Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
f(x)
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
f(x)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
3
2
1
1
2
3
Рис. 1.7. Бета-распределение при a = 1 и b ≤ 1: 1 – b = 1;
2 – b = 0,5; 3 – b = 0,2
4
3
1 – a = 0,8, b = 0,2; 2 – a = 0,5, b = 0,5; 3 – a = 0,2, b = 0,8
2
1
1
2
3
Рис. 1.8. Бета-распределение при a < 1 и b < 1:
31
f(x)
4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
f(x)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
3
2
1
1
2
3
Рис. 1.9. Бета-распределение при b = 2 и a ≤ 1: 1 – a = 1;
2 – a = 0,5; 3 – a = 0,2
3
Рис. 1.10. Бета-распределение при: 1 – a = b = 1; 2 – a = b = 2;
2
4
3
2
1
1
3 – a = b = 3; 4 – a = b = 5
32
Интегральную функцию бета-распределения
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
ин
0
0, 0;
1,
; ,
0 1;
1, 1
если
если
если
x
x
t t dt
Fx
x
x
b−
a−
<
G a+b
−
ab=
GaGb
≤≤
>
∫
;
a
n=
a+b
( ) ( )
2
2
.
1
ab
s=
a+b a+b+
( )
2
2
1
1;
x
x xS
S
∧
−
b= − −
называют неполной бета-функцией.
Бета-распределением широко пользуются в теории вероятностей и математической статистике, его применяют как
статистическую модель случайных величин, значения которых ограничены определенным интервалом, в частности в
контроле качества продукции и в теории надежности.
Среднее и дисперсия бета-распределения связаны следующими соотношениями с параметрами a и b:
Оценка параметров бета-распределения методом максимального правдоподобия сложна. Для больших выборок
можно применять метод моментов, обеспечивающий в этом
случае удовлетворительную точность.
Подставляя в равенства (1.12) и (1.13) оценки среднего
и дисперсии, найденные по уравнениям (1.2) и (1.3), и решая
их совместно относительно a и b, получим следующие выражения для оценок a и b:
(1.12)
(1.13)
33
.
1xx
∧
∧
⋅b
a=
−
Значения интегральной функции бета-распределения для a
1
2
0,5; 0,25; 0,10; 0, 05; 0,025; 0,010; 0,005; 0,0025; 0,001;
2 1(1)10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120;
2 1(1)30, 40, 60, 120, .
p =
n = b=
n = a= ∞
( )
( )
( ) ( )
11
00
01
10 10 10
1
; , , , 1
xx
fx
a− b−
G a+b
−l −l
abl l = −
l −l G a G b l −l l −l
и b, не превышающих 50, представлены в таблицах К. Пирсона.
Л.Н. Большевым и Н.В. Смирновым [1, с. 241–243] при-
водятся данные для расчета интегральной функции бета-распределения при b ≥ a и b ≥ 50. В этой же книге в табл. 3.4 [1,
с. 244–261] приводятся квантили бета-распределения для
Выражение 1(1)10 означает, что в рассматриваемых табли-
цах параметр n
1, а выражение 1(1)30 – что n
изменяется от 1 до 10 с интервалом, равным
1
изменяется от 1 до 30 с интерва-
1
лом, равным 1.
В общем случае, когда случайная величина x изменяется
в интервале (l
, l1), плотность бета-распределения принима-
0
ет вид
при l0 ≤ x ≤ l1, a > 0, b > 0.
Для определения значений плотности распределения и ин-
тегральной функции бета-распределения можно использовать
следующую функцию Excel: БЕТА.РАСП (x; a; b; интегральная; [A]; [B]), где x – значение выборки для которого рассчитывается функция, a и b – параметры распределения. Если
параметр «интегральная» указан как «истина» (1), то для
заданного x можно вычислить значение интегральной функции. При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0)
34
вычисляется значение плотности распределения. А и В – соот-
( )
1 0 1;
; 1, 1
0.
при
в остальных случаях
x
fx
≤≤
=
−
( )
1
;
; ,
0.
при
в остальных случаях
axb
fxab
ba
≤≤
=
−
−
( )
2 0 1;
; 2, 1
0;
при
в остальных случаях
xx
fx
≤≤
=
−
ветственно нижняя и верхняя граница интервала изменения
x. Если значения А и В не указаны, то функция БЕТА.РАСП
использует стандартное интегральное бета-распределение
(А = 0, В = 1).
Частные случаи бета-распределения. Равномерное рас-
пределение, представленное на рис. 1.10, характеризующе-
еся равенством обоих коэффициентов a и b единице, широко
применяют при моделировании на ЭВМ, в первую очередь
при получении равномерных случайных чисел, а с помощью
последних – и неравномерно распределенных случайных чисел.
Плотность распределения на графике представляет
собой прямую линию, идущую параллельно оси абсцисс и
описываемую функцией
В общем случае, когда случайная величина х распределена равномерно в интервале (a, b), плотность распределения
описывается функцией
Треугольное распределение (см. рис. 1.7 и 1.9) возникает при следующих двух условиях: a = 2 и b = 1 или a = 1 и
b = 2. Соответственно этому плотность распределения имеет
вид:
• либо
35
• либо
( )
( )
2 1 0 1;
; 1, 2
0.
при
в остальных случаях
xx
fx
− ≤≤
=
−
( )
( )
( )
2
2
, ;
; 2, 1, ,
0
если
в остальных случаях
xa axb
fx ab
ba
− ≤≤
=
−
−
( )
( )
( )
2
2
, ;
; 1, 2, ,
0.
