Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
формы), бета-распределение (имеющее два параметра формы
1
и занимающее в связи с этим определенную область).
Для выбора с помощью представленного на рис. 1.14
графика аппроксимирующей функции распределения необходимо знать значения b
вестны и заменяются оценками
и b2, которые, как правило, не из-
1
∧
b1 и ∧b2, полученными на ос-
нове экспериментальных данных.
1
2
2
3
4
5
6
б
7
8
9
J
B
4
5
3
0123
Рис. 1.14. Области, соответствующие различным
распределениям в системе координат b
= (Sk)2 и b2 = Ex:
1
1 – равномерное распределение; 2 – нормальное распределение;
3 – экспоненциальное распределение; 4 – гамма-распределение;
5 – логарифмически нормальное распределение;
6 – t-распределение; В – бета-распределение; J–J-образное
бета-распределение; U–U-образное бета-распределение
Необходимые для получения оценок ∧b1 и ∧b2 центральные
моменты рассчитывают по формулам:
51
( )
2
2
1
2
;
n
i
i
xx
n
∧
∧
=
−
m=s=
∑
( )
3
1
3
;
n
i
i
xx
n
∧
=
−
m=
∑
( )
4
1
4
,
n
i
i
xx
n
∧
=
−
m=
∑
откуда
2
3
1
3
2
;
∧
∧
∧
m
b=
m
4
2
2
2
.
∧
∧
∧
m
b=
m
Значения случайных величин ∧b1 и ∧b2 очень чувствительны к отклонению отдельных крайних точек случайной величины х от ее среднего. Поэтому при малых выборках (объемом меньше 200 единиц) использование этих оценок требует
большой осторожности.
Пирсон предложил семь типов распределений, позволяющих описывать большую область изменений b
и b2, чем это
1
удается сделать с помощью описанных выше распределений
(рис. 1.15) [3, c. 256].
Плотность вероятности f(x) в этих распределениях является решением дифференциального уравнения
52
( )
( )
1
2
01 2
1
,
df x
xc
f x dx
c cx cx
+
= −
++
1
( )
( )
2
21
0
21
43
;
25 6 9
c
s b−b
=
b−b−
( )
( )
12
1
21
3
;
25 6 9
c
sb b+
=
b−b−
(1.17)
где началом отсчета для х служит среднее значение.
II (J)
2
II
3
4
5
VII
6
7
8
9
0123
Рис. 1.15. Области, соответствующие различным
распределениям Пуассона в системе координат b
Критическая область
I
I (J) I (U)
VI
IV
V
III
и b
1
2
Вид решения зависит от постоянных величин с0, с1 и с2,
которые связаны простыми соотношениями с моментами соответствующего распределения вероятностей:
53
( )
21
2
21
236
.
25 6 9
c
b−b−
=
b−b−
В качестве частных решений уравнения (1.17) получа-
21
10b −b − =
21
8 15 36 0.b− b− =
ются рассмотренные выше нормальное распределение, бетараспределение (распределение Пирсона типа I) и гамма-распределение (распределение Пирсона типа III).
Распределения Пирсона типа II симметричны относительно
центральной ординаты и имеют конечный размах, типа IV –
асимметричны с неограниченным в обоих направлениях размахом, типа V – асимметричны с ограниченным с одной стороны
размахом (0 ≤ х < ∞), типа VI – асимметричны с ограниченным
с левой стороны размахом (a < х < ∞), типа VII – симметричны
относительно оси ординат с неограниченным размахом в обе
стороны. Частным случаем этого типа распределения является
нормальное распределение.
Область точек (b
, b2), которым соответствуют определен-
1
ные кривые распределений, ограничена сверху и снизу прямыми, описываемыми соответственно уравнениями
и
Более подробно с распределением Пирсона и методами
выбора аппроксимирующих кривых можно познакомиться
в трудах [2, с. 273–303; 3, с. 255–258; 4, с. 208–216].
В разделе 1.5 используются литературные источники [1,
2, 5–15]. Основными из них являются работы [9–11].
