Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
/ /1MM
)1(
1
JJ
J
S
3
23
3
Рис. 8.1. Модель гипотетической сети
Рис. 8.2. Модель гипотетической сети с системами телетрафика
с ожиданием
Допустим, что каждый коммутатор может быть представлен
системой телетрафика вида
. Тогда время пребывания
пакета в j-м коммутаторе определяется по такой формуле:
. (8.5)
Загрузка определяется отношением интенсивности входящего
потока к интенсивности обслуживания. Например,
. (8.6)
101
Учебное пособие
X
P
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
77332211
X
S
S
X
P
X
S
Y
P
Y
S
Z
P
Z
S
Средняя задержка пакета на маршруте, выбираемом с вероятность
может оцениваться с учетом вероятностей PX, PY и PZ:
задержки пакетов существенно сложнее. Обычно для их расчета
используют методы имитационного моделирования.
ные СМО, для которых осуществляется оценка показателей качества обслуживания трафика – задержки и/или потери заявок. Для
произвольной структуры сети пример многофазной СМО можно
представить такой совокупностью таких элементов (рис. 8.3.):
, будет определяться так:
. (8.7)
Средняя задержка пакета в сети массового обслуживания (S)
=
+
+
. (8.8)
Вычисление квантилей функции распределения длительности
8.2. Многофазные системы массового обслуживания
В сети массового обслуживания можно выделить многофаз-
Рис. 8.3. Пример многофазной СМО для произвольной структуры сети
Для такой модели можно вычислить все интенсивности потоков заявок. Обычно для многофазных СМО определяются такие
характеристики:
вероятность потери заявок;
среднее значение времени задержки заявок;
функция распределения длительности задержки заявок.
Для алгоритма обслуживания заявок с потерями можно использовать приближенную формулу, если вероятность блокировки
на каждой фазе весьма мала:
102
Учебное пособие
N
...
21
N
SSSS ...
21
N
J
J
sSsS
1
)()(
1//MG
k
r
k
k
r
)1(
)(
*
A
10
t
etW
)1(
1)(
)1(
W
1//MM
s
sA )(
*
0))(1(
10
. (8.9)
Для среднего времени задержки заявок действует правило аддитивности математического ожидания:
. (8.10)
Для функции распределения времени задержки заявок необходимо найти свертку таких же функций, определенных для каждой
СМО. Преобразование Лапласа – Стилтьеса вычисляется проще:
. (8.11)
Сложные СМО
СМО вида
. Вероятности состояний (
) определяют-
ся следующим образом:
, (8.12)
где – единственное решение уравнения
(8.13)
в области
.
Распределение длительности ожидания для рассматриваемого
класса СМО также определяется через переменную :
. (8.14)
Средняя длительность ожидания начала обслуживания рассчитывается так:
. (8.15)
Для СМО вида
уравнение (13), учитывая, что
, принимает такой вид:
. (8.16)
В уравнении (16) интересен только один корень в силу сформулированных ограничений –
. Поэтому
.
103
Учебное пособие
1//GG
)1(
)2(
)1(
)2(22
2)1(2
)1(
I
I
t
t
W
a
aba
2
a
2
b
)( j
a
t
йj
)(tA
)( j
I
йj
1
0
//// dVGM
СМО1
СМО2
СМОK-1
СМОK
СМОN-1
СМОN
. . .
. . .
СМО2 СМОN-1 СМОX
СМО вида
. Среднее время ожидания начала обслу-
живания определяется следующим образом:
. (8.17)
В этой формуле используются такие оценки:
– дисперсия промежутков времени между заявками, по-
ступающими в СМО;
– дисперсия времени обслуживания заявок в СМО;
–
ми (процесс
–
момент для времени между соседними заявка-
);
момент для длительности периода свободного
состояния СМО (система, если она работоспособна) находится в
двух состояниях: занятости и свободности.
