Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
Мощность критерия pмк(n) по отношению к альтернатив-
22
22
12 12
tt
tf tf
aa
++
( ) ( )
22
11 2 2
22
2
11 22
12 1 2
.
2
ii
ii
xx xx
fS fS
S
ff nn
−+ −
+
= =
+ +−
∑∑
12 12 12
12
12
12
,
11
2.
xx xx nn
t
S nn
S
nn
fn n
−−
= =
+
+
=+−
ной гипотезе M(X) ≠ n
при двустороннем доверительном ин-
0
тервале можно оценить с помощью следующего выражения:
−l +l
12 12
p n ≈Φ +Φ
( )
мк
−a −a
.
Если проверяют гипотезу о равенстве двух средних из
нормально распределенных генеральных совокупностей, то
прежде всего следует проверить с помощью F-критерия (см.
ниже) гипотезу о равенстве дисперсий в генеральных сово-
2
купностях. В том случае, когда S
2
, гипотезу H0: n1 = n1 проверяют в следующей последова-
S
2
не отличается значимо от
1
тельности.
2
Вычисляют оценку дисперсии s
на основе оценок ее вели-
чины, полученных в отдельных выборках:
Затем вычисляют отношение
Учитывая, что при справедливости гипотезы Н
на разности d =
M(d) = 0 и дисперсией s
не должно превышать критического значения t для заданного уровня значимости a.
–
x1 – –x2 распределена нормально со средним
2
= s2(1 / n + 1 / n2), отношение (1.25)
d
71
(1.25)
величи-
0
Если S
( )
2 22
мк 1
2
1
1,P
a
p s = c > c = −b
l
22
1
2
1
.
a −b
c=c
l
2
значимо отличается от S
1
2
, то t-критерий приме-
2
нить непосредственно нельзя. Изложение методов получения оценок выдвинутых гипотез в этом случае можно найти,
например, в труде [6, с. 339–340].
Сравнение нескольких средних независимых выборок осуществляют методами дисперсионного анализа, с которыми
можно ознакомиться в трудах [2, с. 366–379; 5, с. 294–312;
6, с. 351–416; 7; 8].
1.6.5. Критерий значимости c
2
Критерием значимости c2 пользуются, в частности, для
проверки гипотезы о величине дисперсии нормально распределенной случайной величины. Проверка нулевой гипотезы
, выраженной в виде M(S2) = s
Н
0
потезе Н
рассчитывают величину c
, выраженной в виде M(S2) > s
1
2
= (n – 1)S2 / s
поставляют с критическим значением c
2
, при альтернативной ги-
0
2
, состоит в том, что
0
2
, которую затем со-
0
2
для заданного уров-
a
ня значимости a. Если рассчитанная величина не превышает
табличную для уровня значимости a, то считается, что полученный результат не противоречит гипотезе Н
, в противном
0
случае нулевая гипотеза отвергается.
Мощность критерия по отношению к альтернативной гипотезе M(S
2
2
= s
1
) = s
/ s
равна
1
(1.26)
2
.
0
2
2
Из выражения (1.26) следует, что
С помощью последнего выражения при заданных b и l2
определяют критическое значение
72
( )
2 22
2
2
12
2
0
S
f
−a
c
<
s
2
2
2
2
0
.
S
f
a
c
>
s
( )
2 22 22
мк 0 1 2 2
22
11
.PP
−a a
ps=c<c +c>c
ll
( )
12 12
2
22
1
мк ,, ,,
22
2
1
;.
ff ff
S
P F PF F
S
aa
p l= > l = >
l
c = =lc
a −b
2
s
0
.
1
2
1
nS
−
Если альтернативная гипотеза состоит в том, что M(S2) ≠
2
, то в этом случае критическую область выбирают таким
≠s
0
образом, чтобы вероятность выхода за верхнюю и нижнюю
границы была одинаковой. Нулевая гипотеза отвергается,
2
2
/ s
если отношение S
удовлетворяет одному из неравенств:
0
или
Функция мощности в этом случае равна
1.6.6. Критерий значимости F
Критерий значимости F применяют при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых нормально распределенных случайных величин на основе их оценок, полученных опытным путем.
Проверка гипотезы H
нии выборочного отношения F = S
шера с f
= n1 – 1 и f2 = n2 – 1 степенями свободы.
1
При альтернативной гипотезе s
гается, если отношение S
для заданного уровня значимости a.
