Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
Очевидно, что начальный момент первого порядка случай-
( )
.
s
sx
MXm= −n
( ) ( )
,
s
s ix i
i
x pxm = −n
∑
( ) ( )
.
s
s ix
x f x dx
∞
−∞
m = −n
∫
( ) ( )
2
2
2
–.
x
DX MX=s=m= n
( )
.
x
DXs=
ной величины X равен математическому ожиданию n
.
x
Центральным моментом s-го порядка случайной величины
X называют математическое ожидание s-й степени отклонения
случайной величины X от ее математического ожидания n
:
x
Для дискретной случайной величины s-й центральный момент равен
а для непрерывной – интегралу:
Центральный момент второго порядка m2, именуемый дисперсией, служит в качестве меры рассеяния:
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Корень квадратный из дисперсии называют средним
квадратическим отклонением, или стандартом:
Стандарт имеет размерность случайной величины.
В качестве относительной характеристики рассеяния используют коэффициент вариации, представляющий собой отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию случайной величины:
11
.
x
x
s
g=
n
Центральный момент третьего порядка m3 используется
3
32
2
.Skm=
m
4
2
2
3.Exm= −
m
для числового измерения асимметрии распределения. Если
распределение симметричное, то m
распределения длиннее левого, то величина m
= 0. Когда правое плечо
3
положитель-
3
ная, если же левое плечо длиннее правого, то величина m
отрицательная. Чтобы иметь дело с безразмерной характеристикой, величину m
делят на s
3
3
. Полученный показатель на-
x
зывают коэффициентом асимметрии (skewness):
В качестве характеристики островершинности служит коэффициент эксцесса (excess):
1.1.2. Нахождение оценок параметров распределения
В тех случаях, когда параметры распределения случайной
переменной X неизвестны, их оценивают на основе экспери-
ментальных или статистических данных. Поскольку значения
оценок зависят от вошедших в выборку значений случайной
величины, они являются также случайными величинами.
Оценки по возможности должны обладать следующими
свойствами: состоятельностью, несмещенностью и эффективностью.
Оценку
ченном увеличении числа наблюдений n она стремится по
вероятности к значению а. Если она при этом не дает систематической ошибки, т.е. если выполняется условие M(
то такую оценку называют несмещенной. Несмещенную оцен-
∧
a называют состоятельной, если при неограни-
∧
a) = a,
3
12
ку называют эффективной, если она имеет наименьшую дис-
( ) ( ) ( ) ( )
12
, , ... , , ,
ni
i
L fx fx fx fx= θ θ θ= θ
∏
персию по сравнению с другими несмещенными оценками параметра а.
Оценки параметров распределения чаще всего находят,
пользуясь методом моментов или методом наибольшего правдоподобия.
Метод моментов в большинстве случаев более прост,
и им удобно пользоваться. Он заключается в том, что искомые числовые характеристики распределения выражают через моменты низших порядков, которые затем заменяют их
оценками, полученными по результатам наблюдений. Количество составленных таким образом уравнений должно равняться числу оцениваемых параметров распределения. Решая совместно эти уравнения, получают требуемые оценки.
Применение метода иллюстрируется ниже при нахождении
параметров гамма-распределения.
Применение метода моментов иногда приводит к малоэффективным оценкам.
Метод наибольшего (максимального) правдоподобия ча-
сто требует более сложных вычислений, чем метод моментов,
однако лучше пользоваться им, так как он всегда приводит
к состоятельным, асимптотически нормальным и асимптотически эффективным оценкам. Правда, иногда оценки могут
иметь небольшое смещение.
Метод наибольшего правдоподобия предполагает принятие в качестве оценки неизвестного параметра такого его
значения, появление которого на основе имеющихся данных
наиболее вероятно. По методу наибольшего правдоподобия в
качестве оценки параметра θ, от которого зависит плотность
вероятности, принимают такое его значение, при котором
достигается максимум функции правдоподобия:
, x2, …, xn – результаты n независимых наблюдений ис-
где x
1
следуемой случайной величины;
13
(1.1)
f(xi, θ) – плотность распределения, определяемая форму-
ln0.L∂
=
∂θ
лой в соответствии с принятой моделью распределения,
зависящей от параметра θ.
