Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
6.4. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 71
Рис. 6.1. Энергия как функция от импульса p (a) для свободных частиц; (b) для
частиц, энергия которых ∼|p|
6.4. Сверхтекучесть
В этой главе мы рассмотрим наиболее простое доказательство явления
сверхтекучести, предложенное Ландау [1]. Представим течение жидкости
по трубке со скоростью u при нулевой температуре. Относительно движущейся системы координат, находящейся в жидкости, стенки движутся
со скоростью −u, и, если есть вязкость, вблизи стенок трубки жидкость
должна течь с некоторой скоростью v, находящейся в пределах от 0 до −u,
поэтому энергия жидкости возрастает. В случае если это невозможно, жидкость будет течь без трения, что будет являться примером явления сверхтекучести. Увеличение энергии жидкости может произойти только при передаче некоторой энергии жидкости от стенок. В соответствии с квантовой
механикой, энергия может передаваться в виде квазичастиц с энергией
и импульсом p. В исходной системе координат энергия, передаваемая стенками, равна + p ·v, при этом передача энергии будет предпочтительна, если
эта величина будет отрицательной: + p ·v < 0. Левая сторона неравенства
принимает минимальное значение, когда p и v направлены в разные стороны, тогда данное условие можно переписать следующим образом: v>/p.
Поскольку только при выполнении этого условия возможна передача энергии, возникает важный вопрос — каково минимальное значение, которое
принимает отношение /p. На рисунке 6.1 показаны два возможных случая. Для свободной частицы = p
принимает минимальное значение (при p =0), равное 0. Таким образом,
передача энергии всегда возможна, и при движении жидкости всегда происходит трение. Тем не менее в системах, в которых ∼|p| (например,
для фононов в твердых телах), минимальное значение d/dp равно c
установлено [21], что в жидком гелии коллективные возбуждения удовлетворяют закону дисперсии ∼ c
течение жидкости может проходить без трения, то есть обладать сверхтеку-
2
/(2m), следовательно, отношение /p
.Было
0
|p|, поэтому, если скорость меньше c0,
0
72 ГЛАВА 6
честью. Полученные выводы справедливы при нулевой температуре. Уже
при конечных температурах T ниже T
однако новые возбуждения не возникнут при скоростях ниже c
при температурах 0 <T <T
c
жидкости и сверхтекучей жидкости. Такая особенность впервые была обнаружена в 1937 году в жидком гелии He
существуют тепловые возбуждения,
c
.Поэтому
0
гелий He4обладает свойствами обычной
4
, для которого c0равно 60 см/с,
теоретическое объяснение этого явления сделал Ландау.
6.5. Конденсация Бозе– Эйнштейна для атомов
Более пятидесяти лет жидкий гелий считался единственной «квантовой» сверхтекучей жидкостью. Совсем недавно стало понятно, что этот
эффект проявляется в принципе и в атомах, которые тяжелее атомов гелия, когда согласно условию (6.19) достигается температура значительно
ниже, чем 2.2 К — температуры образования конденсата Бозе – Эйнштейна
для атомов гелия. Действительный прорыв в экспериментальной физике
низких температур произошел с 1980 по 1990 годы, когда исследователям
удалось достичь невероятно низких температур — несколько сот нК, которые на несколько сот миллиардных градуса отличаются от абсолютного
нуля! (Необходимо заметить, что самая низкая температура в природе составляет всего 3К, ее причиной является остаточное излучение «большого
взрыва».) При обсуждаемых ультранизких температурах атомы практически
останавливаются — скорость их равна нескольким сантиметрам в секунду.
Такое открытие особенно впечатляет, если учесть, что невозможно контролировать поведение нейтральных атомов с помощью электрических или
магнитных полей, как это обычно делается с заряженными частицами. Замедление атомов было достигнуто с помощью магнитооптических фильтров
посредством охлаждения тремя взаимно ортогональными лазерными лучами и испарительного охлаждения под действием негомогенного магнитного
поля [22]. Не случаен тот факт, что Нобелевская премия 1997 года «за развитие методов охлаждения и задерживания атомов с помощью лазерного излучения» в 2001 году стала звучать как «за достижения в области конденсации Бозе – Эйнштейна разреж¨енных газов щелочных атомов» . . . Конденсат
Бозе – Эйнштейна — это набор атомов, находящихся в одинаковом микроскопическом квантовом состоянии и описываемых одной и той же волновой
функцией. Волновую функцию «суператома» можно не только исследовать,
но даже сфотографировать! В данном направлении работали многие группы экспериментаторов и конденсаты Бозе– Эйнштейна были обнаружены
в рубидии, калии, литии, цезии и спин-поляризованном водороде. Уже во
6.6. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 73
время первых экспериментов с рубидием существование конденсата подтверждалось результатами измерений распределения скоростей атомов, когда характер распределения скоростей по достижении температур фазового
превращения менялся от распределения Максвелла, свойственного классическим газам, до узкой кривой распределения по скоростям вблизи нуля.
