Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
()
i
y
i
x f y dy
()Fy
[0;1)
1
()Y F X
()Fy
1F
[0;1)
1
()Y F X
( ) , ( ) 1
yy
f y e F y e
1
Y
Xe
1
(1 )Y ln X
1 X
[0;1)
1
()Y ln X
i
x
1
()
ii
y ln x
. (9.4)
Справедливо и обратное утверждение. Если
– функция
распределения непрерывной случайной величины Y, а X – случайная величина с равномерным законом распределения на интер-
вале
, то случайная величина
имеет функцию
распределения
. В данном случае
– функция, обратная
по отношению к F.
Таким образом, необходимо:
реализовать случайную величину X, которая распределена
равномерно на интервале
;
вычислить значение случайной величины Y по формуле
Один из важных для теории телетрафика случаев – простейший входящий поток. Это означает, что случайная величина Y
подчиняется экспоненциальному закону:
. (9.5)
Необходимо найти формулу для моделирования случайной
величины Y с помощью равномерно распределенной случайной
величины X.
Шаг 1. Находится функция, обратная по отношению к F. Из-
вестно, что
. Решение относительно Y тривиально:
.
Шаг 2. Очевидно, что случайная величина
(так же как и
случайная величина X) равномерно распределена на отрезке
. Поэтому справедлива также и формула следующего вида:
Шаг 3. Теперь числа с экспоненциальным распределением
могут быть получены из значений
К сожалению, не всегда удается решить соответствующие
уравнения в явном виде. Приходится прибегать к приближенным
по такой формуле:
.
111
Учебное пособие
()ft
12
, ,...,
m
t t t
12
, ,...,
m
k
методам. В частности, используется кусочная аппроксимация
функций
Три других метода получения требуемых законов распределения описаны в работах по моделированию.
Входящий поток заявок на входе СМО (системы телетрафика)
может быть задан последовательностью появления требований:
длительностью промежутка между соседними требованиями:
ном распределения был изложен выше. Теперь необходимо определить свойства СМО и проследить за временами обслуживания
заявок и соответствующими процессами (потери и задержки).
В качестве примера моделирования (рис. 9.2) рассматривается
алгоритм, предложенный в [2].
Оператор П1осуществляет ввод следующей исходной информации: Тм–интервал моделирования; lkλвх, lkλ
распределения входящего потока и закона распределения длительности обслуживания заявок (здесь l – условный номер закона, а k и
λ – его параметры1)), t
служивания «нулевой» заявки; τ
τ
– заданная длительность пребывания в системе заявки, об-
преб зад
служивание которой было завершено (на рисунках, в целях экономии
места, индекс «преб»заменен на «пр»).
Оператор Ф2 производит выборку, случайного числа η в соответствии с установленным законом распределения входящего
потока.
Оператор Фз формирует момент поступления очередной заявки tj = t
j-1
момент поступления предыдущей заявки.
Естественно, что в начале моделирования t
щью оператора Р4 осуществляется проверка, не вышел ли момент tj
поступления заявки за пределы интервала моделирования [0, Тм]
по условию tj<Тм.
Если условие не выполняется, то есть интервал моделирования исчерпан, следует переходить к обработке результатов моделирования, то есть к оператору A31. Если же условие выполняется, то осуществляется подсчет числа поступивших заявок с помощью оператора А5по правилу j: =j+1.
.
. С практической точки зрения удобнее оперировать
. Способ формирования величин
=0 – момент освобождения канала после об-
осв0
– предельная длина ожидания;
ож пред
+ η, где tj – момент поступления очередной заявки; t
с заданным зако-
– коды закона
обсл
= t0 = 0. С помо-
j-1
j-1
–
112
Учебное пособие
9.2. Пример моделирования алгоритма СМО
113
Учебное пособие
Рис. 9.2. Блок-схема алгоритма моделирования СМО
114
Учебное пособие
Оператор А6 подсчитывает текущее число заявок в очереди (m:
= m+1), где m – длина очереди (число заявок в очереди), а также
производит расчет квадрата длины очереди –m2.
Оператор A7 определяет длительность пребывания заявки в
очереди τ
явки в очереди; t
ож j
: = t
– tj , где τ
осв
– момент освобождения канала.
осв
– длительность пребывания, j-й за-
ож j
Оператор Р8проверяет, должна ли j-я заявка ждать в очереди
или ее обслуживание начинается немедленно: τ
При τ
= 0 заявка поступает в систему точно в момент осво-
ож j
бождения канала. Отрицательное значение τ
≤ 0.