Статистической гипотезой называют любое предположение о статистических свойствах генеральной совокупности, например относительно закона распределения F
рассматриваемой величины, в частности о параметрах этого
1.5. Мощность критерия припроверке
статистических гипотез. Наилучший выбор
критической области
54
ин
(х)
распределения. В любом случае здесь важно учитывать невозможность непосредственной проверки точности принятого значения параметра генеральной совокупности, т.е. справедливости гипотезы. Речь идет скорее о проверке величины
разности между принятым значением параметра генеральной совокупности и вычисленным значением статистики выборки. Идеальным доводом в пользу гипотезы было бы обнаружение факта, что разность между принятым значением
параметра и полученным значением статистики равна нулю.
Итак, поскольку связанную с генеральной совокупностью
гипотезу невозможно проверить непосредственно, вместо нее
проверке подвергают гипотезу об отсутствии разности. Эту
гипотезу называют нулевой Н
тивной) называют гипотезу Н
. Конкурирующей (альтерна-
0
. Статистическим критери-
1
ем (или просто критерием) называют случайную величину
К, которая служит для проверки гипотезы.
Наблюдаемым (эмпирическим) значением К
называ-
набл
ют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.
Критической областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Обла-
стью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при кото-
рых нулевую гипотезу принимают.
Если наблюдаемые значения критерия принадлежат области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Если наблюдаемые значения принадлежат критической области, то
гипотезу Н
Критическими точками (границами) К
отвергают.
0
называют точ-
кр
ки, отделяющие критическую область от области принятия
гипотезы. Двусторонней называют критическую область,
определяемую неравенствами К ≤ К
I
, К ≥ К
кр
II
, где К
кр
II
кр
> К
I
кр
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, то двусторонняя критическая область определяется неравенствами К
≤ К ≤ –Ккр (рис. 1.16), где Ккр > 0.
кр
Пример двусторонней критической области представлен на
рис. 1.17.
.
55
–К
К
К
Область принятия
Область непринятия
Область непринятия
кр
Область принятия
Область непринятия
кр
К
0
кр
Рис. 1.16. Двусторонняя критическая область
при симметричном расположении критических точек
гипотезы
II
кр
гипотезы
2,5%=
гипотезы
2,5%
I
кр
Рис. 1.17. Пример двусторонней области при проверке
гипотезы о сравнении выборочной средней с гипотетической
средней нормальной совокупности с доверительной
вероятностью 0,95 и уровнем значимости 0,05
Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю критическую область. Правосторонней называют
критическую область, определяемую неравенством К > К
(рис. 1.18), где К
> 0. Пример односторонней критической
кр
кр
области приведен на рис. 1.19.
К
0
кр
Рис. 1.18. Правосторонняя критическая область
гипотезы
гипотезы
К
Рис. 1.19. Односторонняя критическая область при проверке
гипотезы о превышении выборочной средней гипотетической
средней нормальной совокупности
56
Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством К < К
Рис. 1.20. Левосторонняя критическая область
(рис. 1.20), где Ккр < 0.
кр
0
–К
кр
Для отыскания критической области задаются уровнем
значимости a. Критические точки определяются, исходя из
следующих соотношений:
• для правосторонней критической области:
P(К ≥ К
) = a, (Ккр > 0);
кр
• для левосторонней критической области:
P(К ≤ –К
) = a, (Ккр < 0);
кр
• для двусторонней симметричной области:
P(К ≥ К
) = a/2;
кр
P(К ≤ –Ккр) = a/2.
В работе [11] показана эквивалентность соотношений:
P(a ≤ x < b) = P(a < x < b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x ≤ b).
Величины К
представляют собой критерии проверки
набл
статистической гипотезы. Они являются случайными величинами, значения которых определяются выборкой. Гипотезу считают справедливой, если значение рассчитанного
критерия не выходит за границы значимости. Эти границы
определяются по таблицам, или в соответствии с уровнями
значимости (a: 0,05; 0,01 и 0,001), или в соответствии с тремя Q-процентными точкам (Q = 5; 1 и 0,1 %).