Дополнительные эксперименты включали в себя явление резонанса между конденсатам и наблюдением реш¨етки квантованных вихрей во вращающемся конденсате. Конденсат Бозе– Эйнштейна представляет собой новое
состояние материи, его изучение имеет большое значение для получения
более полного теоретического представления о том, как на макроскопическом уровне действуют квантовые законы, особенно на уровне мезоскопии.
Среди возможных способов применения конденсата Бозе– Эйнштейна могут быть атомные лазеры, а также всевозможные области нанотехнологий.
Эта область науки стремительно развивается и меняется, поэтому заинтересованным читателям мы рекомендуем обратиться к научной периодике.
Данная тема доступно изложена в Scientific American articles [23] и Нобелевских лекциях Корнеля и Виемана [24].
6.6. Сверхпроводимость
Теории сверхпроводимости при низких температурах и связанные с ней
эксперименты представляют собой весьма объемный круг вопросов, и мы не
будем пытаться привести их полностью. Поскольку фазовое превращение из
нормального состояния в состояние сверхпроводимости имеет большое теоретическое и практическое значение, мы не могли не обсудить это явление.
Мы предлагаем краткое описание главных фактов, обнаруженных в результате экспериментов, а также теории БКШ (Бардина– Купера– Шриффера),
касающейся сверхпроводников. Этого достаточно для того, чтобы уяснить
специфические особенности фазовых превращений при сверхпроводимости. Затем мы рассмотрим также основные характеристики высокотемпературных сверхпроводников.
Явление сверхпроводимости заключается в течении электрических токов в материале без какого-либо сопротивления, в некотором смысле это
частный случай сверхтекучести, когда электроны (частицы Ферми) создают так называемую бозонную «жидкость». Сверхпроводимость впервые
наблюдал Камерлинг-Оннес в 1911 году, вскоре после того, как ученому
удалось получить жидкий гелий и соответственно экспериментально достичь очень низких температур. Вначале он ожидал, что его эксперименты
подтвердят предположение Кельвина, который в то время был ведущим
74 ГЛАВА 6
ученым в этой области, о том, что при очень низких температурах электроны будут концентрироваться вблизи ионов, вследствие чего проводимость
будет стремиться к нулю [25]. Однако в противоположность этому Камерлинг-Онесс обнаружил, что при температуре жидкого гелия электрическое
сопротивление ртути резко падает до нуля (и остается на этом уровне при
дальнейшем снижении температуры). Среди других важных свойств материалов обладающих сверхпроводимостью, отметим следующие:
1) Магнитные поля выталкиваются из сверхпроводников первого рода,
это явление известно как «эффект Мейснер». В сверхпроводниках второго
рода в магнитных полях одновременно могут существовать обычное состояние и состояние сверхпроводимости (к этой категории относятся все высокотемпературные сверхпроводники, открытые на сегодняшний момент).
2) Хотя сверхпроводимость связана с движением электронов, существует изотопический эффект, состоящий в том, что для различных изото-
пов критическая температура T
пропорциональна 1/√M,гдеM — масса
c
изотопа.
3) Сверхпроводимость может разрушиться под действием достаточно
сильного магнитного поля или электрического тока.
Стандартное теоретическое объяснение сверхпроводимости основано
на теории БКШ. Основная идея данной теории заключается в том, что
в сверхпроводящем состоянии возникает дополнительная сила притяжения
между парами электронов в противовес электростатическому отталкиванию. Эта дополнительная сила связана с движением атомов в твердом теле, и притяжение между электронами можно сравнить с качением шара
по поверхности барабана: поверхность продавливается, и расположенные
рядом шары смещаются к месту деформации. Наиболее важное свойство
куперовских пар электронов заключается в том, что они обладают целым
спином, являясь бозе-частицами, как мы обсуждали ранее, для таких частиц
имеет место конденсация Бозе – Эйнштейна и сверхтекучесть. В металлах
куперовские пары образуют те электроны, которые находятся в состояниях,
близких к поверхности Ферми, и соответственно имеют энергию, близкую к энергии Ферми
. Поскольку для куперовских пар на поверхности
F
Ферми минимальное значение отношения d/dp не обращается в ноль, то
«бозонный» газ куперовских пар будет обладать сверхтекучестью, что для
заряженных частиц обозначает сверхпроводимость.