F
a,f1,f
2
Мощность критерия по отношению к альтернативной ги-
2
2
/ s
потезе s
= l > 1 равна
1
2
1
0
: s
2
/ S
1
2
2
= s
основывается на подчине-
1
2
2
2
/ S
распределению Фи-
1
2
2
2
> s
гипотеза Н0 отвер-
1
2
будет превышать значение
2
2
73
Если это выражение приравнять к заданному значению
12
2
1
1 2, ,
2
2
ff
S
F
S
−a
<
12
2
1
2, ,
2
2
.
ff
S
F
S
a
>
( )
2
мк 1 2 2
22
11
,PF F PF F
−a a
p l= < + >
ll
2
2
1
1
ln ,
l
i
i
i
S
M
f
CC
S
=
= −
∑
мощности критерия 1 – b, то можно оценить критическое
значение отношения дисперсий F, удовлетворяющее требованию p
(l2) = 1 – b.
мк
В случае когда альтернативной гипотезой по отношению
2
2
≠ s
к нулевой является предположение о том, что s
веряемая гипотеза Н
отвергается, если выполняется одно из
0
, про-
1
2
неравенств:
или
Функция мощности критерия в этом случае равна
2
где l2 = s
/ s
1
2
.
2
1.6.7. Критерий Бартлетта
Гипотезу о равенстве нескольких теоретических дисперсий проверяют с помощью критерия Бартлетта.
Если нулевая гипотеза состоит в предположении, что l
выборочных дисперсий S
степенями свободы являются оценками одной и той же
…, f
l
дисперсии и различия в их величине обусловлены случайными отклонениями, вызванными ограниченностью экспериментальных данных по каждой из l произведенных выборок,
то для проверки этого
рий Бартлетта. Этот критерий основан на сравнении средней
арифметической и средней геометрической из выборочных
дисперсий. Бартлетт показал, что случайная величина
2
1
, S
2
, …, S
2
2
соответственно с f1, f2,
l
предположения используют крите-
74
где
( )
1
1 11
1,
31
l
i
i
C
l ff
−
=+−
−
∑
22
11 1
,
и
ll l
ii i i
ii i
S fS f f f
= = =
= =
∑∑ ∑
( ) ( ) ( )
1
1
11
0 0,5 5 1 10 2 14
l
i
i
C
ff
=
= −=
∑
имеет приближенно c2-распределение с l – 1 степенями свободы. Приближение это неудовлетворительное, если значения отдельных f
≤ 3. Если оценки S
i
2
получены по выборкам
i
из совокупностей, отличающихся от нормальных, то использование критерия может приводить к ошибочным заключениям.
В табл. 4.3а источника [1, с. 301–302] приведены критические значения статистики М для l = 3(1)15,
и Q = 1 и 5 %.
Напомним, что приведенные выше записи означают следующее. Выражение l = 3(1)15 означает, что в рассматриваемых
таблицах число группы l измеряется от 3 до 15 с интервалом,
равным 1. Число C
измеряется от 0 до 14 с интервалом 0,5 в
1
диапазоне от 0 до 5; с шагом 1 в диапазоне от 5 до 10 и шагом
2 единицы в диапазоне от 10 до 14.
При этом данные приводятся для уровней значимости в 1
и 5 %.
1.6.8. Критерий Кочрена
Процедура существенно упрощается для случаев критерия Кочрена G. Здесь рассматривается случай, когда количество точек в каждой группе l является постоянным, т.е.
1
Wiliam G. Cochran – Уильям Дж. Кочрен. В отечественной литерату-
ре применяются и другие написания его фамилии: Кохрен и Кокрен.
1
75
fi = const. Критерий G строится по l независимым несмещен-
2
max
22 2
12
,
...
l
S
G
SS S
=
+ ++
.
1
F
GF=
+
ным оценкам дисперсии и рассчитывается по следующей
формуле [1, с. 304–305, табл. 4.3б]:
2
где S
является максимальной из используемых дисперсий.
max
В таблицах [1] приведены 1%-ные и 5%-ные точки.
Для двух групп статистика G-критерия Кочрена со статистикой двустороннего F-критерия определяется соотношением
1.6.9. Проверка гипотезы озаконе распределения
случайной величины
Существует много критериев для оценки обоснованности
предположения о законе распределения случайной величины [2, с. 333–342; 3, с. 335–351; 5, с. 267–293]. Здесь описан
только наиболее часто применяемый критерий согласия c
Пирсона, позволяющий оценить подобие между эмпирическим распределением величины х и его моделью при любом
законе распределения. Следует отметить, что этот критерий
не является безупречным. Основные его недостатки заключаются в нечувствительности к обнаружению адекватной
модели при небольшом числе наблюдений (N < 100), а также
в зависимости значения критерия от величины и положения
интервалов группировки.
Проверку согласия между теоретической функцией распределения и эмпирическим распределением осуществляют
в следующей последовательности.
