Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Модели массового обслуживания в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Учебное пособие
)(t
[ , )tt
0
1
( , )
()ttt lim
()
( , )
!
k
t
k
t
a a t e
k
)(tf
( ) 1
t
A t e
()
( , )
!
k
t
k
t
a a t e
k
( ) 1
t
A t e
Параметром потока
роятности поступления хотя бы одного вызова за время
длине этого интервала времени при
называется предел отношения ве-
к
:
Простейший поток. Вероятность поступления ровно k вызовов за период длительностью t определяется распределением
Пуассона:
.
Этому потоку присущи три важных свойства: он стационарен,
ординарен и не имеет последействия. Это означает, что
Распределение интервалов между моментами поступления вызовов определяется таким законом:
.
Основной акцент в предыдущей лекции был сделан на характеристиках простейшего потока заявок. Этому потоку свойственны: стационарность, ординарность и отсутствие последействия.
Вероятность поступления ровно k вызовов за период длительностью t определяется распределением Пуассона:
.
вызовов определяется экспоненциальным законом:
довательно, и для теории телетрафика) представляют потоки заявок, отличающиеся от простейшего потока. Ряд таких потоков
заявок рассматривается в этой лекции.
ток без последействия, для которого в любой момент времени t
. (4.10)
Распределение интервалов между моментами поступления
. (4.12)
Практический интерес для расчета сетей и систем связи (сле-
4.2. Нестационарный и неординарный
пуассоновские потоки
Нестационарный пуассоновский поток – это ординарный по-
51
Учебное пособие
)(t
),[0tt
t
t
duu
t
t
k
e
k
duu
ttp
0
0
)(
0
!
)(
),(
)(u
)(t
),[tt
0
),(
lim)(
1
tt
t
rl 1
klg
l
w
1
r
i
i
w
существует конечный параметр
. Этот параметр зависит от
момента времени t.
Рассматриваемый поток называют также потоком с перемен-
ным параметром, или нестационарным простейшим потоком.
Вероятность поступления точно k вызовов за промежуток времени
определяется следующим образом:
. (4.13)
Если поток стационарен, то
. Тогда формула (4.13)
легко преобразуется в формулу (4.10). Напомним, что параметром
потока
ления хотя бы одного вызова за время
тервала времени при
называется предел отношения вероятности поступ-
к длине этого ин-
:
(4.14)
Неординарный пуассоновский поток – это стационарный поток без последействия, для которого одновременно могут поступать l заявок. Обычно предполагается, что
. Величину l
называют характеристикой неординарности потока заявок.
Можно выделить два типичных случая:
значение l – постоянная величина (тогда формула (4.10)
позволяет рассчитать вероятность появления «пачки» вызовов
размером
);
значение l – переменная величина (тогда определяется веро-
ятность
, оценивающая возможность появления «пачки», состо-
ящей из l заявок).
Общий параметр потока во втором случае оценивается следующим образом:
Интенсивность (ν) неординарного пуассоновского потока
больше его параметра (λ):
. (4.15)
52
Учебное пособие
11
rr
i i i i
ii
l w l w
}{S
N
2
)(ts
()
0
[ ( , / ( )]
lim
St
t t s t
[ , )tt
)(ts
)(ts
. (4.16)
Интерес к нестационарным пуассоновским потокам объясняется природой трафика в телефонной сети. Неординарные потоки
заявок циркулируют во многих современных системах связи. Первый пример такого потока может быть найден в системе телеграфной связи, когда диспетчер разносил по рабочим местам стопки
сообщений для их подготовки и последующей отправки.
4.3. Потоки с простым последействием
Для потока с простым последействием важнейшей характеристикой считается зависимость параметра потока от состояния
СМО в любой момент времени t.
Если рассматривать коммутационное поле телефонной станции, то можно выделить множество
можные состояния. Каждый элемент множества отражает, например, состояние элемента коммутации. Если этот элемент пребывает в двух состояниях (включено – выключено), то для N элемен-
тов множество состояний будет определяться величиной
Для анализа обычно выделяют микро- и макросостояния коммутационного поля. Выбор между ними осуществляется с учетом
природы решаемой задачи. Он также будет зависеть от свойств
коммутационного поля. Для исследования коммутационных полей
под макросостоянием обычно понимают только число занятых
входов или выходов. Параметром потока в состоянии
ется следующий предел:
, описывающее все воз-
.
счита-
В числителе указана вероятность поступления на отрезке
одного и более вызовов, если в момент времени t СМО
находилась в состоянии
вать такое определение: поток с простым последействием является
ординарным, для которого в любой момент времени t существует
конечный параметр в состоянии
. (4.17)
. Эта формула позволяет сформулиро-
, зависящий только от состо-
53
Учебное пособие
)(ts
)(ts
)(ts
)(tS
)(ts
)(tS
i
i
)( ini
i
i
p
i
n
i
i
p
0
яния СМО –
и независящий от процесса обслуживания заявок
до момента времени t.
