Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
Вычислительная система СМО 2
1
2
Система передачи данных
СМО 3
3
К источникам 2,3
Система передачи данных
СМО 1
тей ЭВМ, могут быть использованы методы и модели стохастических сетей.
Стохастической сетью называется совокупность взаимосвя-
занных систем массового обслуживания (СМО). Каждая СМО сети
отображает один из элементов сети ЭВМ (информационной системы): систему передачи данных, терминал пользователя, вычислительный комплекс и т. д.
Связи между СМО, входящих в сеть, определяются в результате анализа маршрутов следования заявки по сети.
Различают разомкнутые и замкнутые стохастические сети.
В разомкнутых сетях интенсивность поступления заявок не зависит от состояния сети, т. е. от числа заявок, находящихся в сети.
На рис. 1.2 и 1.3 показаны разомкнутые сети.
Рис. 1.2. Модель информационной системы с фиксированным
маршрутом прохождения заявок
В замкнутых стохастических сетях интенсивность поступления
заявок от пользователей меняется при изменении числа заявок, уже
находящихся в сети. Пример замкнутой сети приведён на рис. 1.4.
Такая модель может использоваться при анализе информа-
ционной системы, число терминалов доступа к которой ограничено и равно в данном случае N. Здесь СМО 0 есть модель пользователей, посылающих заявки в информационную систему. С точки
зрения теории массового обслуживания – это система с N параллельными обслуживающими приборами, очередь у которой не образуется, поскольку каждый пользователь, послав заявку в информационную систему, ожидает ответа.
11
Учебное пособие
Фаза обработки 2
СМО 3
Терминалы доступа
СМО 0
Фаза обработки 1
СМО 1
1
2
N
P1
P2
Система передачи данных
СМО 1
Процессор 2
СМО 2
Процессор 4
СМО 4
Процессор 3
СМО 3
Р1
Р2
Поток
Заявок
Система передачи данных
СМО 5
Поток
результат
Рис. 1.3. Модель информационной системы с разветвлением маршрутов
следования заявок
Рис. 1.4. Модель информационной системы в виде замкнутой сети СМО
Если рассматривать СМО 0 как элемент сети, то в такой сети
всегда находится N заявок. СМО 1 – это часть информационной
системы, осуществляющая первую фазу обработки заявок; на вторую фазу (СМО 2) поступает только часть заявок (вероятность p2),
другие (вероятность p1) возвращаются пользователю после первой
фазы обработки.
Контрольные вопросы
1. Что представляют собой СМО?
2. Какова структура СМО?
3. Что такое поток?
4. Как классифицируются СМО по дисциплине обслуживания?
5. Как классифицируются СМО по характеру источника тре-
бований?
6. Как классифицируются СМО по характеру организации?
7. Как классифицируются СМО по количеству единиц обслу-
живания?
12
8. Как классифицируются СМО по свойствам каналов?
Учебное пособие
)(AP
( ) .
N
K
P A lim
N
)(AP
9. Как классифицируются СМО по числу этапов (фаз) обслу-
живания?
Тема 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ – НЕОБХОДИМЫЙ
АППАРАТ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Изложены основы теории вероятностей, даны основные характристики случайной величины, законы распределения случайных величин,
а также рассмотрено преобразование Лапласа – Стилтьеса.
2.1. Основы теории вероятностей
Теория вероятностей – раздел математики, посвященный
случайным величинам. Точное определение термина «случайная
величина», отвечающее строгим математическим канонам, можно
найти в монографиях, которые посвящены фундаментальным основам теории вероятностей. Для прикладных дисциплин можно
использовать менее строгие определения.
Случайные величины обычно делят на дискретные и непрерывные. Дискретный или непрерывный характер случайной величины определяется объективными свойствами исследуемого процесса. Для проведения анализа некоторых СМО целесообразно
переходить от непрерывных случайных величин к дискретным или
наоборот.
Допустим, что мы провели N измерений числа разговаривающих абонентов АТС. При этом K раз численность разговаривающих абонентов (событие «A») была одной и той же. Тогда вероятность наступления интересующего нас события –
ляется следующим образом:
опреде-
(2.1)
Рассмотрим пример, когда в результате проведения 1000 измерений мы 50 раз обнаружим 800 разговаривающих абонентов (событие «A»). Оценку 0,05, строго говоря, нельзя считать вероятностью
, так как число проведенных измерений было конечной вели-
чиной. Эту оценку 0,05 называют частотой, или частостью.
