Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
Окончание табл. 2.6
)
i–1
–
y) / S
)
Интервалы.
Группировки
1,1139 < X ≤ 1,3222 8 2,03 0,979 0,117 6,55 1,45 2,1025 0,321
Сумма 56 – – 0,979 54,81 – – c
i
–
n
= (y
u
i
i
i
) – Φ(u
Φ(u
= Φ(u
p
i
i
Np
i
|
i
– Np
i
|n
2
)
i
– Np
i
(n
/ Np
2
)
– Np
(n
2
=
= 6,194
i
i
i
f2 = 6 – 2 – 1=3; c
2
0,05;3
= 7,815.
2.13.3. Гамма-распределение
Из рис. 2.13 видно, что ряд значений содержания FеО в
шлаке перед раскислением ограничен слева 9 % и имеет правую асимметрию. Это позволяет предполагать, что его можно описать гамма-распределением.
В отличие от нормального распределения, имеющего фиксированную форму, форма гамма-распределения меняется в
зависимости от значения параметра a. В связи с этим невозможно построить шкалу F(х), пригодную для любого гамма-распределения. По этой причине графическая проверка
предположения о гамма-распределении отличается своими
особенностями и ее осуществляют в следующей последовательности.
1. По имеющимся наблюдениям находят оценку величи-
ны g, определяющую левую границу изменения случайной
величины х. Затем с ее помощью и рассчитанных оценок сред-
–
x и дисперсии S2 находят оценки параметров a, опреде-
ней
ляющего форму распределения, и l, определяющего его масштаб.
Для рассматриваемого нами ряда:
g = 9.
В соответствии с этим и согласно уравнениям (1.9) и (1.10)
–
x = 17,375; S2 = 15,984;
111
0
2
17,375 9
0,523;
15,984
x
S
∧
−g
−
l= = =
(2.1)
( )
0
0,523 8,375 4,38.x
∧∧
a=l −g = ⋅ =
d,
0,
xex
0
Fx ye y
(2.2)
2. Оценка может отличаться от теоретического значения
a, поэтому необходимо иметь возможность выбрать шкалу
(х) в некотором интервале значений a. С этой целью слева
F
ин
от графика строят несколько шкал для различных a, близких его оценке. Затем через точки шкал, соответствующие
равным значениям F
хождения F
(х) при промежуточных значениях a.
ин
Для построения шкал F
(х), проводят плавные кривые для на-
ин
(х) при различных a необходимо
ин
прежде всего построить шкалу нормированных отклонений у =
= l(х – g). Для этого находят y
mах
= l(х
– g) = 0,5230 × (30 –
mах
– 9) = 11 и разбивают правую шкалу на 12 равных интервалов.
Так как данные о гамма-распределении найти в литерату-
2
ре довольно трудно, воспользуемся таблицами c
-распреде-
ления, которое является частным случаем гамма-распреде-
2
ления при a = n / 2, l = 1 / 2, М(X) = 0 и s
2
степеней свободы c
-распределения. Для этого следует пре-
= 1, где n – число
образовать гамма-распределение
x
a
alg =
; , ,
Fx
( )
ин 0
Ga
если
l
( )
–
−g
( )
∫
g
, 0, 0;
x
≥g l> a>
в остальных случаях
1
a−
хx
−l −g
0
( )
заменив в нем переменную l(х – g) величиной у, тогда нормированное гамма-распределение примет вид
y
1
a=
; d ,
( )
ин
у ≥ 0, a > 0.
Ga
( )
112
∫
1
a− −
y
Так как приводимые в табл. 2.2а источника [1, с. 228–
nz
Px n z e z
ny
Px n y e y
2
233] процентные точки распределения c
представляют собой
значения, соответствующие определенному уровню значимости, который рассчитан как
∞
; d ,
( )
2
n
G
22
n
( )
1
=
∫
x
−−
21 2
(2.3)
n = 1, 2, 3, ...,
то для того, чтобы воспользоваться указанной таблицей необходимо вместо z / 2 подставить у и перейти к нормированному распределению, имеющему вид
∞
; d .
( )
G
( )
n
2
1
=
−−
21
∫
2
x
(2.4)
Из сопоставления уравнений (2.3) и (2.4) следует, что значения х, найденные из табл. 2.2а [1], необходимо делить на 2,
чтобы получить соответствующее значение нормированной
случайной величины у.
Интеграл вероятности при этом равен F
(х) = 1 – Р(х, п).
ин
В табл. 2.7 приведены значения нормированной величины у, оцененной с помощью данных табл. 2.2а источника [1]
для п от 1 до 10 и для различных значений Р(х).