Рассматриваемое последействие называется простым по следующей причине: для расчета параметра потока достаточно знать
состояние СМО
. Это означает, что поток с простым после-
действием не относится к классу стационарных потоков. Его параметр зависит от времени. Эта зависимость проявляется через
состояние
.
4.4. Симметричный и примитивный потоки
Эти два вида потоков можно рассматривать как частные случаи потока с простым последействием.
Симметричным потоком называется поток с простым после-
действием, параметр которого
мент времени t зависит лишь от числа обслуживаемых в этот момент времени вызовов («i»). Этот означает, что параметр потока не
зависит от других свойств состояния
можно заменить на
.
Примитивным потоком называется такой симметричный по-
ток, параметр которого
прямо пропорционален числу свобод-
ных в данный момент времени источников трафика:
В этой формуле n – общее число источников трафика, i – число занятых источников трафика, α – параметр потока источника в
свободном состоянии. Этот параметр считается постоянной вели-
чиной, а параметр примитивного потока
численности занятых источников трафика.
Математическое ожидание (среднее значение) параметра примитивного потока определяется с учетом вероятности нахожде-
ния СМО в состоянии i –
(занятости i источников трафика):
в любой произвольный мо-
. Тогда обозначение
. (4.18)
убывает по мере роста
. (4.19)
54
Учебное пособие
)(tA
( ) 1
t
A t e
n
12
, ,...zz
),()( zzPzF
kk
1, 2,...k
Функция распределения вида
для каждого источника
трафика определяется таким соотношением:
. (4.20)
Для достаточно больших значений n и малых величин
примитивный поток очень похож на простейший с интенсивностью заявок
.
4.5. Поток с повторными вызовами
Поток заявок (вызовов), поступающих в СМО (местную телефонную станцию), часто можно рассматривать как совокупность первичных и повторных заявок. Первичная заявка генерируется терминалом, ранее не занятым исходящим соединением.
Повторная заявка создается терминалом, который (в недавнем
прошлом) получил отказ в обслуживании. Параметр потока первичных вызовов (заявок) можно считать независящим от состояния местной телефонной станции. Для параметра повторных вызовов такое допущение нельзя считать приемлемым. Чем больше
занято обслуживающих приборов, тем больше параметр потока
повторных вызовов.
Различить первичные и повторные заявки достаточно сложно.
В любом случае, надо учитывать, что поток, интенсивность которого измеряется на входе СМО, образован двумя видами заявок –
первичными и повторными. Способы снижения интенсивности
повторных заявок – предмет отдельного анализа.
4.6. Поток с ограниченным последействием.
Поток Пальма
Поток с ограниченным последействием характеризуется следующим свойством: последовательность промежутков времени
между вызовами
независимых случайных величин, которые имеют любые функции
распределения. Такой поток вызовов может быть описан последовательностью функций распределения интервалов между вызовами:
Следовательно, свойство ограниченности последействия состоит в независимости интервалов между вызовами. Свойства
представляет собой последовательность
(4.21)
55
Учебное пособие
)(zF
k
),()()( zFzzPzF
kk
2,3,...k
)()(
1
zFzF
)(tB
«ограниченности последействия» и «отсутствие последействия»
являются различными характеристиками потока.
Рекуррентный поток – частный случай потока с ограниченным последействием. Для рекуррентного потока все функции
распределения совпадают. Обобщением для рекуррентного
потока служит поток с запаздыванием, для которого:
,
Стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма. Важной в теории телетрафика
считается теорема Пальма: если в СМО с экспоненциальной функцией распределения
поступает простейший поток или поток
Пальма, то поток потерянных вызовов будет потоком Пальма.
4.7. Просеивание потоков. Потоки Эрланга
Допустим, что ко всем вызовам потока заявок применяется
следующий алгоритм фильтрации: с вероятностью r заявка поступает в СМО, а с вероятностью (1–r) теряется. Поток вызовов, поступающих в СМО, называется просеянным. Процедура фильтрации называется рекуррентной операцией просеивания. Поток вызовов, поступающих в СМО, будет рекуррентным.
Из простейшего потока с параметром λ рекуррентная операция просеивания создает также простейший поток с параметром
rλ. Это означает, что разделение простейшего потока на ряд компонентов, которое осуществляется с помощью рекуррентной операции просеивания, формирует несколько простейших потоков.
Параметр каждого потока определяется произведением λ на величину соответствующей вероятности.
Если процедура просеивания отлична от рекуррентной, то
характер потока заявок будет меняться. Например, m заявок теряются, а (m+1) поступает в СМО и так далее. В этом случае из
простейшего потока формируется поток Эрланга m-го порядка.
В потоках Эрланга любого порядка интервалы времени между
вызовами независимы и распределены по одному и тому же закону. Поэтому потоки Эрланга относятся к классу рекуррентных.
