Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей. Раздел «Случайные величины и законы их распределения. Проверка статистических гипотез».
.pdf
Если M ≤ c
2
2
.
ii
fS
Sf=
∑
2
2
159,4 34 4,688;
i
i
S ff
S
= = =
∑
2
0,6709;
lgiS
=
[ ]
∑
( )
( )
2
кр
0, 05; 1 2 6la= − = =
c
2
, то вывод об отсутствии оснований отвер-
кр
гнуть нулевую гипотезу можно сделать без расчета параме-
2
тра В (поскольку С > 1, то из соотношения M < c
что В < c
2
). Если же M > c
кр
2
, то необходимо вычислять В.
кр
следует,
кр
Величина критического значения В весьма чувствительна к отклонениям распределения от нормального. Поэтому к
выводам, полученным по данному критерию, надо относиться осторожно.
При условии однородности дисперсий в качестве оценки
генеральной дисперсии принимают
Пример расчета критерия Бартлетта
Исходные данные: имеются три независимых выборки
со следующими характеристиками: n
2
= 3,2; S
S
1
2
= 3,8; S
2
2
= 6,3. Требуется проверить нулевую ги-
3
= 9; n2 = 13; n3 = 15;
1
потезу об однородности дисперсий при условии значимости
a = 0,05.
Решение.
Вспомогательные расчеты, необходимые для определения
среднего арифметического выборочной дисперсии, взвешенного по степеням свободы, приведены в следующей таблице:
l n
1 9 8 3,2 25,6 0,5051 4,0408
2 13 12 3,8 45,6 0,5798 6,9576
3 15 14 6,3 88,2 0,7993 11,1902
Итого 34 159,4 22,1886
i
f
i
2
S
i
fi ⋅ S
2
i
lg S
2
i
fi ⋅ lg S
2
i
2,303 lg lg 2,303 34 0,6709 22,1886 1,43;
M fS f S
= ⋅ −⋅ = ⋅ − =
22
ii
(рис. 2.5).
91
Так как M < c
2
max
набл
22 2
12
.
...
l
S
G
SS S
=
+ ++
набл
0,40
0,33;
0,21 0,25 0,34 0, 40
G = =
+++
2
, то B
кр
набл
2
< c
. Следовательно, отвергать
кр
нулевую гипотезу об однородности дисперсий нет оснований.
2.7. Сравнение нескольких дисперсий нормальных
генеральных совокупностей повыборкам
одинакового объема. Критерий Кочрена
Из этих совокупностей x1, x2, … xl, которые распределены нормально, извлечены независимые выборки одинакового объема и по ним оценены S
числом степеней свободы f = n – 1.
Требуется при одинаковом уровне значимости a проверить нулевую гипотезу H
Напомним, что эта задача может быть решена с помощью
критерия Кочрена, который вычисляется по формуле
Наблюдаемое значение критерия сравнивается с критической точкой G
(a; f; l). Если G
кр
отвергать нулевую гипотезу. Если G
потезу отвергают. При условии однородности дисперсий в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю
арифметическую дисперсию.
2
2
, S
1
2
: s
= s
0
x
x
1
2
, …, S
2
набл
– все с одинаковым
i
= … = s
.
x
i
< Gкр – нет оснований
≥ Gкр – нулевую ги-
набл
Пример расчета критерия Кочрена
Исходные данные: имеются четыре выборки со следующими характеристиками: n = 17; S
2
= 0,40.
S
4
Требуется проверить нулевую гипотезу об однородности
дисперсий при условии значимости a = 0,05 (критическая область – правосторонняя).
Решение:
2
= 0,21; S
1
92
2
= 0,25; S
2
2
= 0,34;
3
Gкр(a = 0,05; f = 16; l = 4) = 0,23.
( ) ( )
( )
( )
кр
1 ; ; 2
;
1 ; ; 2 2
F n ln l
G
F n ln l n
a − −⋅
=
a − − ⋅+−
( ) ( )
( )
( )
кр
0,05 17 1 ; 4; 17 2 4
;
0,05 17 1 ; 4; 17 2 4 17 2
F
G
F
− −⋅
=
− −⋅ + −
кр
4,476
0,229.