Значение нормированной величины y
P(x)
0,99 0,000 0,010 0,057 0,148 0,277 0,436 0,620 0,823 1,044 1,279 0,01
0,975 0,000 0,025 0,108 0,242 0,416 0,618 0,845 1,090 1,350 1,624 0,025
0,95 0,000 0,052 0,176 0,355 0,573 0,818 1,084 1,366 1,662 1,970 0,05
0,90 0,008 0,105 0,292 0,532 0,805 1,102 1,417 1,745 2,084 2,432 1,10
0,80 0,032 0,223 0,502 0,825 1,172 1,535 1,911 2,297 2,690 3,090 0,20
0,70 0,074 0,357 0,712 1,097 1,500 1,914 2,335 2,763 3,196 3,634 0,30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Таблица 2.7
n = 2a F
113
(х) =
п
= 1 –
– Р(х)
4,
FeO, %
12
λ
γ
Окончание табл. 2.7
n = 2a F
P(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,60 0,138 0,511 0,935 1,376 1,827 2,285 2,747 3,212 3,678 4,147 0,40
0,50 0,278 0,693 1,183 1,678 2,175 2,647 3,173 3,672 4,172 4,671 0,50
0,40 0,354 0,917 1,473 2,022 2,566 3,105 3,642 4,176 4,707 5,236 0,60
0,30 0,537 1,204 1,832 2,439 3,032 3,615 4,191 4,762 5,328 5,890 0,70
0,20 0,821 1,610 2,321 2,995 3,645 4,279 4,901 5,515 6,121 6,721 0,80
0,10 1,353 2,302 3,125 3,889 4,618 5,322 6,008 6,681 7,342 7,993 0,90
0,05 1,920 2,995 3,907 4,744 5,535 6,296 7,038 7,753 8,460 9,153 0,95
0,025 2,512 3,684 4,674 5,571 6,416 7,225 8,006 8,767 9,512 10,241 0,975
0,01 3,317 4,605 5,672 6,638 7,543 8,406 9,237 10,045 10,833 11,605 0,99
(х) =
п
= 1 –
– Р(х)
Используя шкалу справа от графика, разбитую на 12 равных интервалов, каждый из которых соответствует единице
нормированного отклонения (рис. 2.15), и данные, приведенные в табл. 2.7, строим слева от графика три шкалы для
a = 4,0, 4,5 и 5,0. Затем точки на этих шкалах, соответству-
ющие одному уровню F
(х), соединяем плавной кривой. Ис-
ин
пользуя эти кривые, выполняем масштабирование шкалы
(х) на графике для a = 4,38. Ось абсцисс разбиваем на
F
ин
22 интервала от 8 до 30 % FеО в шлаке.
0,99
0,99
0,975
0,975
0,95
0,95
0,90
0,90
0,80
0,70
0,80
F(x)
0,60
0,70
0,50
0,60
0,30
0,50
0,20
0,30
0,20
0,10
0,10
0,05
0,05
0,025
0,025
0,01
L, 35
04,5 5,0 10 12 14 16 18 20
0,01
8
22 24 26 28 30
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
)
(х–
у=
Рис. 2.15. Графическая проверка гипотезы о гамма-
распределении случайной величины [9]
114
Затем наносим на график значения оценок ∧Fин(i), приведен-
0
11
0,526.
10, 4 8,5x
∧
l= = =
−g −
0
4,38
8,5 16, 8,
0,526
∧
∧∧
∧
a
n= +g = + =
l
2
0
8,3
15,8.
0,526
S
∧∧
∧
n−g
= = =
l
ных в табл. 2.4. Как видно из рис. 2.15, полученные значения
переменной ложатся на прямую. Это позволяет заключить,
что экспериментальные данные не противоречат гипотезе о
том, что случайная величина имеет гамма-распределение.
Из построенного графика можно извлечь дополнительно
следующую информацию. Точка пересечения прямой, аппроксимирующей наблюденные значения переменной х, с осью аб-
сцисс дает значение g
= 8,5. Проведя из точки у = 1 линию,
0
параллельную оси абсцисс, до прямой, проведенной через экспериментальные точки, и опустив из точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс, находим значение х = 10,4, по которому на основании выражения у = l(х – g
оценки g
оценки
= 8,5 определяем
0
Преобразуя равенство (2.2) и подставляя в него найденные
∧
a, ∧l, ∧g рассчитываем оценку среднего
) = 1 и найденной
0
а, преобразовав выражение (2.1), получаем оценку дисперсии
2.14. Формирование дифференциальных
распределений плотности вероятности
экономических показателей спомощью
Рассмотрим пример формирования дифференциальных
распределений плотности вероятности некоторых экономи-
имитационных экспериментов
115
ческих показателей. На рис. 2.16 представлен алгоритм раз-
12
4
деления сформированного ранее массива на две группы: точки кризисного и устойчивого состояний. Идея разделения
статистических распределений на две группы, заложенная
в основу предлагаемого алгоритма, принадлежит украинскому академику Б.Е. Патону, который применял ее при реализации систем управления качеством металла [16].
yyyyy
1
да нет
Формирование массива
информации о параметрах
работы предприятия в
условиях удовлетворительной
экономической ситуации
Формирование
дифференциальных
распределений плотности
вероятности Вр/М, y
для кварталов с
удовлетворительным
экономическим состоянием
Оценка рациональных
управляющих
воздействий
1,y2,y4
Выдача информации
i:=1
(i)
2222
1234
(1)
yy
6
8
10
да
Конец расчетов.
