Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
• четвертый центральный момент:
( )
4
12 4 ;nnm= +
2
;
n
g=
2;
12
3;Exn= +
–2Мо n=
.
N
i
i
n
∑
2
2c
21n −
2 22
0
( )
( )
22
, ,
x
Px n f d
∞
= cc
∫
( ) ( )
, 1 .
n
Px n F x= −
• коэффициент вариации:
• коэффициент асимметрии:
Skn=
2
• коэффициент эксцесса:
• мода:
при n ≥ 2.
Сумма N независимых случайных величин, подчиняющих-
2
ся распределению c
имеет c
2
-распределение с числом степеней свободы
с числом степеней свободы n1, n2, …, nN,
Случайная величина c2 асимптотически нормальна при
n → ∞ со средним n и дисперсией 2n. Однако приближение
к нормальному распределению происходит очень медленно.
Фишер показал, что случайная величина
приближенно нормально со средним
распределена
и дисперсией,
равной единице, при n > 30.
2
Интегральная функция распределения c
с n степенями
свободы имеет вид
x
Fx P x f d= c< = c c
( )
nn
{ } ( )
∫
.
В табл. 2.1а источника [1, с. 202–221] табулирована ве-
личина
пределения c
Значения величины Р(х, n) приводятся для n = 1(1)32(2)70.
Кроме того, там же, в табл. 2.2а [1, с. 228–233], приводятся
процентные точки распределения c
2
соотношением
которая связана с функцией рас-
2
для n = 1(1)100.
61
Для определения левосторонней вероятности распределе-
tx n
f(t)
0,4
0,3
0,2
0,1
–3 –2 –1 0112233t
2
ния c
можно использовать функцию Excel: ХИ2.РАСП (x;
степени свободы; интегральная). x – значение выборки для
которого рассчитывается функция. Если параметр «интегральная» указан как «истина» (1), то можно вычислить
значение интегральной функции. При значении параметра
«интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение плотности распределения. Для расчета правосторонней вероят-
2
ности распределения c
можно использовать функцию Excel
ХИ2.РАСП.ПХ.
1.6.2. t-распределение Стьюдента
Отношение
= c нормально распределенной слу-
чайной величины х со средней
единице, к независимой случайной величине
t-распределение с n степенями свободы (рис. 1.22).
2
–
x = 0 и дисперсией, равной
2
nc имеет
Рис. 1.22. t-распределение при различных степенях свободы n:
0
1 – 1; 2 – 5; 3 – ∞
62
Плотность распределения величины t выражается фор-
( )
1
2
2
1
2
1 , .
2
n
n
t
ft t
n
n
n
+
−
+
G
= + −∞< <∞
Gp
( )
0;Mt=
2
, 2;
2
n
n
n
s= >
−
3
0;m=
( )( )
2
4
3
, 4;
24
n
n
nn
m= >
−−
0;Sk =
( )
32
, 4;
4
n
Ex n
n
−
= >
−
0.Mo =
( ) { }
1
2
2
1
1
2
1
2
n
t
nn
n
u
S t P t t du
n
n
n
+
−
−∞
+
G
= <= +
p
G
∫
мулой
Основные характеристики t-распределения:
• среднее:
• дисперсия:
• третий центральный момент:
• четвертый центральный момент:
• коэффициент асимметрии:
• коэффициент эксцесса:
• мода:
Вследствие симметричной формы распределения tp = –t
1–p
Случайная величина t асимптотически нормальна при
n → ∞ со средним, равным нулю, и дисперсией, равной еди-
нице. Приближение к нормальному распределению происходит сравнительно быстро, и при n > 30 значения t
чески равны нормированным нормальным отклонениям u
практи-
p
р
если не рассматривать крайних значений р.
В табл. 3.1а источника [1, с. 236–238] приводится функ-
ция t-распределения:
.
,
63
для n = 1(1)20 и t = 0,0(0,1)4,0(0,2)8,0.
11
22
cn
cn
В табл. 3.2 источника [1, с. 240] приводятся процентные точки распределения Стьюдента для n = 1(1)30(2)50(5)70(10)100,
120, 150, 200, 250, 300, 400, 500 и Q = 40; 25; 10; 5; 2,5; 1,0;
0,5; 0,25; 0,10; 0,05 %.
