Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
k
)(tB
0
3
()tsse
tt
eppetB
21
)1(1)(
4
5
1
( ) 1 .
i
k
t
i
i
B t ce
i
c
1
0 1, .
k
ii
i
cc
6
( ) .
ta
Bt
ba
При
распределение Эрланга вырождается. Этот случай рассматривается как самостоятельное распределение – постоянная длительность обслуживания, равная t0. Для ряда технических систем СМО с постоянным временем обслуживания хорошо
описывает процессы функционирования. Функцию
проще
записать через преобразование Лапласа – Стилтьеса:
. (4.30)
Распределения с коэффициентом вариации более единицы
можно представить с помощью гиперэкспоненциального распределения. На практике чаще всего используют простейшую форму
гиперэкспоненциального распределения:
длительность обслуживания заявок подчиняется экспонен-
циальному закону с интенсивностью μ1 с вероятностью p;
длительность обслуживания заявок подчиняется экспонен-
циальному закону с интенсивностью μ2 с вероятностью (1–p);
Эти предположения позволяют представить ФР длительности
обслуживания в таком виде:
. (4.31)
Комбинация эрланговского и гиперэкспоненциального распределения позволяет хорошо аппроксимировать множество непрерывных функций. Соответствующая ФР может быть определена так:
Для коэффициентов
Следующее распределение – равномерное на отрезке времени
[a, b]. Оно также было рассмотрено на первой лекции. Выражение
для ФР записывается в следующем виде:
(4.32)
должны выполняться два условия:
(4.33)
(4.34)
61
Учебное пособие
7
0
( ) .
N
iτs
i
i
β s P e
E
k
E
k
E
k+1
E
k-1
Гибель
Рождение
Нет изменений
Время
t t+dt
dt o dt
Последнее распределение относится к дискретным. Речь идет
о ступенчатой функции, для которой справедливо такой преобразование Лапласа – Стилтьеса:
(4.35)
Конечно, можно привести ряд других примеров, но далее
иные ФР рассматриваться не будут.
Процессы рождения и гибели. При изучении биологических
процессов используется система понятий «гибель и рождение».
Подход оказался очень плодотворным. Он часто используется и в
теории телетрафика. Иногда рассматриваемые процессы именуются
иначе. Например, «гибель и размножение», «гибель и развитие».
Предположим, что за бесконечно малый промежуток времени
dt состояние СМО изменяется не больше, чем на единицу. Пусть
Ek – такое состояние СМО, когда в ней обслуживаются k заявок.
Рассмотрим возможные изменения в СМО за время dt (рис. 4.8).
Предполагается, что вероятности перехода СМО в состояния E
или E
есть бесконечно малые величины – o(dt). Будем считать,
k-2
что интенсивности λ и μ не зависят от величины k.
k+2
только одна заявка, определяется так:
Рис. 4.8. Процессы гибели и рождения
Вероятность того, что в течение времени dt в СМО поступит
. (4.36)
62
Учебное пособие
()dt o dt
1 ( ).dt o dt
1 ( ).dt o dt
1 1 1 1
()
( ) ( ) ( ) ( ), 1
k
k k k k k k k
dp t
p t p t p t при k
dt
0
0 0 1 1
()
( ) ( ), 0.
dp t
p t p t при k
dt
1
/ /1/ /M M d
Вероятность того, что в течение времени dt в СМО будет обслужена только одна заявка, определяется следующим образом:
. (4.37)
Вероятность того, что в течение времени dt в СМО не поступит ни одной заявки, вычисляется по такой формуле:
(4.38)
Вероятность того, что в течение времени dt в СМО ни одна заявка не закончит обслуживание, рассчитывается из следующего
выражения:
(4.39)
В общем виде целесообразно оперировать величинами λk и μk,
что позволяет анализировать сложные системы. В теории телетрафика известны дифференциальные уравнения, позволяющие анализировать СМО общего вида:
,
(4.40)
Случайный процесс называется марковским, если вероятность
любого состояния системы в будущем зависит только от состояния
в настоящем и не зависит от того, когда и как система в это состояние перешла. Процесс, описывающий поведение системы, называется цепью Маркова. Это название дано в честь выдающегося
российского ученого А. А. Маркова (1856–1922), занимавшегося
исследованием этих процессов.
Диаграмма переходов для непрерывной цепи Маркова показана на четвертом рис. 4.9.
Для системы
индексы не нужны. Подобные
модели могут быть исследованы с помощью диаграммы переходов. Состояние k для однолинейной СМО означает, что одна заявка обслуживается, а k–1 заявок находятся в очереди, размеры которой не ограничены.
63
Учебное пособие
0 1 2
λ
0
λ
1
μ
1
μ
2
k-1 k k+1
λ
k-1
λ
k
μ
k
μ
k+1
0
,
k
k
pp где
0
1.p
(1)
0
.