Для математического ожидания и дисперсии интервала времени
между вызовами в потоке Эрланга m-го порядка справедливы такие формулы:
. (4.22)
56
Учебное пособие
1m
t
a
2
2
1
m
a
a
C
11m
C
a
m
1m
m
s
ss
s
)()(
)(
C
)(s
0s
,
. (4.23)
Это означает, что коэффициент вариации исследуемой величины (
) определяется по такой формуле:
. (4.24)
Если вызовы не теряются, то коэффициент вариации равен
единице, то есть поток является простейшим. При
поток
становится похожим на детерминированный. Параметр просеянного потока определяется очевидным соотношением:
. (4.25)
4.8. Выходящие потоки
Свойства выходящих потоков часто представляют большой
практический интерес. Эти потоки являются входящими для последующих СМО. Свойства выходящего потока зависят от множества факторов, среди которых следует выделить:
характеристики входящего потока заявок;
длительность обслуживания заявок и соответствующий за-
кон распределения;
численность обслуживающих приборов;
алгоритм выбора заявки на обслуживание.
Наиболее просто исследовать однолинейную СМО с ожиданием, на вход которой поступает пуассоновский входящий поток.
Для такой модели известно преобразование Лапласа – Стилтьеса
функции распределения интервалов между заявками, покидающими СМО:
. (4.26)
Из этого выражения можно найти коэффициент вариации
длительности интервалов между заявками, покидающими СМО –
. Для этого необходимо взять первую и вторую производные от
. В точке
эти производные определяют первый и вто-
рой моменты функции распределения интервалов между заявками,
57
Учебное пособие
1
C
)1(1
22
CC
C
1
k
1
C
)(tB
)(s
покидающими СМО. Из-за отсутствия потерь заявок первый момент составляет
чина
:
. По двум моментам легко определяется вели-
. (4.27)
В этой формуле величина
определяет коэффициент вари-
ации длительности обслуживания заявок. Очевидно, что выходящий поток будет близок к простейшему (по критерию
) при
соблюдении хотя бы одного из двух условий:
низкая загрузка системы (ρ), что приближает величину Сγ к
единице вне зависимости от характера функции В(t);
близость коэффициента Сβ к единице (в этом случае не так
существенна величина загрузки системы).
Строго говоря, условие
нельзя считать достаточным
для утверждения о пуассоновском характере выходящего потока.
Можно подобрать ряд распределений, для которых Сγ ≈ 1, но
функция распределения длительности интервалов между вызовами
не будет похожа на экспоненциальный закон.
4.9. Обслуживание заявок
В большинстве СМО время обслуживания заявок представляет
собой случайную величину. Следовательно, полная информация о
длительности обслуживания заявок может быть представлена ФР –
. Будем считать, что функция имеет преобразование Лапласа –
Стилтьеса –
По аналогии с лекцией о потоках заявок рассмотрим статистические данные о времени телефонного разговора и длительности занятия модемного пула – рис. 4.6 и 4.7.
Статистические данные, использованные для построения той
гистограммы, которая приведена на рис. 4.6, были собраны в 1973
году. Поэтому измеряемая величина связана только с трафиком
речи. Передача факсимильных сообщений в это время была большой редкостью, а трафик данных вообще отсутствовал. Следует
отметить, что длительность местных соединений при сборе стати-
.
58
Учебное пособие
300
240
180
120
60
0
4
8
12
16
20 24
Время
суток
Среднее время обслуживания в секундах
)(tB
1
( ) 1 .
t
B t e
стических данных не учитывалась. Это означает, что рассматривался междугородный и международный трафик речи.
Рис. 4.6. Изменение среднего времени телефонного разговора в сутки
Необходимо также подчеркнуть, что измеряемая величина характерна для соединений, устанавливаемых со стационарных телефонных терминалов (в 1973 году мобильной связи еще не было).
Для сетей мобильной связи характерны иные распределения и
численности вызовов, и средней длительности разговоров. Очевидно, два графика не идентичны ни с точки зрения закона распределения, ни по численным значениям математического ожидания длительности обслуживания заявок. Напомним, что оба графика представляют динамику изменения средних величин. Среди
тех распределений
терес, можно выделить семь законов.
Во многих исследованиях, касающихся телефонного трафика,
используется предположение об экспоненциальном распределении:
, которые представляют практический ин-
(4.28)
59
Учебное пособие
Среднее время обслуживания в секундах
Время
суток
200
400
600
800
1000
1200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0
24
2
( ) 1
t
B t e
1
0
()
.
!
i
k
i
μt
i
Рис. 4.7. Изменение среднего времени занятия модемного пула
Экспоненциальное распределение существенно упрощает исследование СМО. Кроме того, многие распределения, более реальные с практической точки зрения, имеют коэффициент вариации
менее единицы. Это означает, что результаты, полученные для
экспоненциального распределения, позволяют оценить характеристики исследуемой СМО «сверху» – для пессимистического сценария. Тем не менее, для многих ситуаций гипотезу об экспоненциальном распределении длительности обслуживания заявок следует считать очень грубым приближением. Это утверждение справедливо и для многих других законов распределения с модой в
точке t = 0.
Распределения с коэффициентом вариации менее единицы часто представимы с помощью распределения Эрланга k-го порядка. Характеристики этого распределения были приведены в
предыдущей лекции. Напомним выражение для ФР:
60
(4.29)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]