норм
0,7
Формирование массива
информации о параметрах
работы предприятия в условиях
экономической ситуации
распределений плотности
вероятности Вр/М, y
предкризисной и кризисной
экономической ситуацией
11
i > n
1
нет
Ввод информации.
Начало вычислений
3
i:=i+1
5
0
неудовлетворительной
Формирование
дифференциальных
для кварталов с
0
12
1,y2,y4
7
9
Рис. 2.16. Процедура имитационного моделирования
значений экономических показателей
116
Реализация основных блоков представленного алгоритма
является очевидной. Прокомментированы только блоки 5 и
10. В блоке 5 применяется коэффициент 0,7. Он использован,
так как экспертным путем установлено, что предкризисная ситуация наступает при отклонении длины оценочного вектора
от нормативной более чем на 30 %. Если ситуация имеет место
три квартала подряд и больше, то она считается кризисной.
Параметры распределений соответствующих показателей для каждой группы точек можно оценить с применением
пакета прикладных программ Oracle Crystal Ball.
, k
В блоке 10 распределения k
об
и p4 покрываются во-
т.л
семью распределениями: логарифмически нормальным, нормальным, бета, гамма, Стьюдента, логистическим, Вейбулла
и равномерным. Нахождение рациональных значений управляющих воздействий осуществляется путем имитационного
моделирования возможных значений экономических показа-
, k
телей k
об
и p4, используемых при управлении основным
т.л
показателем. Здесь, кроме 70%-ного ограничения максимальной длины оценочного вектора учитывается также 5%ная граница указанных распределений. Применение такого
количества распределений необходимо, чтобы в качестве рационального значения соответствующего показателя была
принята максимальная величина границы. Указанный подход обеспечивает решение задачи при рациональных затратах
ресурсов.
Фактические характеристики перечисленных распределений, найденные после осуществления имитационного моделирования, имеют следующий вид (табл. 2.8, 2.9).
В качестве иллюстрации предлагаемой процедуры на
рис. 2.17 представлены результаты двух серий имитационных экспериментов по разделению логарифмически нормальных распределений показателя Вр/М на две группы точек:
кризисное состояние (ВР/М кризис прогноз) и устойчивое
функционирование (ВР/М норма прогноз) для условий ПАО
«ММК». Фиолетовым цветом обозначено пересечение полученных распределений.
117
Таблица 2.8
Характеристики распределений для точек кризиса (n = 21)
Левая граница распре-
деления управляющего
воздействия (5%)
k
k
об
т.л
p
4
Вид распределения
Процент покрытия
распределения ос-
новного показате-
ля, доли единицы
Логарифмически нормальное 0,797 0,39 0,89 0,09
Нормальное 0,774 0,35 1,07 0,11
Бета 0,738 0,40 1,08 0,10
Гамма 0,792 0,40 0,93 0,12
Стьюдента 0,732 0,36 0,58 –0,06
Логистическое 0,807 0,35 0,91 0,09
Мин. экстремум 0,740 0,23 0,87 0,06
Вейбулла 0,784 0,36 0,97 0,10
Равномерное 0,717 0,34 1,15 0,09
Макс. экстремум 0,747 0,41 1,11 0,13
Таблица 2.9
Характеристики распределений для точек устойчивого
состояния (n = 22)
Процент покрытия
Вид распределения
распределения ос-
новного показате-
ля, доли единицы
Логарифмически нормальное 0,588 0,60 1,15 0,10
Нормальное 0,529 0,14 0,45 0,10
Бета 0,473 0,17 1,33 0,10
Гамма 0,580 0,60 1,17 0,12
Стьюдента 0,573 0,34 –2,42 –0,09
Логистическое 0,807 0,23 0,11 0,10
Мин. экстремум 0,493 –0,97 –1,83 0,00
Вейбулла 0,568 0,60 1,24 0,08
Равномерное 0,452 0,61 1,03 0,08
Макс. экстремум 0,509 0,55 0,95 0,11
Левая граница распре-
деления управляющего
воздействия (5 %)
k
k
об
т.л
p
4
118
На рис. 2.17, 2.18 представлены результаты двух серий
имитационных экспериментов по определению рациональных границ распределения k
, обеспечивающих решение за-
об
дачи при минимальных затратах ресурсов.
Рис. 2.17. Результаты двух серий имитационных экспериментов
по разделению логарифмически нормального распределения
показателя Вр/М для ПАО «ММК» на две группы точек
Рис. 2.18. Результаты двух серий имитационных экспериментов
по разделению логарифмически нормального распределения
показателя k
для ПАО «ММК» на две группы точек
об
119
Если же ставить задачу нахождения оптимальных значений управляющих воздействий, то необходимо проводить
имитационные эксперименты при осуществлении их математического планирования, не ориентируясь на границы соответствующих распределений, а обеспечивая планируемое
увеличение значений управляющих воздействий с целью достижения, например, рационального значения показателя
Вр/М.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]