Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
)(xp
e
x
xp
x
!
)(
)(xF
.0x
0x
0
()
!
i
k
λ
i
λ
F x e
i
Математическое
ожидание
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
1
1
)(xf
1
.3
x x
f1(x) f2(x)
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6
0,4
0,3
0,2
0,1
0,4
0,3
0,2
0,1
0,37
0,37
0,18
0,06
0,02
0,05
0,15
0,22 0,22
0,17
0,10
0,05
λ=1 λ=3
зовов) плотность вероятности –
определяется следующим
образом:
. (2.19)
Переменную «х» можно рассматривать как число вызовов, поступающих в течение интервала времени фиксированной длины.
Функция распределения этого потока вызовов –
для
Для
она определяется таким соотношением:
равна нулю
. (2.20)
Основные характеристики пуассоновского распределения
приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1.
Основные характеристики пуассоновского распределения
На рис. 2.6. показаны два примера функции
сти рисунка
, а в правой –
. В левой ча-
Второй интересный пример – дискретное равномерное распределение (рис. 2.7). Буквой «b» обозначена левая граница области изменения случайной величины. Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n значений.
Рис. 2.6. Два примера распределения Пуассона
21
Учебное пособие
x
f(x)
1/n
b b+1 b+n-1b+2 b+3
. . .
Математическое
ожидание
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
2
1n
b
12
12n
0
1
4,2
2,1
2
n
)(tf
)(tF
t
etf
)(
t
etF
1)(
k го
)(tf
)(tF
Рис. 2.7. Дискретное равномерное распределение
Основные характеристики дискретного равномерного распределения приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2.
Основные характеристики дискретного равномерного
распределения
Для обоих примеров ФР будет ступенчатой. Это утверждение
справедливо для всех законов распределения дискретных случайных величин.
В теории телетрафика часто используется экспоненциальное
распределение, для которого функции
и
определяются
такими формулами:
,
. (2.21)
Основные характеристики экспоненциального распределения
будут приведены после следующего примера. Рассмотрим распределение Эрланга
порядка. Функции
и
для этого
распределения вычисляются следующим образом:
22
Учебное пособие
tk
k
et
k
tf
1
)!1(
)(
1
0
!
)(
1)(
k
i
i
t
i
t
etF
1k
k
гоk
Название
распределения
Математическое
ожидание
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
Экспоненциальное
1
2
1
2
6
Эрланга k-го
порядка
k
2
k
k
2
k
6
)(tf
1
1
0
2 3
k = 1
k = 2
k = 5
f(t)
t
,
. (2.22)
Очевидно, что при
пределение. Несложно убедиться, что при
мы получаем экспоненциальное рас-
эта формула
определяет детерминированное (вырожденное) распределение.
Это свойство позволяет эффективно использовать распределение
Эрланга
порядка для многих моделей телетрафика. Чис-
ленные характеристики последних распределений приведены в
табл. 2.3.
Таблица 2.3
Численные характеристики последних распределений
На рис. 2.8. показано семейство распределения Эрланга k-го
порядка. Приведены три кривые
для различных значений k.
Для всех трех кривых принято, что математическое ожидание равно единице.
Рис. 2.8. Семейство распределений Эрланга k-го порядка
23
Учебное пособие
],[ ba
)(tf
)(tF
abtf
1)(
ab
at
tF
)(
)(tf
)(tF
t
f(t)
t
F(t)
1
ba
a b a b
1
],[ ba
Математическое
ожидание
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
2
ba
12
)(2ab
0
–1,2
)(tB
)(s
Последний пример связан с распределением случайной величины на ограниченном интервале. Речь идет о равномерном рас-
пределении на отрезке времени
и
определяются следующим образом:
. В этом интервале функции
,
На рис. 2.7. показаны функции
теристики этого распределения представлены ниже.
Рис 2.9. Равномерное распределение на интервале
. (2.23)
и
. Основные харак-
Основные характеристики равномерного распределения приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Основные характеристики равномерного распределения
2.4. Преобразование Лапласа – Стилтьеса
Преобразование Лапласа устанавливает однозначную связь
между функциями действительной –
менной –
. Эти функции обычно называют оригиналом и
и комплексной пере-
изображением соответственно. Для оригиналов, существующих
только в области неотрицательных значений аргумента (времени),
24
Учебное пособие
dtetBs
st
0
)()(
)(s
is
dses
i
tB
i
i
st
)(
2
1
)(
)(xF
).()( xdFx
xxF )(
)(tB
)()(
0
tdBes
st
)(s
)(s
)()( sss
целесообразно использовать одностороннее преобразование
Лапласа:
. (2.24)
Функция
ет найти оригинал по такой формуле:
Это соотношение известно в математике как формула обращения Римана – Моллина. Его также называют обратным преоб-
разованием Лапласа.