1
k
k
N kp
1
/ /1/ /M M d
2 (1) 2
2
0
[ ] .
(1 )
Nk
k
k N p
Рис. 4.9. Диаграмма переходов для цепи Маркова
Вероятность состояния k определяется следующим образом:
. (4.41)
Вероятность отсутствия заявок в СМО вычисляется – для исследуемой модели – по такой формуле:
(4.42)
Распределение (4.42) называется геометрическим. Оно позволяет найти среднее число заявок в СМО –N как сумму членов геометрической прогрессии:
(4.43)
Дисперсия числа заявок в СМО вида
тывается следующим образом:
Таким образом, в данной теме мы рассмотрели модели потоков заявок. Управление потоками заявок (вызовов) или структурой
сети важно для повышения качества обслуживания и является одной из задач теории телетрафика.
Контрольные вопросы
1. Что представляет поток заявок?
2. Что представляет собой детерминированный поток?
3. Каковы два способа представления потока вызовов?
4. Что представляют собой финитные случайные потоки?
5. В чем суть свойства рекуррентности?
(4.44)
64
рассчи-
Учебное пособие
6. В чем проявляется стационарность потока вызовов?
7. Охарактеризуйте распределение Пуассона.
8. Как представляется СМО в классификации Кендалла?
9. Что представляет собой нестационарный пуассоновский
поток?
10. Что представляют собой потоки с простым последействием?
11. Что представляют собой симметричный и примитивный
потоки?
12. Что такое поток с ограниченным последействием?
13. Что представляет собой поток Пальма?
14. Каковы свойства выходящего потока?
65
Учебное пособие
i
T
)(tN
i
T
Число занятых линий в пучке СЛ
Время
0
10
20
30
40
T
3
T
1
T
2
T
4
T
5
Среднее
значение
N(t)
1
T
Тема 5. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
С ПОТЕРЯМИ
Включены вопросы, связанные с телефонной нагрузкой, раскрывается ее понятие, основные свойства и параметры, а также даны основы СМО с потерями заявок.
5.1. Телефонная нагрузка
Слово «нагрузка» чаще используется специалистами по телефонии. Оно является синонимом термина «трафик». Для определения термина «нагрузка» рассмотрим рис. 5.1. Он иллюстрирует
изменение численности занятых линий в пучке СЛ в течение пяти
периодов времени
тельные целочисленные значения, определяет число занятых ли-
ний в момент времени t. Для каждого периода
лить среднее значение числа занятых линий. Эта величина может
быть дробной.
. Функция
, которая принимает положи-
можно опреде-
Допустим, что в качестве единицы времени выбран отрезок
Тогда нагрузкой можно считать то время, в течение которого были
Рис. 5.1. Численность занятых линий в пучке СЛ
66
.
Учебное пособие
1
T
ойi
1
T
i
t
)(1TY
ПР
)(1TY
ПР
Vi
i
t
1
ПР
Y
1 2 3 4 5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
ПР ПР ПР ПР ПР ПР
Y Y T Y T Y T Y T Y T
Δ0
(0, Δ ) (0, )
lim .
Δ
t
Y t t Y t
Y
t
ПОС
Y
ПОТ
Y
заняты СЛ. Это время можно высчитать, суммируя длительность
занятия всех СЛ, которая измеряется на отрезке
насчитывает V СЛ, а суммарная длительность занятия
нии на отрезке
составляет
, то пропущенная (или обслужен-
. Если пучок
ли-
ная) нагрузка –
определяется очевидной формулой:
=
. (5.1)
Нагрузка обладает важным свойством – аддитивностью. За
пять отрезков времени, показанных на графике, –
нагрузка
рассчитывается следующим образом:
(5.2)
Очевидно, что нагрузка, с точки зрения физики рассматриваемого процесса, измеряется в единицах времени. В телефонии за
единицу измерения нагрузки принято одно часо-занятие. Под ним
понимается такая нагрузка, которая может быть обслужена одним
прибором в течение часа при непрерывном использовании этого
прибора. Реже (как правило, в зарубежной технической литературе) встречается словосочетание минуто-занятие.
Одно часо-занятие, отнесенное к одному часу, называется ин-
тенсивностью нагрузки. Единицей измерения интенсивности
нагрузки принят один эрланг (Эрл). Эта величина получила свое
название в честь выдающегося специалиста по теории телетрафика. С точки зрения логики рассматриваемого процесса интенсивность нагрузки – безразмерная величина. Строго интенсивность
нагрузки – Y определяется так:
Иными словами, первая производная нагрузки определяет ее
интенсивность. Интенсивность обслуженной нагрузки, выраженной в Эрлангах, равна числу одновременно занятых приборов.
