Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
f(x)
4
01234 x
f(x)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
01
2
3345 67x
3
3
2
1
2
1
Рис. 1.2. Логарифмически нормальные распределения
с одинаковыми n = 0 и различными s: 1 – 1,0; 2 – 0,5; 3 – 0,1
1
2
Рис. 1.3. Логарифмически нормальные распределения
с одинаковыми s = 1 и различными n: 1 – 0; 2 – 0,5; 3 – 1
21
Некоторые характеристики логарифмически нормально-
2
exp ;
2
x
s
= n+
n
( )( )
2 22
exp 2 exp 1 ;s = n+s s −
( )
2
exp ;
x
Mo = n−s
exp .
x
Me = n
2
2
11
ln ln
; .
1
nn
ii
ii
xx
nn
∧
∧
∧
= =
−n
n= s =
−
∑∑
0.
го распределения:
• среднее:
• дисперсия:
• мода:
• медиана:
Оценка параметров логарифмически нормального распределения. Оценки n и s получают из выражений:
В общем случае, когда значения X ограничены снизу величиной g, плотность логарифмически нормального распределения имеет вид
s −g p
fx
nsg=
; , ,
( )
×
Для определения значений плотности распределения и
интегральной функции логарифмически нормального распределения можно использовать функцию Excel: ЛОГНОРМ.
РАСП (x; среднее; стандартное откл; интегральная), где x –
значение выборки, для которого рассчитывается функция;
1
x
( )
exp ;
в остальных случаях
−
×
2
1
− −g −n
2
s
если
x
ln ,
( )
2
≥g −∞<g<∞ −∞<n<∞ s>
x
, , , 0
22
2
далее указывается среднее значение ln(x) и стандартное от-
( )
( )
1
,
; ,
0, 0, 0;
0,
если
в остальных случаях
х
xe
fx
x
a
a− −l
l
Ga
al=
≥l>a>
−
( )
1
0
.
x
x e dx
∞
a− −
Ga=
∫
( ) ( )
1 !.G a = a−
клонение для ln(x). Если параметр «интегральная» указан
как «истина» (1), то для заданного x можно вычислить значение интегральной функции. При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение плотности
распределения.
1.2.3. Гамма-распределение
Гамма-распределение используют для описания случайных величин, ограниченных с одной стороны. Плотность гамма-распределения описывается выражением
(1.5)
где G(a) – гамма-функция:
Когда a целое положительное число:
Параметр a определяет форму распределения, а параметр
l – его масштаб (рис. 1.4, 1.5). При a ≤ 1 график плотности распределения имеет вид кривой убывающей функции,
а при a > 1 график представляет собой одновершинную кривую с максимумом в точке x = (a – 1) / l. Когда a = 1, гаммараспределение переходит в экспоненциальное.
23
f(x)
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
01
223345 6 x
f(x)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
01
22334567x
1
Рис. 1.4. Гамма-распределение с одинаковыми значениями
l = 1 и различными значениями a: 1 – 0,5; 2 – 1,0; 3 – 2,0
1
Рис. 1.5. Гамма-распределение с одинаковыми значениями
a = 2 и различными значениями l: 1 – 3; 2 – 2; 3 – 1
Гамма-распределением широко пользуются как статистической моделью для оценки времени, необходимого для
24
появления ровно a событий в том случае, когда события про-
;na=
l
2
2
;
a
s=
l
3
3
2;a
m=
l
4
4
2
3;
a+
m=a
l
исходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью за единицу времени, например в теории массового обслуживания при рассмотрении задач, связанных с
продолжительностью ожидания в очереди обслуживаемых
клиентов; в теории надежности при определении продолжительности безотказной работы системы, выходящей из
строя, когда в ней произойдет a независимых нестатичных
отказов, имеющих постоянную среднюю интенсивность отказов l; при определении срока израсходования запасов деталей при расходовании их партиями по a штук с постоянной интенсивностью l в единицу времени и во многих других
случаях.
Интегральная функция гамма-распределения имеет вид
x
a
l
; ,
Fx
( )
ин
al=
Ga
0, 0,
t e dt x
∫
( )
0
если
1–
a− l
x
<
t
, 0;
если
≥
(1.6)
и ее называют неполной гамма-функцией.
Основные характеристики гамма-распределения:
• среднее:
• дисперсия:
• третий центральный момент:
• четвертый центральный момент:
(1.7)
(1.8)
25
• коэффициент вариации:
1
;g=
a
2
;Sk =
a
6
3.Ex = +
a
1
.
n
i
i=
a
∑
,x
a
=n≈
l
( )
2
2
.Dx S
a
= ≈
l
( )
( )
2
2
1
1
;
n
i
i
xn
x
S
xx
∧
=
−
l= =
−
∑
( )
( )
2
2
1
1
.
n
i
i
xn
x
xx
∧∧
=
−
a=l =
−
∑
• коэффициент асимметрии:
• коэффициент эксцесса:
Сумма n независимых величин, подчиняющихся гаммараспределению с параметрами l и a
, также имеет гамма-рас-
i
пределение с параметрами l и
Оценка параметров гамма-распределения. В тех случаях,
когда параметры распределения неизвестны и их необходимо
оценить по результатам наблюдений, чаще всего используют
описанный выше метод моментов.
