Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
Таблица 2.1
.
xx x
x zS x zS− ≤n ≤ +
23,8
1,37.
300
x
S = =
Площадь S по кривой нормированного нормального
распределения Φ(z)
Площадь слева от z,
% от единицы
0,01 –3,719 84,00 0,994
0,05 –3,291 90,00 1,282
0,10 –3,090 95,00 1,645
0,50 –2,576 97,50 1,960
1,00 –2,326 99,00 2,326
2,50 –1,960 99,50 2,576
5,00 –1,645 99,90 3,090
10,00 –1,282 99,95 3,291
16,00 –0,994 99,99 3,719
50,00 0,000 – –
z
Площадь слева от z,
% от единицы
Для определения доверительного интервала используют-
–
ся величины
x, S и z:
Пример построения доверительного интервала в случае
большой выборки
–
Исходные данные:
x = 92,83; n = 300; S = 23,8. Требует-
ся определить доверительный интервал для средней (n
99,5 % доверительной вероятности.
Решение:
z
) при
x
По таблицам нормированного нормального распределения для доверительной вероятности 0,995 находим величину z = 2,58. Это значение можно также определить, использую статистическую функцию Excel (рис. 2.1).
Искомый доверительный интервал будет иметь вид
81
92,83 – 2,58 ⋅ 1,37 ≤ nx ≤ 92,83 + 2,58 ⋅ 1,37;
,
1
x
S
Sn=
−
89,30 ≤ nx ≤ 96,36.
Здесь z = 2,575829304 ≈ 2,58.
Рис. 2.1. Расчет параметра z при 99,5 % вероятности
с использованием соответствующей статистической функции
Excel
Интерпретация полученного результата: если большое число выборок по 300 измерений в каждой взято из генеральной
совокупности, то вычисленные интервалы должны включать
истинную среднюю в 99,5 % случаев.
2.2. Доверительный интервал средней
(малаявыборка)
Для выборки размера n при условии нормального распределения случайной величины x статистика распределена по закону распределения Стьюдента с n – 1 степенями свободы (под
термином «статистика» понимают всякую функцию, определяемую n случайными величинами, входящими в выборку). В
этом случае стандартное отклонение определяется по формуле
82
а для определения доверительного интервала используется
.
x
x
x
t
S
−n
=
1,1 1,1
0,367.
3
9
x
S = = =
величина
Пример построения доверительного интервала в случае
малой выборки
–
Исходные данные:
определить доверительный интервал для средней (n
x = 3,4; n = 10; S = 1,1. Требуется
) при
x
95 % доверительной вероятности.
Решение:
По таблице распределения Стьюдента для доверительной
вероятности 0,95 и числа степеней свободы n – 1 = 9 находим
величину t = 2,26. Это значение можно также определить,
используя статистическую функцию Excel (рис. 2.2).
ющим образом:
Рис. 2.2. Расчет параметра t при 95 % вероятности
и 9 степенях свободы с использованием соответствующей
статистической функции Excel
Искомый доверительный интервал рассчитывается следу-
83
3,4 – 2,26 ⋅ 0,367 ≤ nx ≤ 3,4 + 2,26 ⋅ 0,3678,
Число благоприятных ответов
pn=
( )
1
.
pp
n
⋅−
2,5 %
281
0, 56 2; 1, 96;
500
pz= = =
0,438 0,438
0,562 1,96 0,562 0,562 1,96 0,562 ;
500 500
p−⋅⋅<<+⋅⋅
2
2
,
nS⋅
s
или 2,57 ≤ nx ≤ 4,23.
2.3. Доверительный интервал
длявыборочнойдоли
При больших n выборочная доля
распределена приблизительно нормально с математическим
ожиданием p и стандартным отклонением
Пример построения доверительного интервала для выбо-
рочной доли
Исходные данные: в выборке из 500 избирателей обнаружено, что 281 голос подан за предлагаемый налоговый закон.
Определить с доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал для процента избирателей, поддерживающих
этот закон.
Решение:
0,519 < p < 0,605.
2.4. Доверительный интервал длядисперсии
Пусть случайная величина х подчиняется нормальному закону распределения с параметрами (v
, … хn – ряд независимых наблюдений над случайной ве-
х
3
личиной х. Можно показать, что статистика
84
x
, s2), а х1, х2,
где
( )
2
2
1
1
,
1
n
i
i
S xx
n
=
=⋅−
−
∑
имеет распределение c2 с f = n – 1 сте-
2
22
12
2
1,
nS
Pq
⋅
c < <c = = −a
s
( ) ( )
22 22
12
.
2
PP
a
c <c = c >c =
( ) ( )
2
2 2 22 22
12 1 2
2
1.
nS
P PP
⋅
c < <c = − c <c − c >c
s
( ) ( )
22 22
11
1.PPc <c = − c >c
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 22 22
12 1 2
2
22 22
12
11
1.
nS
P PP
PP
⋅
c < <c = − − c >c − c >c =
s
= c >c − c >c = −a
пенями свободы.
где q – доверительная вероятность;
a – уровень значимости.
2
2
и c
Величину c
выбирают так, чтобы
1
2
Тогда имеем:
Таблица распределения c2 содержит лишь P(c2 < c
2
2
> c
Для вычисления P(c
) необходимо использовать тож-
1
дество
Это тождество означает, что сумма вероятностей двух
противоположных событий равна единице. Например, при
выстреле по мишени произойдет одно из двух событий – «попал» или «не попал». Ясно, что какое-то произойдет.
