Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
f(x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
x
15
.
x
p
n
∧
=
( )
, 1 1 ,
H
G
I mn m− + = −g
01 23 4x01 23 456x012345678x012345678910 11 12 13 14
Рис. 1.13. Биноминальное распределение при одинаковом
значении p = 0,2 и различных значениях n:
а – 5; б – 10; в – 20; г – 40
9
Оценка параметра р биномиального распределения. Оценкой для параметра р является отношение числа успешных исходов к общему числу испытаний:
Нижний доверительный предел Gн для неизвестного р определяется [1, c. 107] в результате решения уравнения
где g – заданный коэффициент доверия;
n – общее число независимых испытаний;
m – число испытаний, в которых наблюдался исход А;
(a, b) – функция бета-распределения.
I
x
41
Верхний доверительный предел Gв представляет собой ре-
( )
в
1, .
G
I m nm+ −=g
1
1,
k
i
i
p==
∑
kk k
kk
= ≤≤
шение уравнения
При этом если m = 0, то Gн = 0, если же m = n, то Gв = 1.
Пара чисел G
и Gв, соответствующая одним и тем же значе-
н
ниям m, n и g, определяет для неизвестной вероятности р доверительный интервал (G
В табл. 5.2 источника [1, c. 348–359] указаны пары чисел (G
) с тремя десятичными знаками для g = 0,95; 0,975; 0995
G
в
, Gв) с коэффициентом доверия 2g – 1.
н
н
и m, n – m = 0(1)20(2)30(5)50, 60, 80, 100, 200, 500, ∞.
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции биномиального распределения можно
использовать функцию Excel: БИНОМ.РАСП (число успехов;
число испытаний; вероятность успеха; интегральная). Если
параметр «интегральная» указан как «истина» (1), то можно
вычислить значение интегральной функции. При значении
параметра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение плотности распределения.
1.3.2. Полиномиальное распределение
В тех случаях, когда результатом испытания может быть
один из k исходов и k > 2, математической моделью распределения является полиномиальное распределение.
Если каждому из k исходов соответствует своя вероят-
,
ность p
, p2, ..., pk и
1
испытаниях событие А
ровно x
fx x x np p p p p p
раз, ..., событие Аi ровно xi раз, равна
2
, , ..., , , , ..., ... ;
( )
12 12
, , ..., 0, 1, 2, ..., ; 0 , , ..., 1;
xx x n pp p
12 12
то вероятность того, что в n
появится ровно x1 раз, событие А2 –
1
= =
42
!
n
! ! ...
xx x
12
k
xx
12
12
x
k
12
12
12
11
!
! ! ...
; 1.
k
x
xx
k
kk
ii
ii
n
xx x
∑∑
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
!
!!
; , ,
! !!
! !!
max( 0, min , ;
0.
при
в остальных случаях
m Nm
x nx
m
N
xmx
n
fxNmn
Nm Nnn
nx Nmnx N
n m N x nm
−
−
= ×
−
=
−−
×
− − −+
+ − ≤≤
−
( )
xn p
= =
= =
1.3.3. Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение является моделью распределения вероятностей исходов при выборке без возвращения элементов из ограниченного множества N при условии, что m элементов этого множества обладают некоторым
свойством А. В этом случае вероятность того, что случайная
выборка без возвращения объема n будет содержать ровно х
элементов со свойством А, равна
Функция распределения х имеет вид
F x px x
= = =
( ) ( )
ин 0
0 max 0, ;
при
x nmN
∑
∑
xx
<
0
xx
<
0
при
при
1 min , .
< +−
m Nm
x nx
max 0, min , ;
−
−
00
N
a
n m N x nm
( ) ( )
x mn
>
43
+ − ≤≤
( )
Для расчета f(N) можно использовать рекуррентную фор-
( ) ( )
1; , , ; , , .
11
nx mx
fx Nmn fxN mn
x Nnmx
−−
+=
+ −− ++
;
m
n np
N
n= =
( )
2
11 .
11
Nn mn m Nn
n pp
N N NN
−−
s= − = −
−−
мулу
Это распределение находит применение при контроле доли
дефектных изделий в выборке объемом в n изделий, произведенной из партии, включающей N изделий.
Среднее и дисперсия гипергеометрического распределения
равны:
При N → ∞ и неизменных n и m / N гипергеометрическое
распределение сходится к биномиальному распределению с
параметрами n и p = m / N. Удовлетворительное приближение получается при N > 10n.