ож j
показывает, что j-
ож j
я заявка не ждала в очереди, а ждал канал, поскольку он освободился до прихода j-й заявки. Поэтому при выполнении условия
управление передается оператору Ф9, который фиксирует для j-й
заявки факт отсутствия ожидания обслуживания (τож j := 0) , и далее оператору A10 для подсчета общего числа заявок a, обслуженных без ожидания (a:=a+1).
Затем оператор A11 подсчитывает длительность простоя канала
τ
перед обслуживанием j-й заявки (τ
прост j
прост j
= tj–t
), после чего
осв
управление передается оператору Р9. Если же условие не выполняется, что свидетельствует об отсутствии простоя канала, управление
от оператора Р8 непосредственно передается оператору Ρ9. Последний проверяет, не превышает ли длительность ожидания j-й заявки
предельного времени ожидания по условию τ
ож j
≤ τ
ож пред
.
Если условие не выполняется, то есть длительность ожидания
j-й заявки превышает предел, то такая заявка в соответствии с
установленной нами дисциплиной ожидания должна покинуть систему по истечении τ
. С этой целью управление передается
ож пред
оператору Ф13. Для этой заявки формируется предельная длительность пребывания в очереди τ
ож j
= τ
. Поскольку такая заявка
ож пред
покидает систему необслуженной, ей присваивается нулевая длительность обслуживания τ
обсл j
:=0, где τ
– длительность обслу-
обсл j
живания j-й заявки. При этом число заявок в очереди уменьшается
на единицу (m: =m– 1).
В рассматриваемом случае анализ судьбы j-й заявки на этом
заканчивается и управление от оператора Ф
передается оператору
13
А23 для частной обработки данных и последующего моделирования поступления очередных заявок, что будет рассмотрено ниже.
115
Учебное пособие
освj j ож j обслj
t : t
пребj ож j обслj
:
пребj пр зад
*
j
j1
j
*
1
p(y) y
j
Если условие выполняется, то есть заявка не покидает систему, управление от оператора P12 передается оператору Ф14 для
формирования длительности обслуживания τ
величины, подчиненной соответствующему закону распределения.
Затем оператор А
определяет момент освобождения канала
15
после окончания обслуживания j-й заявки:
Оператор А16 уменьшает число заявок в очереди на единицу
(m: = m – 1) и подсчитывает новое значение m2, а оператор А17
подсчитывает длительность пребывания заявки в системе:
Оператор Р18 осуществляет проверку условия
,
используемого при расчете закона распределения длительности пребывания заявки в системе, что будет показано ниже.
Оператор A19 подсчитывает число заявок d, то есть определяет
d: = d + 1, а оператор А20 находит общее число обслуженных заявок (с: = с + 1). На этом заканчивается рассмотрение судьбы j-й
заявки в системе, и управление передается оператору A21 для
частной обработки данных и моделирования следующих заявок.
Частная обработка заключается в подготовке некоторых сумм, необходимых для последующего статистического расчета соответствующих математических ожиданий и дисперсий ряда избранных
величин, а также для расчета вероятностей некоторых величин,
выбранных нами в качестве показателей, оценивающих эффективность системы массового обслуживания.
Вероятность появления любой из интересующих нас величин
приближенно можно рассчитать через частость
, как случайной
обсл j
.
.
где p(у) – вероятность появления величины y;
j* – число заявок, поступивших в систему в течение интервала
моделирования;
yj – значение величины у для j-й заявки.
,
116
Учебное пособие
*
(j)
j
1
Xx
j
2 2 2
X
M[X ] (M[X])
2
X
2 2 2
M[X ] (M[X])
(j)
пребj
2
пр j
(j)
(j)
обслj
(j)
ож j
2
ож j
(j)
(j)
простj
2
прост j
(j)
( j)
j
m
2
j
( j)
m
преб
Статистическая оценка математического ожидания величины
X рассчитывается по формуле:
,
где xj – значение величины X для j-й заявки.
Для расчета статистической оценки дисперсии величины X
воспользуемся известной формулой:
,
где
– дисперсия X; М[Х2] — математическое ожидание X2;
(М[Х])2 – квадрат математического ожидания величины X.
Соответственно статистическая оценка среднеквадратического отклонения величины X определяется по формуле:
.