Для нахождения максимума возьмем частную производную lnL по θ и приравняем ее нулю:
Решая это уравнение относительно θ, находим оценку θ
максимального правдоподобия.
Если плотность распределения определяется несколькими параметрами, то их оценки находят, вычисляя частные
производные от логарифма функции правдоподобия по каждому из искомых параметров, приравнивая эти производные
нулю и решая совместно полученные уравнения относительно искомых параметров.
Перейдем к рассмотрению непрерывных распределений.
1.2. Непрерывные распределения
1.2.1. Нормальное распределение
Из применяемых в математической статистике распределений наиболее часто пользуются нормальным распределением. Широкое применение этой модели обусловлено тем,
что согласно центральной предельной теореме распределение
среднего n независимых случайных величин, распределенных по любому закону с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями, приближается к нормальному, когда число n наблюдений в выборке стремится к бесконечности.
Распределение выборочного среднего стремится к нормальному и при относительно небольших n, если распределения
всех независимых случайных величин не сильно отклоняются от нормального и их дисперсии приблизительно равны
друг другу. Таким образом, если случайную величину можно
14
рассматривать как результат большого числа независимых
( )
( )
2
2
1
; ; exp ;
2
2
x
fx
−n
ns= −
s
sp
( )
( )
2
ин
2
1
; ; exp ;
2
2
x
x
F x dx
−∞
−n
ns= −
s
sp
∫
( )
;
x
MX= n
( )
2
;DX= s
3
0;m=
4
4
3;m=s
равновеликих воздействий, то есть основания считать, что
она имеет нормальное, или гауссово, распределение.
Примерами нормально распределенных величин могут служить ошибки измерения, результаты испытания стали на
прочность и ударную вязкость, часовая производительность
сталеплавильных агрегатов, масса слитков, отлитых в однотипные изложницы, и др. Кроме того, часто при соблюдении
некоторых (в каждом случае своих) условий нормальным
распределением аппроксимируют другие распределения.
Нормальное (гауссово) распределение определяется следующими выражениями:
• плотность распределения:
• интегральная функция распределения:
–∞ < x < ∞, –∞ < n < ∞, s > 0,
где n – центр распределения (его математическое ожидание),
;
n = n
x
s – стандартное отклонение, масштабирующее рассеяние.
Основные характеристики нормального распределения:
• среднее:
• дисперсия:
• третий центральный момент:
• четвертый центральный момент:
15
• коэффициент вариации:
;
x
s
g=
n
0;Sk =
0.Ex =
f(x)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
–5 –4 –3 –2 –1 01 234 x
−n
• коэффициент асимметрии:
• коэффициент эксцесса:
На рис. 1.1 показаны нормальные распределения с различными значениями s и одинаковыми n.
1
2
3
0
Рис. 1.1. Нормальные распределения с одинаковыми n = 0
и различными значениями s: 1 – 0,5; 2 – 1,0; 3 – 2,0
Если вместо нормально распределенной случайной величины X использовать величину отклонения X от его математического ожидания n
нению s
, т.е. если ввести случайную величину
x
то эта величина будет распределена по нормальному закону
при n
= 0 и sx = 1. Величину Y называют нормированным от-
x
, отнесенную к стандартному откло-
x
X
x
16
,
s
x
=
Y
клонением случайной величины. При nx = 0 имеем семейство
( )
2
1
exp ;
2
2
y
fy
= −
( )
2
ин
1
exp ,
2
2
y
y
F y dy
−∞
= −
p
∫
( ) ( )
ин ин
; 0; 1 1 ; 0; 1 .F y Fy−=−
центрированных (т.е. с центром в начале координат) нормальных кривых, зависящих от одного параметра s
.
x
Для нормированного отклонения, распределенного по нормальному закону, получаем
где –∞ < y < ∞, ny = 0, s
2
= 1, Sk = 0, Ex = 0.
y
Значения плотности вероятности и интегральной функции этого распределения, называемого нормированным, или
стандартным, нормальным распределением, табулированы и приведены в различных учебниках по математической
статистике и в специальных математических справочниках.
Поскольку нормальное распределение симметричное, в таблицах обычно приводят значения интегральной функции
F(у; 0; 1) только для у ≥ 0. Значения интегральной функции
для у < 0 определяются из равенства
Так как значения плотности вероятности f(y) = f(–y), то
в таблицах их приводят для y ≥ 0.