если
в остальных случаях
bx axb
fx ab
ba
− ≤≤
=
−
−
( )
( )
6 1 , 0 1;
; 2, 2
0.
если
в остальных случаях
xx x
fx
− ≤≤
=
−
0.
xabx axb
В общем случае при изменении случайной величины x в
интервале (a, b) плотность распределения выражается равенством
или
Параболическое распределение (см. рис. 1.10) получается, если a и b равны 2:
в интервале (a, b), плотность распределения имеет вид
ем Вейбулла как статистической моделью времени безотказ-
В общем случае, когда случайная величина х изменяется
6
; 2, 2, ,
fx ab
( )
=
ba
−
( )
−
в остальных случаях
− − ≤≤
( )( )
3
если
, ;
1.2.5. Распределение Вейбулла
В теории надежности широко пользуются распределени-
36
ной работы в условиях, когда вероятность отказов меняется
( )
1
ht t
b−
b
=
a
0,
tt
− ≥a>b>
1;
2
2
2
21
1 1.
b
s=aG+ −G+
bb
с течением времени. При интенсивности отказов
плотность распределения Вейбулла имеет вид
b
t
− ≥ a> b>
если
ab=
; ,
ft
( )
b
1
b−
exp , 0, 0, 0;
aa
−
в остальных случаях
где a – параметр масштаба;
b – параметр формы.
Интегральная функция распределения Вейбулла имеет вид
b
−
t
если
a
t
<
t
; ,
Ft
( )
ин
ab=
1 exp , 0, 0, 0;
0, 0.
если
Интенсивности отказов и плотности распределения Вейбулла для различных значений b и одинаковых значений a = 1
представлены на рис. 1.11.
Распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное
при b = 1.
Средняя и дисперсия распределения Вейбулла связаны
следующими соотношениями с параметрами a и b:
1
b
n=a G +
1
(1.14)
b
(1.15)
37
f(t)h(t)
5 1,5
11
012
33t 012233t
аб
1
0;
n
i
i
nt
b
=
a− =
∑
11
1
ln ln 0.
nn
i ii
ii
n
t tt
b
= =
+− =
ba
∑∑
4
4
3
2
2
1
Рис. 1.11. Распределение Вейбулла – интенсивность отказов
(а) и плотность распределения (б) при одинаковом значении
a = 1 и различных значениях b: 1 – 0,5; 2 – 1; 3 – 2; 4 – 3
1,2
4
0,9
0,6
0,3
Оценка параметров распределения Вейбулла. Оценки максимального правдоподобия a и b получают, решая уравнения:
Первое приближение для значения b можно получить,
решая совместно выражения (1.14) и (1.15), подставив в выражение (1.14) вместо n значение
вательных приближений находят
∧
a и ∧b.
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции распределения Вейбулла можно использовать функцию Excel: ВЕЙБУЛЛ.РАСП (x; a; b; интеграль-
38
–
t. Затем методом последо-
ная), где x – значение выборки для которого рассчитывается
( ) ( )
; , 1 ; 0, 1, ..., ; 0 1.
nx
x
n
fxnp p p x n p
x
−
= − = ≤≤
( ) ( )
ин
0
; , 1 .
r
nx
x
x
n
F rnp p p
x
−
=
= −
∑
;npn=
( )
2
1;np ps= −
функция, a и b – параметры распределения. Если параметр
«интегральная» указан как «истина» (1), то для заданного x
можно вычислить значение интегральной функции. При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется
значение плотности распределения.
1.3. Дискретные распределения
1.3.1. Биномиальное распределение
Биномиальным распределением называется распределение числа х появлений события А при n независимых испытаниях, при каждом из которых вероятность появления события остается постоянной. Такие испытания называются
испытаниями по схеме Бернулли. Если вероятность события
А равна р, то вероятность противоположного события
на q = (1 – p), а вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно х раз, равна
Вероятность появления не более r успешных исходов в n
независимых испытаниях определяется интегральной функцией биномиального распределения:
–
A рав-
Таблицы биномиального распределения приводятся
Л.Н. Большевым и Н.В. Смирновым [1, с. 346–347].
Основные характеристики биномиального распределения:
• среднее:
• дисперсия:
39
• третий центральный момент:
( )( )
3
1 12 ;np p pm= − −
( ) ( ) ( )
4
4
1 3 1 61 1;nppnpppp
m= − −− −+
( )
12
;
1
p
Sk
np p
−
=
−
( )
61
3.
1
Ex
n np p
=−+
−
f(x)
x
0,3
0,2
0,1
x
0
• четвертый центральный момент:
• коэффициент вариации:
g=
1;pnp−
• коэффициент асимметрии:
• коэффициент эксцесса:
Биномиальное распределение симметрично при р = 0,5.
При р ≠ 0,5 распределение приближается к симметричному при увеличении n (рис. 1.12, 1.13). При большом n биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением с математическим ожиданием n = np
2
и дисперсией и s
= np(1 – p). Эта аппроксимация позво-
ляет получить удовлетворительные результаты, если np и
n(1 – p) > 5.
0
012345678910
Рис. 1.12. Биноминальное распределение при одинаковом
значении n = 10 и различных значениях p:
012345678910x01234567891
а – 0,2; б – 0,5; в – 0,8
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]