Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
В итоге получаем следующие значения ni:
2
2
набл
.
i
i
i
nn
n
∧
−
=
c
∑
i x
1 5 –1,62 0,1074 9,1
2 7 –1,20 0,4942 16,5
3 9 –0,77 0,2966 25,3
4 11 –0,35 0,3752 32,0
5 13 0,08 0,3977 33,9
6 15 0,51 0,3503 29,8
7 17 0,93 0,2589 22,0
8 19 1,36 0,1582 13,5
9 21 1,78 0,0818 7,0
i
u
i
j(ui) n
Значения j(ui) могут быть рассчитаны с помощью функ-
ции Excel (рис. 2.10).
i
Рис. 2.10. Пример расчета значения j(ui) с помощью функции
Excel
3. Определим наблюдаемые значения c
Замечание. Малочисленные группы n
объединить, сложив соответствующие оценки n
Напомним, что
101
2
.
набл
< 5 необходимо
i
.
i
В результате имеем:
i
1 15 9,1 5,9 34,81 3,8
2 26 16,5 9,5 90,25 3,6
3 25 25,3 –0,3 0,09 0,00
4 30 32,0 –2,0 4,00 0,1
5 26 33,9 –7,9 62,41 1,9
6 21 29,8 –8,8 77,44 2,3
7 24 22,0 2,0 4,00 0,2
8 20 13,5 6,5 42,25 3,0
9 13 7,0 6,0 36,00 5,1
Сумма – – – – c
2
4. c
кр
2
> c
c
набл
∧
n
i
n
i
(∧ni –ni) (∧ni –ni)2(∧ni –ni)2 / n
= (a = 0,05; k = l – 3 = 6) = 12,6.
2
. Гипотезу H0 отвергаем.
кр
2
набл
= 20,0
Пример 2 [9]. Проверка типа распределения содержания
FeO в шлаке
В табл. 2.2 приведено содержание FeO в шлаке перед
раскислением металла при выплавке стали марки 08кп в
200-тонных мартеновских печах. Высказывается предположение, что содержание FeO в шлаке колеблется случайно, и
его колебания подчиняются нормальному закону распреде-
–
ления со средним
x =17,375 и дисперсией S2 = 15,984 (рас-
считанным по выборке, насчитывающей 56 единиц наблюдений).
Из табл. 2.2 видно, что содержание FeO в шлаке колеблет-
ся от 11 до 30 %. Число интервалов при условии, чтобы мате-
матическое ожидание числа наблюдений было бы не меньше
5 в каждой группе, получается равным 8. Результаты группировки исходных данных и всех вычислений приведены в
табл. 2.3.
Значения Φ(u
ции Excel. На рис. 2.11 показан пример расчета Φ(u
) могут быть рассчитаны с помощью функ-
i
) для
i
первого интервала из табл. 2.3.
i
102
Исходные данные к решению примера 2
и вспомогательные расчеты
Таблица 2.2
Исходные данные
и результаты рас-
четов
(FeO) yi = log(xi – 9) n
x
i
i
11 0,3010 1 1
12 0,4771 5 6
i = ∑n
13 0,6021 3 9
14 0,6990 6 15
15 0,7782 6 21
16 0,8451 2 23
17 0,9031 8 31
18 0,9542 6 37
19 1,0000 6 43
20 1,0414 4 47
22 1,1139 1 48
23 1,1461 4 52
24 1,1761 1 53
25 1,2041 1 54
26 1,2304 1 55
30 1,3222 1 56
Сумма 973 48,7929 56 –
Среднее значение 17,375 0,8713 – –
2
S
15,984 0,049314 – –
S 4,00 0,222 – –
Таблица 2.3
Результаты вычислений к примеру 2
Интервалы.
Группировки
x
–
x) / S
i
n
–
i
= (x
i
– верхняя гра-
i
u
ница интервала)
(x
X ≤ 12 6 –1,340 0,090 0,090 5,04 0,96 0,9216 0,183
12 < X ≤ 14 9 –0,840 0,200 0,110 6,16 2,84 8,0656 1,309
)
i–1
)
i
) – Φ(u
Φ(u
= Φ(u
p
i
i
Np
i
|
i
– Np
i
|n
2
)
i
– Np
i
(n
i
i
/ Np
2
)
i
– Np
i
(n
103
Окончание табл. 2.3
Интервалы.