4,476 17 2
G = =
+−
Поскольку G
> Gкр, то следует отвергнуть нулевую ги-
набл
потезу, т.е. выборочные дисперсии различаются значимо.
В Excel нет функции для определения критического значения критерия Кочрена, но распределение Кочрена можно
аппроксимировать распределением Фишера, используя следующее соотношение:
На рис. 2.6 представлены результаты расчета критерия
Фишера для рассматриваемого примера.
Рис. 2.6. Расчет критического значения критерия Фишера
по данным рассматриваемого примера с использованием
соответствующей статистической функции Excel
93
Поскольку G
( )
0
набл
.
xn
z−n=
s
( )
кр
2
Pz z>
a
=
( )
кр
.
2
Pz z<a−=
( )
кр
.Pz z> = a
( )
кр
.
2
Pz z<a−=
> Gкр, то следует отвергнуть нулевую ги-
набл
потезу.
2.8. Сравнение выборочной средней сосредней
генеральной совокупности
Статистическим критерием для проверки этой гипотезы
является нормированная нормально распределенная случайная величина со средней n
= 0 и s = 1.
0
Наблюдаемое значение критерия
тическое значение z
определяется из таблиц нормирован-
кр
ного нормального распределения.
Вид критической области зависит от типа конкурирую-
щей гипотезы:
: М(х) ≠ М(y) – критическая область двусторонняя,
а) Н
1
выбирается из условия
и
б) Н1: М(х) > М(y) – критическая область выбирается из
условия
в) Н1: М(х) < М(y) – критическая область выбирается из
условия
Гипотеза отклоняется, если |z
набл
| > zкр.
Пример сравнения выборочной средней со средней гене-
ральной совокупности
Исходные данные: n = 62; n
= 100; –x = nx = 102,6; s = 20;
0
a = 0,05.
Требуется проверить нулевую гипотезу H
≠ n0.
n
x
Здесь n
Граница критической области z
= M(X) известно из технических условий.
0
определяется из таблиц
кр
: nx = 100. H1:
0
нормированного нормального распределения.
Кри-
94
Решение:
( )
набл
102,6 100 62
1, 02;
20
z−= =
p pn
′
−
zкр(a / 2 = 0,025) = 1,96 (рис. 2.7).
Поскольку |z
Рис. 2.7. Расчет параметра zкр с использованием
соответствующей статистической функции Excel
| < zкр, принимаем Н0.
набл
(гипотеза односторонняя)
2.9. Сравнение выборочной доли
сдолейгенеральной совокупности
Известно, что при больших n статистика
z
набл
=
pp
−
1
( )
распределена приблизительно нормально с n
Граница критической области z
ванием нормированного нормального распределения (рис. 2.8).
Пример сравнения выборочной доли с долей генеральной
совокупности
Исходные данные: p = 0,08; n = 1000; p′ = 0,12; a = 0,05.
Требуется проверить нулевую гипотезу H
95
= 0 и s = 1.
0
определяется с использо-
кр
: p = p′, H1: p′ > p.
0
Решение:
набл
0,12 0,08
4,65;
0,08 0, 92
1000
z−= =
⋅
22
xy
xy
nn
SS
−
zкр(a = 0,05) = 1,645 (гипотеза односторонняя);
> zкр, поэтому отвергаем Н0 и принимаем Н1.
z
набл
Рис. 2.8. Расчет параметра zкр с использованием
соответствующей статистической функции Excel
(гипотеза односторонняя)
2.10. Сравнение двух средних больших выборок
Известно, что статистика
приблизительно нормальным распределением генеральной
совокупности n
Граница критической области z
нормированного нормального распределения.
Пример сравнения двух средних больших выборок
Исходные данные:
= 22,5; nx = 60; ny = 64; a = 0,05. Требуется проверить ну-
S
y
= 0 и s = 1.