В теории вероятностей важную роль играют аксиомы, которые
сформулированы известным российским математиком А. Н. Колмо-
13
Учебное пособие
0)( AP
1)( P
A A
B
B
AB
а) События A и B совместны
б) События A и B несовместны
горовым. Четыре основные аксиомы приводятся ниже в следующей
форме:
– каждому событию «А» ставится в соответствие неотрицательное число – его вероятность
– вероятность достоверного события «Ω» равна единице –
;
– если «А» и «В» непересекающиеся события, то вероятность
события «А» или «В» (оно обычно обозначается как «А+В») –
Р(А+В) равна сумме Р(А) + Р(В);
– условная вероятность наступления события «В», если уже
произошло событие «А», – Р(В│А) определяется как Р(АВ) / Р(А).
Для пояснения термина «условная вероятность» целесообразно использовать две простые геометрические фигуры. Они приведены в левой части рис. 2.1. Подобный подход позволяет наглядно
интерпретировать события и вероятность их наступления.
;
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация условной вероятности
События «А» и «В» заключаются в попадании точки в одноименные области, которые показаны в левой части рисунка. Событие «АВ» имеет одну особенность. Оно имеет место, когда события «А» и «В» наступают одновременно. Тогда вероятность события «В» при условии, что уже произошло событие «А», представима как отношение площадей «АВ» и «А». Если события «А» и
«В» несовместны, то условная вероятность равна нулю. Этот
утверждение наглядно иллюстрирует правый фрагмент рисунка:
площадь пересечения двух областей равна нулю.
Из аксиом теории вероятностей можно сделать ряд важных для
теории и практики выводов. В частности, если могут наступить
только события «А» и «A», то справедливы такие соотношения:
14
Учебное пособие
( ) 1P A A
( ) 1 ( ).P A P A
1)(0 AP
).(...)()()()...( ZPCPBPAPZCBAP
)(tF
)(xF
0t
].,0[
MAX
T
).()( tTPtF
.tT
X
T
Y
T
)( tTP
X
)( tTPY
X
T
Y
T
)()(
XY
TFTF
)( tTP
Очевидно также, что
или
. Из аксиомы (в) можно по-
(2.2)
лучить более общее соотношение для попарно непересекающихся
событий:
(2.3)
2.2. Основные характристики случайной величины
Полной характеристикой случайной величины служит закон
ее распределения. Этот закон устанавливает соответствие между
возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Знание закона распределения позволяет сравнительно простыми математическими методами получить оценки
случайной величины, важные для практической работы.
Закон распределения может быть представлен различными
способами. Основной интерес представляет функция распределе-
ния (ФР) случайной величины –
по теории вероятностей используется ФР вида
осью абсцисс всегда будет «время». Поэтому аргументом ФР слу-
жит буква «t», обычно указывающая на время. По всей видимости,
такой выбор объясняется тем, что во многих языках слово «время»
начинается с буквы «t». Далее будут рассматриваться случайные
величины, определенные для
чины показан на рис. 2.2. Эта функция определена на отрезке
ФР представляет собой монотонно возрастающую функцию.
Она определяется таким соотношением:
Иными словами, ФР равна вероятности соблюдения неравенства
На рисунке указаны две точки
ветствуют вероятности
что случайная величина попадет в интервал (
сти
. В некоторых случаях практический интерес
представляет дополнительная ФР –
Очевидно, что
. В большинстве учебников
, но у нас
. Пример ФР случайной вели-
(2.4)
и
, которым соот-
и
. Вероятность того,
,
), равна разно-
.
15
Учебное пособие
( ) 1 ( ).P T t F t
1
t
T
MIN
F(t)
0
T
MAX
T
X
T
Y
F(TY)
F(TX)
)(tF
( ) ( ).F t P T t
)(tF
(1)
T
(1)
0
()T tdF t
()R
T
(2.5)
определяется иначе – нестрогим неравенством
кретных случайных величин.
получены из функции
практическое значения имеют математическое ожидание, диспер-
сия, асимметрия и эксцесс. Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины –
по такой формуле:
момент первого порядка. В общем случае начальный момент порядка R –
Рис. 2.2.Функция распределения случайной величины
Следует отметить, что в некоторых публикациях ФР
(2.6)
Различие в этих определениях существенно только для дис-
Основные характеристики случайной величины могут быть
. Среди этих характеристик большое
может быть рассчитано
. (2.7)
Математическое ожидание представляет собой начальный
определяется таким соотношением:
16
Учебное пособие
()
0
()
RR
T t dF t
)(tf
(1)
11
KK
JJ
JJ
E T T
(1)
11
KK
jJ
jj
E T T
)(tf
)(tf
)(tf
)(tf
)(tf
)(tf
)(TD
. (2.8)
В некоторых монографиях используется иная формула для
расчета математического ожидания случайной величины – через
плотность вероятности
. Последняя формула удобна тем, что
она универсальна для непрерывных и дискретных случайных величин. Следует отметить, что случайная величина может не иметь
математического ожидания. Для большинства задач такие ситуации не представляют практического интереса.