Из равенства (1.7) следует, что
а из уравнения (1.8), что
Решая совместно эти два уравнения относительно a и l, по-
лучим их оценки:
26
(1.9)
(1.10)
Оценку параметров a и l с помощью метода максималь-
( )
1
1
.
i
n
x
i
i
L xe
a
−l
a−
=
l
=
Ga
∏
( ) ( )
1
1
ln ln ln 1 ln .
n
n
ii
i
i
Ln n x x
=
=
=− G a + a l+ a− −l
∑
∏
( )
1
1
ln
ln ln ln 0;
ln
0.
n
i
i
n
i
i
L
nn x
Ln
x
=
=
∂∂
= l− G a + =
∂a ∂a
∂a
=−=
∂l l
∑
∑
( )
( )
( )
( )
1
,
; , ,
, 0, 0;
0.
если
в остальных случаях
x
e
fx
x
a
a−
−l −n
l
c−g
Ga
alg=
≥g l> a>
−
ного правдоподобия осуществляют следующим образом.
Функция правдоподобия для гамма-распределения, согласно выражениям (1.1) и (1.5), имеет вид
Логарифм натуральный от L равен
Берем частные производные по a и l и приравниваем их
нулю:
Решение этих двух уравнений можно получить методом
последовательных приближений, используя в качестве первого приближения оценки параметров a и l, найденные методом моментов.
Если случайная величина ограничена слева не нулем,
а некоторой величиной g, то гамма-распределение определяется тремя параметрами a, l и g:
27
Когда параметр a ограничен положительными целыми чис-
( )
, 0, 0;
;
0, 0,
если
если
x
ex
fx
x
−l
l ≥ l>
l=
<
( )
ин
0
1 , 0;
;
0, 0.
если
если
x
tx
e dt e x
Fx
x
−l −l
l=− ≥
l=
<
∫
1
;n=
l
лами, гамма-распределение называют распределением Эрланга. Распределение Эрланга находит применение в теории мас-
сового обслуживания.
Если параметр a = 1, гамма-распределение описывается
функцией
и его называют экспоненциальным распределением, широко
применяемым в теории массового обслуживания при моделировании продолжительности промежутков времени между поступлениями требований, когда моменты поступления
требований распределены по закону Пуассона, и в теории надежности, где оно служит в качестве статистической модели
для времени безотказной работы при постоянной интенсивности отказов, т.е. когда вероятность отказа за определенный интервал времени постоянна и зависит только от длительности интервала.
Интегральная функция экспоненциального распределения имеет вид
Основные характеристики экспоненциального распределения:
• среднее:
(1.11)
28
• дисперсия:
2
2
1
;s=
l
3
3
2
;m=
l
4
4
9
;m=
l
1;g=
2;Sk =
9.Ex =
1
1
.
n
i
i
n
x
x
∧
=
l= =
∑
• третий центральный момент:
• четвертый центральный момент:
• коэффициент вариации:
• коэффициент асимметрии:
• коэффициент эксцесса:
Оценка параметра l по опытным данным производится
с помощью равенства (1.11), в которое вместо n подставляет-
ся его оценка
∧
n = –x:
Для определения значений плотности распределения и интегральной функции гамма-распределения можно использовать функцию Excel: ГАММА.РАСП (x; a; b; интегральная),
где x – значение выборки, для которого рассчитывается функция, a и b (параметр бета эквивалентен 1 / l) – параметры распределения. Если параметр «интегральная» указан как «истина» (1), то для заданного x можно вычислить значение
интегральной функции. При значении параметра «интегральная» = «ложь» (0) вычисляется значение плотности распределения.
1.2.4. Бета-распределение
Если случайная величина может принимать значения,
ограниченные определенным интервалом, в качестве ее статистической модели применяют бета-распределение. Плотность бета-распределения имеет вид
29
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
1,
; ,
0 1, 0, 0;
0
если
в остальных случаях.
xx
fx
x
b−
a−
G a+b
−
GaGb
ab=
≤ ≤ a> b>
−
Бета-распределение принимает различные формы в зави-
1
.
2
xa−=
a+b−
f(x)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 x
симости от значений параметров a и b. При a > 1 и b > 1 распределение является одновершинным (рис. 1.6) с максимум
в точке
При a > 1 и b ≤ 1 распределение имеет вид
возрастающей функции (рис. 1.7). При a < 1 и b < 1 распределение имеет U-образную форму (рис. 1.8). При a ≤ 1 и b > 1
распределение имеет вид убывающей функции (рис. 1.9).
При a = b распределение является симметричным, а при
условии a = b = 1 оно равномерное (рис. 1.10).
3
1
2
1
Рис. 1.6. Бета-распределение при a > 1 и b > 1: 1 – a = 2, b = 6;
2 – a = 2, b = 3; 3 – a = 3, b = 2; 4 – a = 6, b = 2
4
2
3
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]