Частная обработка данных по j-й заявке производится цепочкой операторов A21–H30. Для обслуженных заявок она заключается
в последовательном накоплении следующих величин, необходимых для дальнейшего использования формул:
;
;
;
;
;
;
Для необслуженных заявок, выбывших из очереди вследствие
превышения предельной длительности ожидания, управление передается для частной обработки от оператора Ф13 непосредственно
оператору A23, минуя операторы А21 и A22, поскольку нет необхо-
димости вычислять величины τ
остальных сумм для необслуженных заявок ничем не отличается
от аналогичных операций для обслуженных заявок.
После окончания всех этих подсчетов управление передается
оператору H30 для присвоения нулевых значений всем текущим
величинам, связанным с судьбой j-й заявки, а затем оператору Ф2
для моделирования судьбы следующей заявки.
Вернемся к оператору Р4, когда условие не выполняется, то
есть когда поступление очередной заявки происходит за предела-
;
преб
117
;
и
.
. Накопление всех
Учебное пособие
преб
пребj
(j)
1
c
22
преб j преб
преб
(j)
1
c
*
ож
ож j
(j)
1
j
22
ож j ож
*
ож
(j)
1
j
*
j
(j)
1
mm
j
2
2
j
*
(j)
m
1
j
mm
*
прост простj
(j)
1
j
22
прост j прост
*
прост
(j)
1
j
ми интервала моделирования и следует переходить к Общей обработке данных. При этом управление от оператора Р4 передается
оператору A31. Цепочка операторов A
обработку данных, то есть последовательный расчет оценок математических ожиданий и среднеквадратических отклонений для
следующих величин:
– длительности пребывания обслуженной заявки в системе
(заявки, обслуживание которой завершено):
– A36 производит общую
31
;
– длительности пребывания заявки в очереди
;
– длины очереди
;
После этого цепочка операторов A
– вероятность обслуживания заявки р
– вероятность отказа в обслуживании р
– A40:
37
обсл
отк
= с / j*;
– вероятность обслуживания заявки без ожидания р
= 1 – с / j*;
= а / j*;
обо
– вероятность пребывания обслуженной заявки в системе в
течение времени, не превышающего заданного: p
преб
(τ< τ
преб зад
) =
d / j* (под временем пребывания обслуженной заявки в системе
понимается время нахождения заявки в очереди и под обслуживанием).
Оператор П41 осуществляет печать рассчитанных величин.
Затем рассчитываются аналогичные статистические оценки
простоя канала операторами А42, A43, А44:
– длительность простоя канала
– среднеквадратическое отклонение
118
Учебное пособие
прост
прост
M
p
T
– вероятность простоя канала
.
Оператор П45 осуществляет печать этих величин, после чего
оператор Я46 останавливает моделирование.
Таким образом, следует отметить, что если провести по заданной модели дополнительные расчеты, изменяя величину τ
преб зад
от нуля до бесконечности, то, используя полученный ряд величин
p(τ< τ
F(τ
преб зад
), можно построить график функции p(τ< τ
преб зад
преб зад
). Этот график представляет собой функцию распределе-
) =
ния длительности пребывания заявки в системе – основную интегральную характеристику СМО.
Контрольные вопросы
1. Как осуществляется моделирование процесса решения за-
дачи исследования системы телетрафика?
2. Какие виды моделирования используются в теории теле-
трафика?
3. Что представляет собой моделирование случайных чисел?
4. Для чего используется критерий Пирсона?
5. Какие приемы используются при формировании последо-
вательности случайных величин с исследуемым законом распределения?
119
Учебное пособие
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном пособии изложены наиболее важные проблемы
СМО на современном научном уровне, базируясь на теории вероятностей и других разделах математики в объеме учебной программы. При этом значительное внимание уделялось изложению
физической сущности изучаемых процессов, развитию навыков
использования полученных знаний при решении практических задач, созданию достаточно прочной базы для дальнейшей самостоятельной работы в этой области. Большинство тем снабжено контрольными вопросами, большим иллюстративным материалом.
Главным содержанием курса является исследование процессов информационных систем, а также разработка новых научно
обоснованных методов оценки характеристик их обслуживания.
Теория обеспечивает оценку всех параметров информационных
систем, причем в первую очередь учитывается стохастический
(случайный) характер потоков требований.
Таким образом, учебное пособие позволяет приобрести теоретические знания в области методов исследования и оценки качества информационных систем и сетей, а также применить их при
выполнении соответствующих проектов и научной работы.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]