Кроме пропущенной выделяют еще два вида нагрузки – поступающую (называемую также предложенной) –
ную –
. Поступающая нагрузка, в некотором смысле, может
считаться прогнозируемой. Достоверно может оцениваться лишь
67
(5.3)
и потерян-
Учебное пособие
ПОС
C
ПОТ
C
ПРПОС
YY
Время
Состояния совбодности
Состояния занятости
.
ПОС
Y NCT
.nhA
.,,, hTCnNAY
ПОС
число поступающих вызовов –
. Часть вызовов –
теря-
ется; время их обслуживания (если оно не является постоянной
величиной) неизвестно. Аналогичная ситуация связана с потерянной нагрузкой. Потерянная нагрузка может быть вычислена как
разность
.
Состояние любого обслуживающего прибора может быть
представлено с помощью периодов занятости и свободности. За
исключением систем, работающих по расписанию, длительность
каждого их этих двух периодов представляет собой случайную
величину.
Рис. 5.2. Два состояния обслуживающего прибора
Для телефонной нагрузки весьма существенны три параметра.
Во-первых, важно знать число источников нагрузки – N. Характерный пример этого параметра – число терминалов, включенных
в концентратор. Во-вторых, необходимо определить среднее число
вызовов, поступающих от одного источника за единицу времени –
C. В-третьих, следует оценить математическое ожидание длитель-
ности обслуживания одного вызова – T. Тогда поступающая
нагрузка определяется следующим соотношением:
(5.4)
В зарубежных публикациях обычно используются иные обозначения. В частности, в рекомендации МСЭ E.500 формула (5.4)
представлена в таком виде:
(5.5)
Между обозначениями, входящими в обе формулы, устанавливаются следующие соответствия:
Телефонная нагрузка заметно меняется в течение дня (колебания можно проследить по дням недели, месяцам, годам). Расчет
68
Учебное пособие
MAX
T
MAX
T
Телефонная
нагрузка
Время
суток
241860
ЧНН
T
MAX
ЧНН
Y
ЧНН
k
СУТ
Y
.
ЧНН
ЧНН
СУТ
Y
k
Y
ЧНН
k
оборудования, необходимого для обслуживания телефонного трафика, осуществляется для часа наибольшей нагрузки (ЧНН). В некоторых публикациях предлагается – в дополнение к ЧНН – выде-
лять период наибольшей нагрузки. Его длительность (
) может
быть различной в зависимости от цели, для которой необходимо
знать период максимальной нагрузки. Она может быть меньше или
больше одного часа. В данном случае
составляет три часа.
коэффициентом концентрации –
также знать нагрузку за сутки –
многих телефонных сетей в крупных городах он составляет около
0,1. В менее крупных сетях величина
Если рассмотреть два города, находящихся в таких часовых поя-
сах, для которых разница во времени составляет половину суток,
то коэффициент концентрации будет очень большим.
дует конкретную цель. Установленные Администрацией связи по-
Рис. 5.3. Час и период наибольшей нагрузки
Доля нагрузки, создаваемой в ЧНН –
, часто оценивается
. Для его оценки необходимо
:
(5.6)
Диапазон изменения этого коэффициента значителен. Для
может достигать 0,2.
Выделение ЧНН или периода максимальной нагрузки пресле-
69
Учебное пособие
},{iN
}{iC
}{iT
{}
.
ii
I
CN
CN
}{iN
}{iN
i
C
i
N
i
p
1
p
2
p
3
p
казатели качества обслуживания телефонной нагрузки должны
соблюдаться и в периоды высокого трафика. Естественно, что в
другое время (в частности, ночью) ресурсы телефонной сети будут
использоваться не так эффективно как в ЧНН. Правда, Оператор с
помощью технических и маркетинговых операций может обеспечить экономичное функционирование инфокоммуникационной
системы. Характерный пример – предоставление ресурсов для обслуживания трафика Internet.
Как правило, среди N источников нагрузки выделяют группы, для которых характерны различные средние значения числа
вызовов от одного источника за единицу времени (C) и длительности обслуживания одного вызова (T). Иными словами, речь
идет о существовании трех множеств:
но, что среднее значение числа вызовов от одного источника за
единицу времени может быть рассчитано по такой формуле:
(5.7)
и
. Очевид-
Среди элементов множества
чаще всего выделяют тер-
миналы абонентов квартирного и делового секторов, таксофоны,
а также линии от УАТС, включаемые на правах абонентских уста-
новок. Возможны и иные способы разбиения множества
Величина
группы абонентов численностью
определяет среднее значение числа вызовов для
. Далеко не каждый вызов – в
.
силу различных причин – заканчивается установлением соединения. Можно выделить четыре основные причины неудачной попытки вызова. Каждой причине свойственны вероятности ее появ-
ления –
:
занятость линии вызываемого абонента –
отсутствие ответа вызываемого абонента –
;
;
ошибки вызывающего абонента в процессе установления
соединения –
;
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]