Группировки
x
–
x) / S
i
n
–
i
= (x
i
– верхняя гра-
i
u
ница интервала)
(x
14 < X ≤ 16 8 –0,344 0,365 0,165 9,25 1,25 1,5625 0,169
16 < X ≤ 17 8 –0,094 0,463 0,098 5,48 2,52 6,3504 1,157
17 < X ≤ 18 6 0,170 0,567 0,104 5,83 0,17 0,0289 0,005
18 < X ≤ 19 6 0,420 0,663 0,096 5,37 0,63 0,3969 0,074
19 < X ≤ 22 5 1,170 0,879 0,216 12,10 7,10 50,4100 4,166
22 < X ≤ 30 8 3,170 0,999 0,120 6,72 1,28 1,6384 0,244
Сумма N = 56 – – 0,999 55,95 – – c
)
i–1
)
i
) – Φ(u
Φ(u
= Φ(u
p
i
i
Np
i
|
i
– Np
i
|n
2
)
i
– Np
i
(n
= 7,307
i
/ Np
2
)
i
– Np
i
(n
2
=
Рис. 2.11. Пример расчета параметра Φ(ui) с помощью
функции Excel
Расчетное значение c2 = 7,307. Его следует сравнить с та-
2
бличным значением c
для 5%-го уровня значимости при числе степеней свободы f = 8 – 2 – 1 = 5. В этом расчете r принято
равным 2, так как по данным выборки рассчитывались значе-
104
ния –x и S2. Табличное значение c
( )
ин
,
1
i
Fx
n
∧
=
+
xx
u
S
−
=
2
= 11,07. Таким образом,
0,05;5
опытные данные не противоречат гипотезе о том, что содержание FeO в конечном шлаке имеет нормальное распределение.
2.13. Графический метод оценки соответствия
распределения экспериментальных данных
предполагаемому закону инахождение
Соответствие распределения экспериментальных данных
предполагаемому закону распределения можно приближенно оценить, построив график, по оси абсцисс которого отложить значения случайной величины, а по оси ординат –
значения интегральной функции распределения, принятого
в качестве модели.
Если в распоряжении исследователя нет специальной вероятностной бумаги, то построение графика осуществляют
в следующей последовательности.
1. Ранжируют случайную величину по возрастающему ее
значению и рассчитывают значение накопленной (кумулятивной) частоты эмпирического распределения. При расчете
накопленных частот часто используют оценку
где i – число экспериментальных данных, у которых х ≤ xi;
п – общее число испытаний.
Эта оценка применима и в случае неограниченных распре-
делений.
2. Приравнивая интегральную функцию теоретического
распределения минимальному и максимальному значениям накопленной частоты, определяют пределы отклонения
от нуля и на этой основе определяют масштаб для
шкалы значений и на оси ординат. Она служит для построе-
105
ния шкалы интегральной функции распределения, выбран-
( )
ин
,
1
i
Fi
n
∧
=
+
ной в качестве модели.
3. По таблицам нормированных распределений находят
квантили и, соответствующие различным значениям интегральной функции распределения, и через них проводят
прямые, параллельные оси абсцисс, которые образуют масштабную сетку вероятности р(и ≤ a) = F
ин
(a).
Естественно, что для различных распределений эта сетка
имеет различный вид. Ниже на примерах будет показано, как
ее строят в каждом конкретном случае.
4. Наносят на график значения накопленной частоты против соответствующих значений случайной величины. Если
вид функции распределения выбран правильно, то экспериментальные точки должны ложиться на прямую.
2.13.1. Нормальный закон распределения
Рассмотрим проверку предположения о нормальном законе
распределения случайной величины на примере распределе-
ния, представленном в табл. 2.2. Данные в этой таблице проранжированы, и в последней колонке приведены накопленные
значения n
, по которым рассчитаны оценки
i
приведенные в табл. 2.4.
Результаты расчета значений оценок
x
11 0,0175 19 0,753
12 0,105 20 0,823
13 0,158 22 0,842
14 0,263 23 0,912
15 0,368 24 0,930
16 0,403 25 0,937
17 0,543 26 0,965
18 0,648 30 0,983
∧
Fин(i) = i / (n + 1) x
106
Таблица 2.4
∧
Fин(i)
∧
Fин(i) = i / (n + 1)
Приравниваем ∧Fин(u) значению 0,0175 и находим, используя обратную функцию нормального распределения, значение u
значений и (рис. 2.12). Аналогично этому, приравняв
значению 0,983, находим u
= –2,11, соответствующее нижнему концу шкалы
0,0175
= 2,12 (рис. 2.12).