Попробуем разобраться в происхождение куперовских пар электронов.
Для этого воспользуемся работой Купера, изложенной на двух страницах
статьи (откуда и берет начало название куперовская пара), опубликованной в 1956 году [26]. Возьмем волновую функцию ψ(r
, r2) пары электро-
1
нов и предположим, что она зависит только от расстояния между частица-
6.6. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 75
ми, ψ = ψ(r1− r2), как и потенциал также зависит только от этого расстояния. Уравнение Шредингера для ψ(r
, r2) можно записать следующим
1
образом:
2
2
−
(∇
2m
2
+ ∇
)ψ + V (r1− r2)ψ =(E +2F)ψ, (6.20)
1
2
где E — энергия пары электронов, отсчитанная от энергии Ферми; для
образования пары электронов необходимо, чтобы эта энергия была отрицательной. Воспользуемся преобразованием Фурье для данного уравнения:
ψ(r
, r2)=
1
gKexpiK · (r1− r2), (6.21)
K
где один электрон в паре имеет импульс K, второй −K. Подставив формулу (6.21) в (6.20), получим:
2K2
m
g
+
K
V
K−K
K
g
=(E +2F)gK. (6.22)
K
Пусть потенциал будет устроен следующим образом:
V
для остальных случаев V
= −V0при F<K,
K−K
K−K
равен нулю, где ωD— дебаевская часто-
та фононов в металле, которая пропорциональна 1/
<F+ ωD, (6.23)
K
√
M. Такой потенциал
удобно использовать при описании фононов, возникающих как следствие
взаимодействия между парами электронов внутри сферического слоя вблизи поверхности Ферми. Для понимания сверхпроводимости отклонения обсуждаемого потенциала от (6.23) не имеют значения. Из уравнений (6.22)
и (6.23) следует, что
g
=
K
2K2
V
m
g
0
K
K
− E − 2
. (6.24)
F
Суммируя по K обе стороны уравнения (6.24), получим
1=
K
2K2
m
V
0
− E − 2
. (6.25)
F
При переходе от суммирования по K к интегрированию по сферическому
слою, где V
не равно нулю, сделаем замену переменной интегрирования
0
76 ГЛАВА 6
от K к
2K2
−
ξ =
2m
,
F
врезультатеполучим
ω
D
V
n(ξ)dξ
0
2ξ −E
0
=1, (6.26)
где n(ξ) — плотность состояний электронов в сферическом слое, которую
в силу малости слоя по сравнению с размером поверхности Ферми можно
положить равной плотности состояний n(
− E
2ω
D
ln
− E
или
Поскольку величина V
E exp
мала, а n(F) конечна, предположим, что
0
2
V0n(F)
exp
2
V0n(F)
Витоге
E ≈−2ω
exp−
D
) на уровне Ферми. Отсюда
F
2
=
V0n(F)
= E − 2ω
. (6.27)
D
1.
2
V0n(F)
< 0, (6.28)
и мы доказали, что для двух электронов находиться в паре энергетически
более выгодно.
Теперь рассмотрим другие следствия формулы Купера (6.28).
а) Во-первых, отметим, что энергия E, связывающая пару электронов,
пропорциональна ω
что kT
на 1/
∼|E|, то критическая температура Tcтакже будет пропорциональ-
c
√
M, то есть мы получили изотопический эффект.
b) Во-вторых, отметим, что V
сочетании:
и, следовательно 1/√M; поскольку мы предполагаем,
D
входит в формулу Купера в следующем
0
%
exp$−
2
V0n(F)
,
6.7. ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ СВЕРХПРОВОДНИКИ 77
существенно особая точка возникает при V0=0.Поэтому,хотяV0мало,
формулу (6.8) нельзя получить из теории возмущений, в которой используются степенные ряды по V
.