Другие сложные СМО. Другие сложные СМО могу быть
представлены такими примерами:
СМО вида
ненадежный обслуживающий прибор;
приоритетное обслуживание (разные алгоритмы);
системы с обратной связью.
Рис. 8.4. Преобразование модели многофазной системы
При разработке многофазных схем с блокировками новые
схемы получают по аналогии с уже известными, используя опыт и
интуицию проектировщика. В этом случае обычно рассматривается несколько классов коммутационных схем.
104
Учебное пособие
.
.
.
.
.
.
1
2
L M
2
1
СМО1
СМО2
СМО4
СМО3 СМО5
СМО6
Источники трафика Источники трафика
.
.
.
.
.
.
1
2
L M
2
1
МАК1
ТК2
ТК4
ТК3
ТК5
МАК6
Терминалы сети NGN
Терминалы сети NGN
а) Модель IP сети в виде СеМО
а) Структура IP сети
.
.
.
1
2
L
СМО1
СМО2
СМОN-1
Источники трафика
. . .
1
I
2
1
I
N-1
.
.
.
M
2
1
СМОN
Источники трафика
O
N-1
O
2
1
1
Рис. 8.5. Модель СеМО, предназначенная для анализа IP сети
Рис. 8.6. Модель процесса обмена IP-пакетами в сети NGN
В пределах каждого из классов проводится возможная в рамках имеющихся методов оптимизация с последующим сопоставлением лучших вариантов каждого класса и выбором требуемой
схемы. В качестве критерия при выборе структуры коммутационных схем в большинстве случаев пользуются числом точек коммутации.
105
Учебное пособие
1
0
/ /1/ /M M d
1// MG
1//GG
Контрольные вопросы
1. Какому закону подчиняется распределение промежутков
между вызовами и длительности их обслуживания для СМО вида
?
2. Какие характеристики обычно определяются для много-
фазных СМО?
3. Каковы СМО вида
4. В чем особенности СМО вида
5. Каковы примеры сложных СМО?
?
?
106
Учебное пособие
Тема 9. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
9.1. Рассматриваются роль и цель моделирования в теории СМО, а
также виды моделирования. Описывается пример моделирования алгоритма СМО.
9.1. Моделирование в теории массового
обслуживания
При моделировании реальный объект (или процесс) обычно
представляется в идеализированной форме, упрощающей исследование. Выбор модели – сложная задача. Ее решение осуществляется с учетом множества факторов.
Во-первых, следует четко выделить цель моделирования. Одна
и та же система телетрафика может изучаться с помощью разных
моделей, если исследуются, например, свойства выходящего потока
и влияние дисциплины обслуживания на вероятность потери заявок.
Во-вторых, должны быть установлены основные причинноследственные связи, важные для решаемой задачи. В-третьих, следует оценить желаемую точность результатов моделирования.
Существует несколько видов моделирования. Сначала в теории телетрафика были использованы методы моделирования, основанные на реальных аппаратных средствах. В частности, искусственное замыкание и размыкание шлейфа абонентской линии
может считаться простейшим примером такого моделирования.
Подобные эксперименты часто связывают с физическими моделями. Этим моделям свойственно изменение масштаба. К достоинствам физических моделей следует отнести их адекватность реальным объектам (или процессам). Обычно реализация этих моделей (если речь не идет об эксперименте на уже готовом оборудовании) обходится довольно дорого. Существенно то, что данный
вид моделей не годится в тех случаях, когда оборудование только
разрабатывается.
В настоящее время в теории телетрафика широко используется математическое моделирование. Оно незаменимо в тех случаях,
когда исследование системы с помощью аналитических методов
не представляется возможным. Также полезным математическое
моделирование становится для проверки ряда допущений, свой-
107
Учебное пособие
[0;1)
[ ; )ab
)(tf
)(tF
abtf
1)(
ab
at
tF
)(
)(tf
)(tF
ственных аналитическим методам исследования систем телетрафика. Еще одна сфера применения – выбор числа членов в рядах,
включающих бесконечное количество слагаемых.