Q-процентные точки представляют собой значения t, соответствующие заданному уровню значимости a (Q = 100a) и
числу степеней свободы n, являющиеся решением равенства
[t(Q, n)] = 1 – a = 1 – Q / 100 относительно t(Q, n).
S
n
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции левостороннего распределения Стьюдента можно использовать функцию Excel: СТЬЮДЕНТ.РАСП
(x; степени свободы; интегральная), где x – значение выборки, для которого рассчитывается функция. Если параметр
«интегральная» указан как «истина» (1), то для заданного x
можно вычислить значение интегральной функции. При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется
значение плотности распределения. Функция используется
при малом объеме выборки.
Процентные точки распределения Стьюдента можно определить, используя функции Excel: СТЬЮДЕНТ.РАСП.2П
(x; степени свободы) для правостороннего распределения и
СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х (x; степени свободы) для двустороннего распределения.
1.6.3. F-распределение Фишера
2
Отношение
2
чин c
и c
1
свободы, имеет F-распределение с n
(рис. 1.23).
F
=
2
, распределенных по закону c2 с n1 и n2 степенями
2
двух независимых случайных вели-
2
64
и n2 степенями свободы
1
f(F)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
01
2
3
F
FF F
3
1
4
2
Рис. 1.23. F-распределение при различных степенях свободы:
1 – n
= 10, n2 = 4; 2 – n1 = 10, n2 = 10; 3 – n1 = 10, n2 = 50;
1
4 – n
1
= 10, n2 = ∞
Плотность распределения случайной величины F описывается уравнением
n +n
12
G
2
nn= n n
fF
; ;
( )
12 1 2
GG
22
в остальных случаях.
0 –
n nn
1 22
2 22
n n n +n ≥
12 2 1
65
−
1
( )
n +n
12
−
2
, 0;
если
Интегральная функция распределения имеет вид
( ) ( )
{ }
( )
12 12 12
0
; , , ; , .
x
G x P F x f F dfnn= nn< = nn
∫
( )
Gx Qn n = −a= −
( )
2
12
12
2
21
,
p
PF p
cn
< nn =
cn
( )
2
21
2
12
12
1
,
,
p
Pp
F
cn
>=
nn
cn
( )
2
21
2
12
12
1
1.
,
p
Pp
F
cn
<=−
nn
cn
Критические значения F для различных уровней значимости и степеней свободы n
и n2 приводятся во многих кур-
1
сах математической статистики. Обычно уровень значимости выражается в процентах Q = 100a.
Q-процентное критическое значение F определяется как
значение функции F(Q; n
, n2), обратной 100[1 – G(x; n1, n2)]
1
% по аргументу х. Иными словами, Q-процентное критическое значение F определяется при заданных n
и n2 в резуль-
1
тате решения уравнения
; , 1 1 0,01
12
относительно x.
Из соотношения
следует, что
откуда
66
(1.19)
По определению
( )
2
21
1 21
2
12
, 1 .
p
PF p
−
cn
< nn =−
cn
( )
( )
21
12
1
1 ; , .
; ,
FF−a n n =
an n
(1.20)
Из сопоставления уравнений (1.17) и (1.18) следует, что
(1.21)
Таким образом, значения F для Q от 50 до 100 % можно
рассчитать, зная F для Q от 0 до 50%, по уравнению (1.21).
При расчете следует помнить о необходимости поменять местами числа степеней свободы для рассчитываемого значения F.
В таблицах Q-процентных точек F-распределения обычно
верхняя горизонтальная строчка указывает число степеней
свободы числителя, а левый вертикальный столбец – число
2
cn
степеней свободы знаменателя в отношении
12
2
cn
21
.
Это соот-
ношение берется таким образом, чтобы оно было ≥ 1.
В табл. 3.5 источника [1, с. 262–277] приведены процентные точки F-распределения для Q = 50; 25; 10; 5; 2,5; 1; 0,5;
0,25; 0,1; 0,05 %; n
= 1(1)30, 40, 60, 120, ∞.