0,983
∧
Fин(u)
Рис. 2.12. Расчет значений u0,
017
Excel
и u0,
с помощью функции
983
Принимаем пределы изменения и равными –2,5 и +2,5.
В соответствии с этим разбиваем ось ординат на нашем гра-
107
фике (рис. 2.13) на десять равных интервалов, каждый из
xx
–2,5
–1,5
–0,5
30
FeO, %
которых соответствует изменению и на 0,5 единицы.
Используя обратную функцию нормального распределения (см. рис. 2.12) и результаты расчета значений оценок
∧
Fин(i) из табл. 2.4, получим данные (табл. 2.5) для построе-
ния графика.
Таблица 2.5
Значения p и u
p
p = ∧Fин(i) = i / (n + 1) u
0,0175 –2,108 0,753 0,684
0,105 –1,254 0,823 0,927
0,158 –1,003 0,842 1,003
0,263 –0,634 0,912 1,353
0,368 –0,337 0,93 1,476
0,403 –0,246 0,937 1,530
0,543 0,108 0,965 1,812
0,648 0,380 0,983 2,120
u
=
S
x
2,5
2
1,5
1
0,5
0
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
–1
–2
p
p = ∧Fин(i) = i / (n + 1) u
Рис. 2.13. Графическая проверка гипотезы о нормальном
распределении случайной величины
p
В результате получаем расположение точек, через которое трудно провести прямую. Это дает основание предпола-
108
yy
–2,5
–1,5
–0,5
1,4
y = log (% FeO – 9)
гать, что значения случайной величины не имеют нормального распределения.
Этот вывод отличается от сделанного выше при проверке
2
нормальности с помощью критерия c
.
2.13.2. Логарифмически нормальное распределение
Проиллюстрируем проверку гипотезы о логарифмически
нормальном распределении на том же материале, что был
использован в предыдущем параграфе. Как видно из рассмотрения рис. 2.13, можно предположить, что содержание РеО
в шлаке перед раскислением не бывает ниже 9 %. В соответствии с этим принимаем y
приведены в табл. 2.2.
ния y
i
Построение шкалы для F(х), очевидно, не отличается от
описанного выше. Изменяется только шкала на оси абсцисс
(рис. 2.14), на которой вместо x
= log(x
– 9).
i
u
2,5
1,5
0,5
S
y
2
1
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
= log(xi – 9). Рассчитанные значе-
i
наносятся значения yi =
i
–1
–2
Рис. 2.14. Графическая проверка гипотезы о логарифмически
нормальном распределении случайной величины
109
Из рис. 2.14 видно, что нанесенные на график оценки хорошо ложатся на прямую. Таким образом, опытные данные
не противоречат сделанному предположению, что содержание FеО в шлаке подчиняется логарифмически нормальному
распределению.
Перпендикуляры, опущенные на ось абсцисс из точек пересечения прямой, аппроксимирующей наблюденные значения переменной, с прямыми, проведенными параллельно оси
абсцисс через точки, соответствующие значениям и = –1 и +1,
отсекают на оси абсцисс отрезок, равный двум стандартам.
Таким образом, если последнюю величину разделить на 2, то
получим оценку среднего квадратического отклонения. В рассматриваемом примере эта оценка равна:
S = (1,08 – 0,58) / 2 = 0,25.
Проверка предположения о возможности аппроксимации
наблюденных значений случайной величины с помощью логарифмически нормального распределения по критерию c
2
приведенная в табл. 2.6, также свидетельствует, что оно допустимо.
Таблица 2.6
Результаты расчета, относящегося к логарифмически
нормальному распределению
,
)
Интервалы.
Группировки
i–1
–
y) / S
)
i
–
n
= (y
u
i
i
i
) – Φ(u
Φ(u
= Φ(u
p
i
i
Np
i
|
i
– Np
i
|n
2
)
i
– Np
i
(n
/ Np
2
)
– Np
(n
X ≤ 0,6021 9 –1,21 0,113 0,113 6,33 2,67 7,1289 1,125
0,6021 < X ≤ 0,7782 12 –0,419 0,338 0,225 12,66 0,60 0,3600 0,029
0,7782 < X ≤ 0,9031 10 0,143 0,557 0,219 12,25 2,25 5,0625 0,414
0,9031 < X ≤ 1,000 12 0,539 0,705 0,148 8,29 4,71 22,1841 2,670
1,000 < X ≤ 1,1139 5 1,090 0,862 0,157 8,79 3,79 14,3641 1,635
110
i
i
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]