Для определения значений плотности вероятности и интегральной функции нормального распределения можно использовать функцию Excel: НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное
откл; интегральная), где x – значение выборки, для которого
оценивается функция. Далее указываются среднее арифметическое рассматриваемого распределения и стандартное откло-
17
нение. Если параметр «интегральная» указан как «истина» (1),
,
i
i
x
x
x
n
∧
n= =
∑
( )
2
2
2
2
2
;
i
ii
i
ii
x
xx x
nn
n
∧
−
s= = −
∑
∑∑
( )
( )
2
2
2
2
.
11
ii
i
ii
i
nx x
xx
S
n nn
−
−
= =
−−
∑∑
∑
то для заданного x можно вычислить значение интегральной
функции. При значении параметра «интегральная» = «ложь»
(0) вычисляется значение плотности вероятности.
Для определения значений плотности вероятности и интегральной функции стандартного нормального распределения можно использовать следующую функцию Excel: НОРМ.
СТ.РАСП (z; интегральная), где z – нормированное отклонение случайной величины, для которого строится распределение. Параметр «интегральная» задается по той же схеме,
что в функции НОРМ.РАСП.
Оценка параметров нормального распределения по экс-
периментальным данным. Оценку математического ожида-
ния n
вычисляют по формуле
x
– значение i-го результата определения х;
где x
i
п – число испытаний.
Здесь и далее знак «крышка» –
или иного параметра означает, что мы имеем дело с оценкой
этого параметра.
Для дисперсии s
2
существуют две оценки:
18
(1.2)
∧
над обозначением того
(1.3)
Первая оценка, являющаяся оценкой максимального прав-
( ) ( )
,
ii
xx x x− = −n − −n
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
22
22
1
2
2.
i
ii
ii
nS x x
x xx x
x x x nx
− = −n − −n =
= −n − −n −n + −n =
= −n − −n −n + −n
∑
∑∑ ∑
∑∑
( )
0,
i
x −n ≠
∑
( ) ( )
.
ii
x xnnxnnx−n = − = − n =nn−
∑∑
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 22
2
22
12
.
i
i
n S x nx nx
x nx
− = −n − −n + −n =
= −n − −n
∑
∑
( ) ( )
2
22 2
1 1,Mn S n n n
n
s
− =s− = − s
( )
22
.MS = s
доподобия, имеет смещение, а вторая оценка смещения не имеет, и по этой причине ею пользуются чаще. При больших n различие в величине этих оценок стремится к нулю. Формула (1.3)
вытекает из следующих рассуждений. Учитывая, что
выражение (1.3) можно преобразовать следующим образом:
Далее, поскольку n ≠
и
Подставляя это значение ∑(xi – n) в равенство (1.4), получим
Переходя к математическому ожиданию, имеем
Откуда
–
x, то
(1.4)
19
Так как дисперсия эмпирической средней –x равна
( )
( ) ( ) ( )
( )
12
12
22 2 2
1 11 1
...
11 1
...
in
i
n
Dx D x D x x x
n nn n
Dx
Dx Dx Dx
nn n n
= = ++ =
= + ++ =
∑
∑
( )
( )
2
2
11
exp ln ,
2
2
; ,
0, , 0;
0.
если
в остальных случаях
x
x
fx
x
− −n
s
sp
ns=
> −∞<n<∞ s>
−
и с учетом того, что D(x1) = s2, то D(–x) = ns2 / n2 = s2 /n и
∧
–
s
= s / √n.
x
Таким образом, эмпирическое среднее х стремится по вероятности к центру распределения n
при n → ∞ и может ис-
х
пользоваться как оценка этого параметра.
1.2.2. Логарифмически нормальное распределение
Случайную величину X называют распределенной логарифмически нормально, если логарифм этой случайной ве-
личины распределен нормально с параметрами n и s.
Плотность распределения случайной величины Х описывается функцией
Это распределение имеет правостороннюю асимметрию и
принимает различные формы, представленные на рис. 1.2 и
1.3 в зависимости от значений n и s.
Логарифмически нормальное распределение применяют
случаях, когда рассеивание обусловлено умножением большого числа небольших ошибок. Оно находит применение при
описании размеров частиц, получающихся в процессе дробления породы, при испытании на долговечность, в биологии,
экономике и других областях.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]