероятности потерь от интенсивности
поступающей нагрузки для нескольких значений количества линий V
Рис. 5.7. Зависимость интенсивности поступающей нагрузки
от вероятности потерь и емкости пучка СЛ в двух графиках
Такой способ обслуживания иногда называют алгоритмом с
явными потерями. Принято различать три вида явных потерь и
соответствующие вероятности:
потери по вызовам –
;
потери по нагрузке –
потери по времени –
;
.
77
Учебное пособие
C
T
Y
T
T
T
TYC
)](1[ YEYX
V
X
D
])[( XVYYEXD
VX
V
X
D
ойj
j
a
!)1( kkГ
Вероятность
за период времени
определяется отноше-
нием числа потерянных вызовов к их общему числу. Вероятность
за тот же период времени
вычисляется аналогично. Только
необходимо делить величины потерянной и поступающей нагрузки. Потери по времени за период
– та его часть, когда все по-
ступающие вызовы будут потеряны из-за отсутствия ресурсов для
обслуживания трафика. Эту часть периода
называют также
опасным временем. Для полнодоступного пучка, обслуживающего
пуассоновский поток первого рода, справедливо тождество:
. (5.16)
Для анализа СМО с потерями часто необходимо определить
среднее число занятых линий X в пучке емкостью V, который
обслуживает нагрузку с интенсивностью Y. Эта величина определяется следующим образом:
. (5.17)
Естественно, что число занятых линий в пучке емкостью V –
случайная величина. Поэтому целесообразно оценить ее диспер-
сию –
. Она вычисляется по такой формуле:
. (5.18)
Для случая
справедливо такое соотношение: X=
=Y.
Первый график (рис. 5.8) свидетельствует, что обслуженная
нагрузка в расчете на одну линию растет по мере увеличения емкости пучка V. Это явление объясняется природой трафика.
Для решения ряда задач необходимо знать интенсивность
нагрузки, обслуженной
линией полнодоступного пучка,
.
Соответствующий график показывает, что лучше используются линии с меньшим значением j (рис. 5.9).
Формула (5.14) определена для целых значений V. В некоторых случаях интересны дробные значения V. Тогда использует
выражение, содержащее гамма-функцию, которая для целых значений определяется факториалом:
Кроме того, фор-
мула (5.14) может использоваться для расчета вероятности потерь
78
Учебное пособие
X
D
i
)( iNi
в СМО при поступлении потока, являющегося неординарным. Соответствующие формулы громоздки и приводятся редко.
Рис. 5.8. Зависимость величин X и
нагрузки в двух графиках
от интенсивности поступающей
Рис. 5.9. Графики нагрузки линией полнодоступного пучка
Для пуассоновского потока второго рода, который генерируется конечным числом источников трафика, справедлива формула
Энгсета. Речь идет о примитивном потоке с параметром
. Дли-
тельность обслуживания заявок в СМО предполагается случайной
с экспоненциальным распределением. Параметр примитивного
потока определяется числом источников нагрузки (N) и параметром потока вызовов свободного источника (a):
. (5.19)
79
Учебное пособие
Y
V
k
k
k
N
V
V
N
C
YC
YC
0
1
1
C
Y
T
V
k
k
k
N
V
V
N
T
YC
YC
0
TC
C
Y
T
TY
p
N
V
p
1
V
N
TCY
ppp
Введем единый параметр интенсивности нагрузки:
. (5.20)
С учетом принятых обозначений вероятность потери вызова
можно представить следующим образом:
. (5.21)
Данное выражение представляет собой формулу Энгсета для
вероятности потерь по вызовам. Тождество
соновского потока второго рода нельзя считать верным. Для расчета вероятности потерь по времени справедлива такая формула:
. (5.22)
=
=
для пуас-
Очевидно, что
. Этим СМО с входящим пуассоновским потоком второго рода отличаются от тех систем, для которых
справедливо тождество
=
=
. Потери по нагрузке опреде-
ляются по такой формуле:
. (5.23)
Очевидно, что при
и
справедливо неравенство
.
Вероятность потерь для регулярного потока, потока с равно-
мерным распределением A(t) и пуассоновского потока, иллюстрируется при помощи семейства кривых для разных значений количества линий V.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]