Способ расчета доверительных пределов для параметра m
при оценке его значения, полученной путем извлечения слу-
чайной выборки объемом n элементов из ограниченной сово-
купности, имеющей объем N единиц, приводится в книге [1,
с. 114].
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции гипергеометрического распределения
можно использовать следующую функцию Excel: ГИПЕРГЕОМ.РАСП (Усп выб; Размер выб; Усп сов; Размер сов; интегральная). Первые четыре параметра – это соответственно
количество успешных испытаний в выборке, размер выборки, количество успешных испытаний в генеральной совокупности, размер генеральной совокупности. Если параметр
«интегральная» указан как «истина» (1), то можно вычис-
44
лить значение интегральной функции. При значении пара-
( )
( )
1
1,
;
1, 2,...; 0 1;
0.
если
в остальных случаях
x
pp
fxp
xp
−
−
=
= ≤≤
−
( ) ( ) ( )
1
ин
1
1 11 .
x
ix
i
Fx p p p
−
=
= − =−−
∑
2
2
11
; .
p
p
p
−
n= s =
метра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение
плотности распределения.
1.3.4. Геометрическое распределение
При проведении испытаний, когда возможны два исхода,
а именно один А с вероятностью р и другой
(1 – p), иногда возникает необходимость оценить вероятность
того, что потребуется провести х независимых опытов до появления исхода А. Эта вероятность определяется геометрическим распределением
Функция распределения имеет вид
Среднее и дисперсия геометрического распределения равны:
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции геометрического распределения можно использовать функцию Excel: ОТРБИНОМ.РАСП (Число
неудач; Число успехов; Вероятность успеха; интегральная).
Первые два параметра – это соответственно количество неудачных испытаний и пороговое число успешных испытаний (для геометрического распределения этот параметр равен 1). Если параметр «интегральная» указан как «истина»
(1), то можно вычислить значение интегральной функции.
45
–
A с вероятностью
При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0) вы-
0.
0.
числяется значение плотности распределения.
1.3.5. Распределение Паскаля
Распределение Паскаля является моделью распределения
вероятностей того, что до появления ровно s успешных исходов при испытании по схеме Бернулли необходимо произвести x испытаний, успешный исход в каждом из которых
равен p. Распределение имеет вид
1
x
−
; ,
fxsp
( )
=
s
−
s
p p x ss p
1
−
в остальных случаях
Если ввести обозначения z = x – s, то величина z будет
иметь так называемое отрицательное биномиальное распределение, описываемое функцией
s
−
s
pp s z
fzsp
; ,
( )
=
( )
z
−
в остальных случаях
xs
−
1 , 1, ...; 0 1;
− = + ≤≤
( )
−= =
1 0, 1, 2, ...; 0, 1, 2, ...;
z
при
при
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции отрицательного биномиального распределения можно использовать рассмотренную выше функцию
Excel: ОТРБИНОМ.РАСП.
1.3.6. Распределение Пуассона
Если при испытаниях по схеме Бернулли число испытаний n неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа появлений события А остается постоянным и равным l, то вероятность того, что в n испытаниях событие А
появится ровно x раз, распределена по закону, установленному Пуассоном:
46
( )
, 0, 1, 2, ...; 0;
,
!
0.
если
в остальных случаях
x
ex
fx
x
−l
l
= l>
l=
−
Значения вероятности можно рассчитать, пользуясь ре-
( ) ( )
1; ; .
1
fx fx
x
l
+ l= l
+
( )
ин
0
, 0;
!
0, 0.
если
если
x
i
ex
Fx
i
x
−l
l
>
=
<
∑
;n=l
s=l
3
;m=l
( )
3 1;
куррентной формулой
Функция распределения имеет вид
Распределение Пуассона широко используется для моделирования редких событий, происходящих за определенный
интервал времени, например числа вызовов, поступающих
на телефонную станцию за определенный интервал времени
в течение суток; числа дефектов на единице поверхности изделий; числа клиентов, обращающихся в парикмахерскую
в течение определенного периода дня, и т.д.
Распределение Пуассона приводится в книге [1, с. 360–
368] в табл. 5.3.