В обеих формулах используются интегралы Римана. Во многих случаях приходится оперировать с дискретными функциями
плотности вероятности. Тогда предпочтительнее становится интеграл Стилтьеса, позволяющий унифицировать тип распределения
случайной величины. Интеграл Стилтьеса определяется для двух
функций – интегрируемой (x) и интегрирующей
Очевидно, что интеграл Римана представляет собой частный
случай интеграла Стилтьеса, когда
Лапласа – Стилтьеса для функции
дующим образом:
комплексной переменной
(2.26)
будет определяться сле-
. (2.27)
позволя-
. (2.25)
:
. Преобразование
Если изображения
между собой очевидным соотношением:
Интерес к преобразованию Лапласа – Стилтьеса объясняется
тем, что оно позволяет упростить исследование некоторых функций и вычисление параметров распределения. С точки зрения вопросов, рассматриваемых в курсе лекций, следует выделить ряд
свойств, которые характерны для преобразования Лапласа – Стилтьеса:
и
существуют, то они связаны
. (2.28)
25
Учебное пособие
)(tB
dt
tdB )(
)0()( sBss
r
b
()
0
( 1) ( )
rr
rs
b βs
)(s
)(1s
)(2s
).()()(
21
sss
)(tB
)(se
s
0
()
Составление
функции F t
по условиям
решаемой
задачи
0
*
0
()
()
Нахождение
изображения
функции F t
Fs
*
0
*
()
()
N
Необходимые
операции
с функцией F s
Fs
*
()
()
N
N
Нахождение
оригинала для
функции F s
Ft
)(0tB
1. Преобразование Лапласа – Стилтьеса производной от
функции
2. Дифференцируя изображение, можно получить r-й началь-
ный момент (
определяется по такой формуле:
. (2.29)
) распределения:
(2.30)
3. ФР двух независимых случайных величин –
опреде-
лятся произведением их преобразований Лапласа – Стилтьеса –
и
:
(2.31)
4. Сдвиг аргумента у оригинала на величину – первая тео-
рема смещения – соответствует такому изменению изображения:
. (2.32)
Из всех свойств, присущих преобразованию Лапласа – Стилтьеса, следует выделить свертку оригиналов – третье свойство.
Вычисление свертки функций с помощью подобных преобразований можно рассматривать как одну из самых эффективных операций среди возможностей, присущих преобразованию Лапласа –
Стилтьеса.
Использование преобразования Лапласа – Стилтьеса в большинстве случаев можно представить в виде алгоритма, показанного на рис. 2.10. Этот алгоритм универсален с точки зрения решаемых задач.
Рис. 2.10. Использование преобразования Лапласа – Стилтьеса
Функция
ходимо преобразовать для искомого результата. Эту функцию
представляет собой выражение, которое необ-
26
Учебное пособие
)(0s
)(0s
)(s
N
)(tB
N
)(s
)(
)(
)(
2
1
s
s
s
)(1s
)(2s
)(1s
)(2s
0)(2s
n
)(s
K
n
K
K
K
ss
s
s
s
1
)(
)(
)(
1
2
1
ts
n
K
K
K
K
e
s
s
tB
1
2
1
)(
)(
)(
можно считать своего рода условием задачи. Сначала находится
изображение этой функции –
. Изображение может быть по-
лучено с помощью таблиц преобразования Лапласа – Стилтьеса.
Именно для функции
выполняются преобразования, позво-
ляющие получить ответ в виде функции
ставленной задачи необходимо найти функцию
. Для решения по-
. Эта проце-
дура может быть выполнена с использованием таблиц или иным
способом.