57
При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки
двух родов (табл. 1.1). Ошибка первого рода состоит в том,
что будет отвергнута правильная гипотеза (риск поставщи-
ка). Вероятность ошибки первого рода называют уровнем
значимости и обозначают через a. Вероятность не совершить
ошибку первого рода называют доверительной вероятностью: q = 1 – a.
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза (риск потребителя). Вероятность ошиб-
ки второго рода обозначают b. Вероятность 1 – b не совершить
ошибку второго рода (вероятность отвергнуть Н
, называют мощностью критерия.
на Н
1
Виды ошибок при проверке гипотезы
Н0 справедлива Н0 ошибочна
Принятие гипотезы Н
Непринятие гипотезы Н
0
Правильное принятие
гипотезы
Ошибка первого рода.
0
Риск поставщика
Ошибка второго рода
Риск потребителя.
Правильное непринятие
гипотезы
), когда вер-
0
Таблица 1.1
Решение задачи выбора критической области с учетом
величин a и b изложено в соответствии с работой [11]. Здесь
отмечается, что чем меньше вероятности ошибок первого и второго рода, тем критическая область лучше. Однако
при заданном объеме выборки уменьшить одновременно a и b
невозможно. Необходимо увеличить объем выборки. Если
уменьшить a, то b будет возрастать. Например, если выбрать
a = 0, то будут приниматься все гипотезы, в том числе и неправильные, то есть возрастает вероятность ошибки второго
рода.
Ответ на вопрос о наиболее целесообразном выборе величины a зависит от тяжести последствий ошибок для каждой
конкретной задачи. Например, если ошибка первого рода по-
влечет большие потери, а второго – меньшие, то следует при-
нять возможно меньшее значение a.
58
Если уровень значимости a уже выбран, то критическую
22
1
n
i
i
x
=
c=
∑
( )
( )
2
2
22
2
2
2
2
1
, 0;
2
2
0,–
в остальных случаях
n
n
e
n
f
c
−
−
c c≥
c=
G
область следует строить так, чтобы мощность критерия
1 – b была максимальной.
Вопрос о мощности критерия подробно рассмотрен в работах [12–15].
Для оценки гипотез относительно отдельных параметров
распределения, таких как, например, среднее, дисперсия,
коэффициент корреляции и т.д., применяют критерии зна-
чимости. К числу наиболее часто используемых критериев
относятся критерий t Стьюдента, критерий F Фишера, кри-
2
терий c
Пирсона и ряд других. Использование этих характеристик в качестве критериев основано на знании точных
законов их распределения в том случае, когда случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
Познакомимся в общих чертах с законами распределения
2
, t и F [2, с. 323–333; 5, с. 221–232; 6, с. 220–239, 321–324,
c
332–334].
1.6. Проверка статистических гипотез
сприменением критериев значимости
1.6.1. c2-распределение Пирсона
мально со средней
представляет собой случайную величину, плотность вероятности которой имеет вид
Если х независимая случайная величина распределена нор-
–
x = 0 и дисперсией s2 = 1, то
(1.18)
59
где
( )
10x
x e dx
∞
a− −
Ga=
∫
( )
( )
2
2
2
22
1
1
1
.
n
i
i
nS
xx
=
−
c= = −
ss
∑
x
2
0,15
0,10
0,05
0
51015
(
)
2
;Mnc=
2
2;ns=
3
8;nm=
– гамма-функция; в частности G(a + 1) =
= a!, когда a – целое положительное число.
2
Можно показать, что c
-распределение является частным
случаем гамма-распределения при a = n/2 и l = 1/2.
Величина, именуемая числом степеней свободы, равна чис-
лу независимых случайных величин, сумма квадратов ко-
2
торых образует c
. В частности, c2-распределению с числом
степеней свободы f = n – 1 подчиняется величина
Графики c2-распределения при различных степенях сво-
боды n представлены на рис. 1.21.
f(x2)
1
2
3
Рис. 1.21. c2-распределение при различных степенях свободы n:
Основные характеристики c2-распределения:
• среднее:
• дисперсия:
• третий центральный момент:
1 – 1; 2 – 4; 3 – 8
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]