Основные характеристики распределения Пуассона:
• среднее:
• дисперсия:
• третий центральный момент:
• четвертый центральный момент:
2
;
(1.16)
m =l l+
4
47
• коэффициент вариации:
1
;g=
l
1;Sk = l
1
3.Ex = +
l
1
n
i
i
Yx
=
=
∑
1
.
n
i
i=
l= l
∑
:
m
n
∧
n=
.
m
n
∧
l=
!
i
x
N
i
i
e
L
x
−l
l
=
∏
( )
1
ln ln ln ! ;
N
N
ii
i
i
Lx N x
=
= l− l−
∑
∏
1
ln 1
0.
N
i
i
L
xN
=
∂
= −=
∂l l
∑
• коэффициент асимметрии:
• коэффициент эксцесса:
Если х1, х2, ..., хn – независимые случайные величины,
распределенные по закону Пуассона с параметрами l
l
соответственно, то случайная величина
n
, l2, …,
1
распре-
делена также по закону Пуассона с параметром
Оценка параметра l распределения Пуассона. Если в проведенных n испытаниях событие А наступило m раз, то оценка l может быть получена из уравнения (1.16), если подста-
вить в него вместо n его оценку
Если оценку параметра рассчитывают по N сериям испытаний и каждая серия испытаний включает n испытаний, то
оценка максимального правдоподобия может быть найдена,
исходя из следующих действий с функцией правдоподобия:
(функция правдоподобия);
48
Откуда
1
.
N
i
i
x
x
N
∧
=
l= =
∑
( )
2 , 2 ,
н
Pxl=g
( )
2 , 2 2 1 .
B
Pxl + = −g
Доверительный интервал для параметра l распределения
Пуассона. Нижний доверительный предел l
для неизвест-
н
ного параметра l распределения Пуассона определяется для
заданного х в результате решения уравнения
где P(2lн, 2x) – интервал вероятностей c2-распределения с
n = 2x степенями свободы, табулированный в табл. 2.1
источника [1, c. 202–221];
g – заданный коэффициент доверия.
Верхний доверительный предел l
нение
Значения lн и lв, найденные для одних и тех же значений х
и g, определяют для неизвестного параметра l доверительный
интервал (l
В табл. 5.4а книги [1, c. 368–369] приведены доверительные пределы для параметра l распределения Пуассона:
для g = 0,95; 0,975; 0,99; 0,995; 0,999; соответственно для
2g – 1 = 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0998 и x = 0(1)50.
В табл. 5.4б книги [1, c. 369] даются поправки к приближенным формулам для l
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции распределения Пуассона можно использовать функцию Excel: ПУАССОН.РАСП (x; среднее;
определяют, решая урав-
в
, lв) с коэффициентом доверия, равным 2g – 1.
н
и lв при х > 50.
н
49
интегральная). x – количество событий. Если параметр «интегральная» указан как «истина» (1), то можно вычислить
значение интегральной функции. При значении параметра
«интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение плотности распределения, то есть вероятности того, что количество
произошедших событий будет точно равно x.
1.4. Аппроксимация выборочных распределений
Часто исследователь не имеет возможности вследствие
недостаточной изученности рассматриваемого явления сделать выбор статистической модели для описания результатов наблюдений на основе теоретических соображений.
В этом случае он осуществляет выбор аппроксимирующего
распределения эмпирическим путем с последующей проверкой адекватности выбранной модели реальному явлению.
Эмпирическими распределениями широко пользуются при
моделировании методом Монте-Карло функционирования
различного рода сложных систем, а также при прогнозировании возможных исходов в последующих опытах на основе
имеющейся информации.
Существует несколько методов аппроксимации эмпирических распределений [2–4]. Ниже кратко излагаются метод
выбора и метод оценки параметров аппроксимирующего распределения, предложенные Пирсоном.
Для выбора вида аппроксимирующей функции Пирсон
предложил использовать график, на котором по оси абсцисс
отложено значение квадрата коэффициента асимметрии b
2
= (Sk)
са b
, а по оси координат – значение коэффициента эксцес-
= Ex.
2
На рис. 1.14, заимствованном из труда [3, с. 231], показано, как размещаются в указанной системе координат
описанные выше распределения: нормальное, равномерное,
экспоненциальное (представленные точками, так как они
не имеют параметра формы), логарифмически нормальное,
гамма-распределение, t-распределение Стьюдента (представленные кривыми, поскольку у них имеется один параметр
1
=
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]