Поэтому
85
2
k, a/2
).
Отсюда
( )
( )
22 22
12
( )1 1 .
2
PP
a
c >c = −a + c >c = −
2
22
12
2
nS
⋅
c < <c
s
22
2
22
21
.
nS nS⋅⋅
<s <
cc
22
2
22
21
:
nS nS⋅⋅
<s <
cc
2
20 10 20 10
;
33,7 8, 6
⋅⋅
<s <
Таким образом, при использовании таблиц для случая
2
2
> c
P(c
) нужно пользоваться доверительной вероятностью
1
(1 – a / 2).
Аналогично, вместо
можно рассчитать
Пример построения доверительного интервала для дис-
персии
Необходимо построить доверительный интервал с веро-
2
ятностью q = 0,96 для дисперсии s
распределенной нормально, если S
случайной величины х,
2
= 10, n = 20.
Решение.
1. Доверительная вероятность q = 1 – a = 0,96. Отсюда
a = 0,04; q
2. По таблице c
ходим c
3. Для вероятности q
2
= 8,6.
c
1
Значения параметров c
= a / 2 = 0,02 и f = n – 1 = 19.
2
2
= 33,7.
2
2
-распределения при f = 19 и q2 = 0,02 на-
= 1 – a / 2 = 0,98 и f = 19 находим
1
2
и c
2
2
могут быть найдены с ис-
1
пользованием Excel (рис. 2.3).
4. Определяем доверительный интервал
5,935 < s2 < 23,256;
2,43 < s < 4,82.
86
2
Рис. 2.3. Расчет параметров c
2
и c
с использованием
2
1
соответствующей статистической функции Excel
2.5. Сравнение двух дисперсий нормально
распределенных генеральных совокупностей
Рассмотрим случайную величину х, подчиняющуюся
нормальному закону распределения, с параметрами n и s
2
Произведем из генеральной совокупности две независимые
выборки объемами n
вать выборочные дисперсии S
ментам первой и второй выборок. Предположим, что S
большая дисперсия
1
Отечественные таблицы F-критерия обычно рассчитаны таким обра-
зом, что в них большая дисперсия делится на меньшую.
и n2. Для оценки s2 можно использо-
1
1
.
87
2
и S
1
2
, рассчитанные по эле-
2
2
1
–
.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы прини-
2
1
2
2
,
S
FS=
( )
2
2 II
1
1
1
;
1
i
S xx
n
= −
−
∑
( )
2
2 II II
2
2
1
1
i
S xx
n
= −
−
∑
мают величину отношения
где
является
случайной величиной с распределением Фишера – Снедекора, которое зависит только от числа степеней свободы
= n1 – 1 и f2 = n2 – 1.
f
1
Пример проверки гипотезы о равенстве генеральных дис-
персий
Исходные данные: n
= 11; n2 = 14; S
1
2
= 0,76; S
1
2
= 0,38;
2
a = 0,05.
Требуется проверить гипотезу Н
ющей гипотезе Н
: sx ≠ sy.
1
: sx = sy при конкуриру-
0
Решение:
= 0,76 / 0,35 = 21;
F
набл
(0,05; 10; 13) = 2,67.
F
кр
Так как F
< Fкр нет оснований отвергнуть гипотезу о
набл
равенстве генеральных дисперсий, т.е. выборочные дисперсии различаются незначимо.
Для расчета критического значения критерия Фишера –
Снедекора можно использовать функцию Excel (рис. 2.4).
Необходимо отметить, что в этой функции Excel указывается не a = 0,05, а доверительная вероятность q = 1 – a =
= 0,95.
1
Отечественные таблицы F-критерия обычно рассчитаны таким обра-
зом, что в них большая дисперсия делится на меньшую.
88
Рис. 2.4. Расчет критического значения критерия Фишера –
1
,
l
i
i
ff
=
=
∑
Снедекора с использованием соответствующей статистической
функции Excel
2.6. Сравнение нескольких дисперсий
нормальных генеральных совокупностей
повыборкам различного объема. Критерий
Бартлетта
Напомним, что требуется при уровне значимости a прове-
: s
рить гипотезы об однородности дисперсий H
, где x1, x2, … xl – генеральные совокупности, распределен-
s
x
l
ные нормально.
Сумма чисел степеней свободы
где fi = ni – 1;
l – число выборок.
Среднее арифметическое выборочной дисперсии, взвешенное по степеням свободы:
= s
0
x
x
1
2
= … =
89
2
2
1
;
l
ii
i
fS
S
f
=
=
∑
22
1
2,303 lg lg .
l
ii
i
V fS f S
=
= −
∑
Рассчитывается также число C:
( )
1
1 11
1.
31
l
i
i
C
l ff
=
=+−
−
∑
.
M
BC=
Критерий Бартлетта определяется по формуле
Величина В при условии справедливости гипотезы об од-
нородности дисперсий распределена приблизительно как c
(l – 1) степенями свободы. По соответствующей таблице или с
помощью функции Excel (рис. 2.5) определяется c
правосторонней критической области. Если В
оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если В
нулевую гипотезу отвергают.
Рис. 2.5. Расчет параметра c
соответствующей статистической функции Excel
90
набл
2
с использованием
кр
< c
набл
2
кр
2
кр
≥ c
2
с
(a, l – 1)
, то нет
2
, то
кр
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]