Для вычисления оригинала по известному изображению часто
применяют теорему разложения, предложенную Хевисайдом (разложение на элементарные дроби). Такой способ приемлем, если изображение
является рациональной дробью следующего вида:
. (2.33)
Числителем и знаменателем этого выражения служат полиномы
меньше степени полинома
различных корней, то функция
и
. Существенно то, что степень полинома
.Если уравнение
представима такой суммой:
имеет
. (2.34)
Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, можно найти оригинал в следующем виде:
. (2.35)
но отображающей реальную систему распределения информации,
во многих случаях является нетривиальной задачей. От правильного выбора модели в конечном счете зависит успех решения всей
задачи.
Таким образом, построение математической модели, адекват-
27
Учебное пособие
k
Контрольные вопросы
1. Почему теоиия вероятностей является необходимым аппа-
ратом теории телетрафика?
2. Каковы аксиомы, сформулированные известным россий-
ским математиком А. Н. Колмогоровым?
3. Что представляет собой функция распределения (ФР)?
4. Назовите характеристики случайной величины (СВ).
5. Назовите виды распределений СВ.
6. Что представляет собой Семейство распределений Эрланга
-го порядка?
7. Для чего применяется преобразование Лапласа – Стилтьеса?
8. Каковы свойства преобразования Лапласа – Стилтьеса?
28
Учебное пособие
Тема 3. КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГОРИТМОВ
ОБСЛУЖИВАНИЯ ЗАЯВОК В СМО
Рассматривается вопрос сущности информации в сетях электросвязи, даны определения информации, ее количества, распределения; системы массового обслуживания (СМО) и алгоритмы обслуживания заявок, представлена классификация алгоритмов обслуживания заявок,
также рассмотрена классификация Кендалла – Башарина.
3.1. Информация в сетях электросвязи
Информация – сведения о лицах, предметах, фактах, событиях, явлениях и процессах независимо от формы их представления.
Информация снижает степень неопределенности, неполноту знаний о лицах, предметах, событиях и т. д.
Количество информации – мера оценки информации, содержащейся в сообщении или мера, характеризующая уменьшение
неопределенности, содержащейся в одной случайной величине
относительно другой.
Данные – сведения, полученные путем измерения, наблюдения, логических или арифметических операций. Данные должны
быть представленные в форме, пригодной для постоянного хранения, передачи и (автоматизированной) обработки.
Информатика (в широком смысле) – отрасль знаний, изучающая общие свойства и структуру научной информации, а также
закономерности и принципы ее создания, преобразования, накопления, передачи и использования в различных областях человеческой деятельности. Информатика (в узком смысле) – отрасль знаний, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью компьютера.
Искусственный интеллект – способность прикладного процесса обнаруживать свойства, ассоциируемые с разумным поведением человека. Искусственный интеллект – раздел информатики,
занимающийся вопросами имитации мышления человека с помощью компьютера.
Кибернетика – наука об управлении, связи и переработке информации. Основным объектом исследования кибернетики являются абстрактные кибернетические системы: от компьютеров до
человеческого мозга и человеческого общества. В зависимости от
29
Учебное пособие
Информация
Сообщение
Поток данных
области применения различают политическую, экономическую и
социальную кибернетику. Особое значение в теории управления
имеет принцип саморегулирования (принцип кибернетики – гомеостазис), позволяющий противостоять воздействию извне и перестраиваться в целях самосохранения.
Информационная экономика – экономика, в которой значительная часть валового внутреннего продукта обеспечивается деятельностью по производству, обработке, хранению и распространению информации и знаний. Некоторые специалисты полагают,
что критерием перехода следует считать работу половины всех
занятых (в сфере производства) информационной деятельностью.
Сетевая экономика – хозяйственная деятельность, осуществляемая с помощью электронных сетей (телекоммуникаций). Технологически сетевая экономика представляет собой среду, в которой юридические и физические лица могут контактировать между
собой по поводу совместной деятельности
Электронный бизнес – бизнес, основанный на использовании
информационных технологий с тем, чтобы обеспечить оптимальное взаимодействие деловых партнеров и создать интегрированную цепочку добавленной стоимости. Электронный бизнес включает: продажи, маркетинг, финансовый анализ, платежи, поиск
сотрудников, поддержку пользователей и поддержку партнерских
отношений.
С точки зрения инфокоммуникационной системы (связь плюс
информация) процесс обмена информацией может быть представлен следующей схемой (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Информация, сообщение и поток данных
Объем передаваемых (принимаемых) данных может быть
больше или меньше объема сообщения. Один из характерных примеров – сжатие изображений.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]