1. Рассчитывают по выборке оценки математического ожи-
дания M(X) =
–
x и дисперсии S2.
2
76
2. Ранжируют случайную величину х по возрастающему
12 1
12 1
kk k
−
ее значению x
≤ x2 ≤ … ≤ xN.
1
3. Область изменения случайной величины разбивают
на k интервалов. Число интервалов выбирают произвольно,
стремясь по возможности получить большее. Однако при
этом желательно, чтобы математическое ожидание числа
наблюдений М(n
) в i-м интервале распределения, согласно
i
принятой его модели и оценок его параметров, рассчитанных в соответствии с п. 1, было больше 10; менее 5 оно быть
не должно. Число интервалов k не рекомендуется делать более 25, так как это только увеличивает объем вычислений,
но не повышает чувствительности критерия. Таким образом,
число интервалов равно меньшей из двух величин: N / 10
и 25, причем в отношении N / 10 берут целую часть числа.
Разбивку на интервалы осуществляют двумя способами.
Если исходные данные уже были сгруппированы по интервалам до проверки согласия или если имеет место дискретное распределение, например распределение Пуассона,
то сохраняют первоначальную группировку при условии, что
она удовлетворяет требованиям п. 3. Однако если в какомлибо интервале ожидаемое число наблюдений М(n
) меньше
i
5, то этот интервал объединяют с соседним.
При непрерывных распределениях, когда исходные данные предварительно не сгруппированы, границы интервалов
определяют с помощью теоретического распределения и полученных в п. 1 оценок его параметров таким образом, чтобы вероятность попадания случайной величины в каждый
интервал равнялась 1 / k. В соответствии с этим верхние границы интервалов х
определяют из равенств:
i
≤= ≤= ≤ =
px x px x px x
( ) ( ) ( )
; , ..., .
k
k
−
Этот способ группировки исходных данных позволяет получить свободный от второго из отмеченных выше недостат-
2
ков критерий c
.
77
4. Вероятность попадания случайной величины в i-й интер-
.
i
i
xx
u
S
−
=
( ) ( )
1
.
ii i
pu u
−
=Φ −Φ
1
,
k
i
i
Nn
=
=
∑
( )
( )
2
2
1
.
k
ii
i
i
n Mn
Mn
=
−
c=
∑
22
1
.
k
i
i
k
nN
N
=
c= −
∑
вал при первом способе группировки наблюдений оценивают
следующим образом. Определяют величину нормированного
отклонения значения переменной величины, соответствующей
верхней границе i-го интервала, от средней по выборке
Затем по таблицам нормированной функции нормального распределения (например, по табл. 1.1 [1, с. 174–180])
определяют Φ(u
), после чего рассчитывают
i
5. Умножая вероятность попадания в i-й интервал на
объем выборки
ние М(n
6. Рассчитывают квадрат величины отклонения числа наблюдений в каждом интервале от соответствующего математического ожидания и делят полученную величину на математическое ожидание.
7. Вычисляют критерий
При разбивке области изменения х на интервалы с одина-
ковым значением математического ожидания
получают математическое ожида-
) числа наблюдений в i-м интервале.
i
78
8. Сравнивают вычисленное значение c2 с табличным для
заданного уровня значимости a и числа степеней свободы f =
= k – m – 1, где m – число параметров, оценки которых были
получены на основе наблюдений (п. 1).
Если расчетное значение превышает табличное, то модель
распределения отвергается; в противном случае считают, что
она не противоречит наблюдениям.
79
ГЛАВА 2.
( )
( )
,
x
Px z−n ≤D =Φ
Практика статистической проверки гипотез
При написании главы 2 были использованы литературные
источники [1, 9–11, 15]. Из них основными являются [1, 9, 15].
2.1. Доверительный интервал средней
(большаявыборка)
Пункты 2.1–2.12 основаны на источнике [15].
Интервальной называют оценку, которая определяется
двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр. Напомним, что доверительным называют
интервал, который с заданной доверительной вероятностью
q покрывает оцениваемый параметр. Величина a = 1 – q называется уровнем значимости.
В соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при большом количестве точек средняя величина
тическим ожиданием n
–
x распределена приблизительно нормально с матема-
и средней ошибкой
x
S
Sn=
x
,
где – среднее квадратическое отклонение, или стандарт x.
При построении доверительного интервала нужно пользоваться сведениями о нормированном нормальном распределении величины x, имеющей среднюю, равную нулю, и стандартное отклонение, равное 1 (табл. 2.1).
Вероятность того, что отклонение выборочной средней от
генеральной средней не превзойдет по абсолютной величине
число D > 0, равна
где Φ(z) – функция нормированного нормального распреде-
ления.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]