Математическое моделирование систем телетрафика выполняется на ЭВМ за счет составления программы или набора программ. Эти программы имитируют процессы по обслуживанию
заявок. Поэтому в теории телетрафика очень часто используется
термин «имитационное моделирование».
Иногда используется сочетание физических и математических
моделей. В частности, японские специалисты при изучении вероятностно-временных характеристик системы общеканальной сигнализации изготовили оборудование, а на его входе имитировали с
помощью программного датчика случайных чисел входящий поток заявок – сигнальных единиц.
Моделирование случайных чисел – важный этап создания имитационных моделей. Известны два способа получения случайных
чисел:
использование физических генераторов (датчиков) случай-
ных чисел (шум в радиоэлектронных приборах и трактах, радиоактивное излучение);
составление программ, позволяющих получить псевдослу-
чайные числа (они могут быть очень близки к случайным числам).
В настоящее время используются исключительно программные датчики. Обычно случайные числа генерируются так, чтобы
они принадлежали интервалу
ния должен быть равномерным. Известно, что для интервала
функции
и
определяются следующим образом:
. При этом закон распределе-
,
На рис. 9.1 показаны функции
теристики равномерного распределения представлены в табл. 9.1.
. (9.1)
и
. Основные харак-
108
Учебное пособие
t
f(t)
t
F(t)
1
ba
a b a b
1
[ ; )ab
Математическое
ожидание
Дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
2
ba
12
)(2ab
0
–1,2
[0;1)
1
2
1
12
[0;1)
2
Рис. 9.1. Равномерное распределение на интервале
Таблица 9.1.
Основные характеристики равномерного распределения
Очевидно, что для интервала
а дисперсия –
.
среднее значение равно
Моделированием случайной величины называют процесс получения ее значений. Это означает, что для формирования потока
вызовов, поступающих, например, в АТС, следует разработать
процесс, который позволяет выделять моменты занятия входов на
ступени абонентского искания. Ступень абонентского искания в
АТС – с точки зрения имитационной модели – может рассматриваться как система телетрафика.
Случайные числа, получаемые с помощью программных генераторов, необходимо проверить с точки зрения закона их распределения на интервале
статистического и эмпирического распределений, выбрав заранее
. Для этого можно использовать сравнение
критерий согласия. Часто используется критерий Пирсона –
Для того, чтобы убедиться в «похожести» полученного распределения и закона равномерной плотности, целесообразно про-
,
.
109
Учебное пособие
()fy
( ) ( )
y
F y f y dy
()fy
( ) ( )
Y
X f y dy F Y
[0;1)
i
y
i
x
i
y
верить математическое ожидание случайной величины (оно должно быть близким к 0,5), коэффициент вариации (он должен быть
равен примерно 0,577), коэффициент асимметрии (он должен быть
близок к нулю) и коэффициент эксцесса (он не должен заметно
отличаться от минус 1,2).
Получив случайные (псевдослучайные) числа, необходимо
перейти к формированию последовательности случайных величин
с исследуемым законом распределения. Обычно используется
один из следующих приемов:
метод обратных функций (то есть, прямого преобразования
равномерно распределенных случайных чисел);
приближенные методы;
метод отсеивания чисел из первоначальной последователь-
ности случайных чисел (метод генерации Неймана);
методы, основанные на центральной предельной теореме.
Допустим, что случайная величина Y непрерывна, а соответствующая плотность распределения вероятности задана функцией
. Тогда функция распределения задана известным выражением:
. (9.2)
Обычно в качестве нижнего предела интегрирования в теории
телетрафика используется ноль.
Теорема. Если случайная величина Y имеет плотность распределения вероятности
чины
является равномерным на интервале
следует
Правило: для того чтобы найти возможное значение
рывной случайной величины Y, надо выбрать случайное число
и решить относительно
, то распределение случайной вели-
(9.3)
. Из этой теоремы
непре-
такое уравнение:
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]