0
=
z
набл
кр
–
x = 123,7; –y =135,2; Sx = 35,5;
96
xy
является
+
определяется из таблиц
левую гипотезу H0: –x = –y при конкурирующей гипотезе H1:
набл
22
123,7 135,2
2,1 6;
35,0 22, 5
60 64
z−= = −
+
( )
( )
набл
2
2
2
xy x y
xy
y
x
x
y
nn n n
xy
t
nn
nS
nS
+−
−
= ⋅
+
+
набл
256
1, 08;
237
F = =
–
x ≠ –y.
Решение:
zкр(a / 2 = 0,025) = 1,96 (гипотеза двусторонняя).
Так как |z
| > zкр, отвергаем Н0 и принимаем Н1.
набл
2.11. Сравнение двух средних значений
малыхвыборок
2.11.1. Случай равных дисперсий
Известно, что статистика
распределена согласно распределению Стьюдента с (nx + ny – 2)
степенями свободы.
Пример сравнения двух средних малых выборок в случае
равных дисперсий
Исходные данные:
= 9; ny = 9; a = 0,05. Требуется проверить нулевую гипоте-
n
x
: nx = ny при конкурирующей гипотезе H1: nx ≠ ny.
зу H
0
Решение:
–
x = 60,2; –y = 64,6; S
2
= 237; S
x
2
= 256;
y
Fкр(a = 0,05; nx = 9; ny = 9) = 3,18;
< Fкр = 3,18,
F
набл
97
следовательно, дисперсии однородны.
( ) ( )
набл
60,2 64,7 9 9 18 2
0,57;
99
9 237 9 256
t
− ⋅⋅ −
= ⋅=−
+
⋅ +⋅
( )
22
xy
xy
nn
SS
11
xy
nn
++
набл
22,4
6,26;
3,57
F = =
tкр(a / 2 = 0,025; f = 16) = 2,12.
Так как ∣t
∣ < tкр => принимаем Н0.
набл
2.11.2. Случай неравных (неопределенных) дисперсий
Известно, что при нормальном распределении случай-
xy
t
ных величин x и y статистика
набл
=
пределена в соответствии с распределением Стьюдента с
22
nn
+
SS
( )
xy
f
= −
S
( )
xy
2
2
n
x
x
+
2
2
n
S
( )
y
y
2
степенями свободы.
2
Пример сравнения двух средних малых выборок в случае
неравных дисперсий
Исходные данные:
= 10; ny = 10; a = 0,05. Требуется проверить нулевую гипо-
n
x
тезу H
: nx = ny; H1: nx ≠ ny.
0
–
x = 19,3; –y = 19,8; S
Решение:
−
+
2
= 3,57; S
x
рас-
2
= 22,4;
y
Fкр(a = 0,05; nx = 9; ny = 9) = 3,18;
6,26 > 3,18,
2
2
> s
следовательно, s
y
.
x
98
( )
набл
19,3 19, 8
0, 31;
3,57 22, 4
10 10
t−= = −
+
2
22
3,57 22, 4
10 10
2 14,45 2 12,45;
3,57 22, 4
10 10
11 11
f
+
= −= −=
+
tкр(a / 2 ≥ 0,025; f = 12,45) = 2,18 (рис. 2.9).
Так как |t
Рис. 2.9. Расчет параметра tкр с использованием
соответствующей статистической функции Excel
| < tкр => принимаем Н0.
набл
99
2.12. Проверка гипотезы онормальном
( )
2
4,695.
1
i
x
xx
S
n
−
= =
−
∑
( )
,
ii
x
nh
nu
S
= j
;
i
i
x
xx
u
S
−
=
( )
2
2
1
.
2
u
i
ue
−
j=
p
( ) ( )
200 2
85,2 .
4,695
i ii
n uu
⋅
= j= j
распределении генеральной совокупности
покритерию c
Пример 1
Исходные данные: n = 200;
x
∧
n
ления генеральной совокупности X.
в каждом интервале, учитывая, что n = 200; h = x
n
i
= 4,965.
S
x
5 7 9 11 13 15 17 19 21
i
15 26 25 30 26 21 24 20 13
i
Требуется проверить гипотезу о нормальности распреде-
Решение.
–
x =12,63;
1.
2. Вычислим теоретические оценки для количества точек
2
– xi = 2;
i+1
где
Далее имеем
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]