∞; n
2
= 1(1)10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120,
1
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции левостороннего распределения Стьюдента можно использовать функцию Excel: F. РАСП (x; степени
свободы1; степени свободы2; интегральная), где x – значение
выборки, для которого рассчитывается функция. Если параметр «интегральная» указан как «истина» (1), то для заданного x можно вычислить значение интегральной функции.
При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение плотности распределения.
67
1.6.4. Критерий значимости t
0
x
t
S
n
−n
=
0
12
x
t
S
n
−a
−n
<
0
2
.xt
S
n
a
−n
>
Критерием значимости t пользуются при проверке гипотез о среднем значении нормально распределенной случайной величины x и о равенстве двух средних
распределенных генеральных совокупностей в тех случа-
2
ях, когда дисперсия s
2
.
ка S
Если проверяется гипотеза H
, то в случае, когда она справедлива, отношение
= n
0
неизвестна и используется ее оцен-
, выраженная в виде М(X) =
0
–
x1 и –x2 нормально
(1.22)
имеет t-распределение с f степенями свободы, причем f = n – 1,
где n – число наблюдений, по которому рассчитаны
2
.
ка S
Если альтернативной гипотезой является M(X) > n
значение t, рассчитанное по (1.22), равно или превышает t
–
x и оцен-
, а
0
a
найденное по таблицам для заданного уровня значимости a
и числа степеней свободы f, то нулевая гипотеза признается
ошибочной. В противном случае опытные данные ей не противоречат.
Когда альтернативным предложением является M(X) ≠ n
0
то, пользуясь двусторонним доверительным интервалом, критическую область определяют с помощью неравенств
и
Мощность критерия pмк(n1) по отношению к альтерна-
тивной гипотезе M(X) = n
при одностороннем доверитель-
1
ном интервале может быть оценена с помощью равенства
,
,
68
( )
1
мк 1
2
,
1
2
t
t
f
−a
a
+l
p n ≅Φ
+
10
;
n
n −n
l=
s
1
2
.
1
2
t
u
t
f
−a
a
+l
=
+
10
1
,tt
S
n
−a b
n −n
+=
( )
( )
2
2
2
10
.
S
ntt
ab
= +
n −n
(1.23)
где
Φ – значение нормированной функции нормального рас-
пределения для
Использование этого выражения для определения объема
испытаний, обеспечивающего заданные значения a и b, затруднено вследствие того, что все входящие в правую часть
этого уравнения величины зависят от числа выполненных
испытаний n.
Для приближенной оценки необходимого числа испытаний можно воспользоваться выражением
откуда
можно осуществить, рассчитав p
уравнению 1.23.
(1.24)
Проверку удовлетворительности найденного значения n
) по приближенному
мк(n1
69
Пример
( )
2
2
1
1,81 1,37 40,4.
0,5
n =+=
( )
2
2
1
1,684 1,303 35,7 36; 35.
0,5
nf= + =≈=
( ) ( )
мк 1
1, 69 0,5 6
1,285 0,9006.
2,86
1
70
− +−
p n ≈Φ =Φ =
+
( ) ( )
мк 1
1,306 0,5 6
1,677 0,953,
1,705
1
70
− +−
p n ≈Φ =Φ =
+
Пусть (n
– n0) / S = 0,5 и f = 10. Необходимо определить
1
n, обеспечивающее a = 0,05 и b = 0,10.
Из табл. 3.2 источника [1, c. 240] находим t
0,10;10
= 1,37.
и t
Подставляя в выражение (1.24) значение (n
, получаем
и t
b
1
= 1,81
0,05;10
– n2) / S, ta
Учитывая, что величины ta и tb сильно зависят от числа
наблюдений n, следует уточнить рассчитанную величину n,
приняв значения t
и tb, отвечающие f = 40:
a
Подставив в выражение (1.23) значения t
получим
Если бы значения a и b были заданы равными соответственно 0,10 и 0,05, то
т.е. и в этом случае достигается удовлетворительное соответствие поставленной задаче.
70
и ta для f = 35,
1–a
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]