Математическое ожидание суммы К случайных величин
определяется следующим образом:
. (2.9)
Математическое ожидание произведения K независимых
случайных величин может быть вычислено по такой формуле:
. (2.10)
Математическое ожидание определяет положение центра распределения случайной величины. Для функции
обычно
определяют медиану и моду. Медиана делит площадь под кривой
пополам. Мода непрерывной случайной величины – такое
значение t, в котором функция
мума. Если функция
имеет один максимум, то распределение
достигает локального макси-
называется унимодальным. Мультимодальное распределение имеет несколько мод. На рис. 2.3. показаны два графика функции
. Эта функция является унимодальной.
В левой части этого рисунка показано распределение, для которого значения математического ожидания, медианы и моды раз-
личны. Для функции
, изображенной в правой части рисунка,
значения математического ожидания, медианы и моды совпадают.
Дисперсия случайной величины
характеризует меру
рассеяния случайной величины. Она рассчитывается как матема-
17
Учебное пособие
(1) 2
( ) [( ) ].D T E t T
f(t)
t
f(t)
t
медиана, мода,
математическое
ожидание
модамедиана
математическое
ожидание
а) Первый пример функции f(t) б) Второй пример функции f(t)
)(RTM
( ) [( ( )) ]
RR
M T E t E T
(1)
σ
kT
R
a
R
тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от
своего среднего значения:
(2.11)
Рис. 2.3. Математическое ожидание, медиана и мода
Дисперсия является центральным моментом второго порядка.
Центральный момент порядка R –
соотношением:
Корень второй степени из дисперсии σ называется средне-
квадратическим (или стандартным) отклонением. Отношение
среднеквадратического отклонения к среднему значению (если оно
больше нуля) именуется коэффициентом вариации случайной величины –k:
определяется таким
. (2.12)
. (2.13)
Начальные и центральные моменты порядка R для упрощения часто обозначают как
ментов справедливы следующие соотношения:
и
соответственно. Для этих мо-
18
Учебное пособие
1
0
,
R
JJ
R R R J
J
a C a
1
0
( 1) .
R
JJ
R R J
J
aa
)(tf
3
3
f(t)
t
f(t)
t
а) Сравнение математических ожиданий
б) Сравнение дисперсий
E1(t) E2(t)
f1(t)
f2(t)
E(t)
f2(t)
f1(t)
f(t)
t
f(t)
t
в) Сравнение коэффициентов асимметрии
г) Сравнение коэффициентов эксцесса
f1(t)
f2(t)
f2(t)
f1(t)
)(tf
(2.14)
(2.15)
Коэффициент асимметрии распределения случайной величины γ определяет степень неравномерности плотности вероятности
относительно своего центра. Он рассчитывается по такой
формуле:
. (2.16)
Рис. 2.4. Четыре примера непрерывных распределений
Коэффициент эксцесса распределения случайной величины ν
характеризует «островершинность» плотности вероятности
19
.
Учебное пособие
.3
4
4
X
t
.)( xtF
X
t
F(t)
0,5
t
0,5
t
0,95
0,95
Обычно эту характеристику применяют к унимодальным распределениям:
(2.17)
Важной характеристикой ФР следует считать квантиль. На
рис. 2.5. показаны два квантиля, для которых значения ФР составляют 0,5 и 0,95 соответственно. Графически квантиль определяет-
ся очень просто. Аналитически значения квантиля
лучить решением уравнения:
(2.18)
можно по-
Рис. 2.5. Квантили функции распределения
Иногда функция распределения определяется в процентах – от
0 до 100 %. Тогда квантиль также задается в процентах. В этом
случае вместо термина «квантиль» используется термин «процен-
тиль».
2.3. Законы распределения случайных величин
В теории телетрафика часто используется предположение о
пуассоновском законе распределения случайных величин. Такое
предположение, например, было подтверждено экспериментально
для потока вызовов, поступающих от абонентов телефонной станции. Для математического ожидания λ (интенсивность потока вы-
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]