0
c) В-третьих, для того чтобы разрушить связь в куперовской паре (так
чтобы электроны стали свободными и вместо сверхпроводимости возникла
нормальная проводимость), необходимо сообщить электронам энергию порядка |E| путем либо увеличения температуры выше T
, либо воздействием
c
электрического тока.
d) В-четвертых, в основе теории лежит предположение, что электронные пары возникают на уровне Ферми, поэтому соответствующая плотность
состояний, равная n(
), не равна нулю, при обращении плотности состо-
F
яний в ноль куперовская пара разрушается.
e) Наконец, возникает естественный вопрос — почему электростатическое отталкивание не разрушает куперовские пары? Оставив этот вопрос
за микроскопической теорией [21], скажем лишь, что качественный ответ
заключается в том, что размер куперовской пары весьма большой, в результате электростатическое отталкивание мало. Для того чтобы оценить
размер a куперовской пары, воспользуемся принципом неопредел¨енности
Гейзенберга и запишем:
hp
a ≈
δp
h
F
F
≈
mδ
Поскольку в электронном газе 1/k
hp
F
≈
mω
F
F
≈
D
имеет порядок расстояния между ато-
h
F
p
F
ω
1
k
D
F
. (6.29)
мами, электроны в паре находятся далеко друг от друга по сравнению с межатомным расстоянием. Это объясняет, почему взаимное электростатическое
отталкивание между парой электронов мало.
6.7. Высокотемпературные сверхпроводники
С момента открытия высокотемпературных сверхпроводников на эту
тему было написано множество научных статей. Тем не менее не представляется возможным в данной книге перечислить даже основные методики исследований, которые постоянно меняются, поэтому мы ограничимся
лишь очень общей картиной, перечислив некоторые сравнительно новые
результаты исследований.
В течение более семидесяти лет после открытия явления сверхпроводимости это явление было обнаружено в сотне чистых веществ, бинарных
сплавов и более сложных веществах. В некоторых из них, таких как MoC,
где ни один из компонентов не является сверхпроводником, обнаружение
78 ГЛАВА 6
сверхпроводимости было весьма неожиданным. Все же применение этих
веществ было ограничено вследствие малой величины критических токов
(большие токи порождают большие магнитные поля, разрушающие сверхпроводимость) и низких критических температур. Самая высокая критическая температура была обнаружена в веществе Nb
Ge, она равна 23.1К;
3
эта температура лишь незначительно выше температуры кипения жидкого
водорода (20.3 K при давлении в 1атмосферу). Среди ограниченного числа
применений низкотемпературных сверхпроводников в большинстве случаев
интерес представляет магнитно-резонансная томография, в которой сверхпроводники используются в качестве источников сильных магнитных полей
для получения изображений органов человека подобно получению изображений костей с помощью рентгена.
Новая эра была отмечена открытием высокотемпературных сверхпроводников в 1986 году, когда ученые Бернорц и Мюллер [27] обнаружили
вещество с критической температурой, равной 35К. Фактически в следующем году они получили Нобелевскую премию за свое открытие, вслед
за которым многие лаборатории начали активно исследовать различные
стороны этого явления и искать вещества, температуры фазового превращения которых были бы еще выше. В настоящее время температуры порядка 90К обнаруживаются регулярно. Одно важное преимущество таких
высоких критических температур заключается в том, что их легко получить, используя сжиженный азот при 77 К. Это гораздо дешевле получения
сжиженного гелия, который было необходимо использовать ранее, чтобы
получить сверхпроводимость. Помимо больших температур фазового превращения, высокотемпературные сверхпроводники имеют высокие величины критических токов, что очень важно для их применения. Типичные
представители высокотемпературных сверхпроводников (которые на профессиональном жаргоне звучат как «bisko» от BISKO или «ibco» от YBCO)
имеют структуру типа перовскита с медью Cu и кислородом O, расположенным в разделенных параллельных плоскостях куприта, и таких атомов, как
иттрий Y, висмут В, стронций S, лантан La или кальций Ca, которые размещаются между этими плоскостями. Вместе с тем недостаток этих веществ
заключается в том, что это керамический материал, из него трудно сделать провода, необходимые в большинстве областей применения. В связи
с этим активно продолжается поиск новых высокотемпературных сверхпроводников не только с высокими температурами и сильными полями,
но и с лучшей обрабатываемостью и/или низкой себестоимостью. Недавно
(апрель 2003 г.) был найден диборид магния MgB
, температура фазового
2
превращения которого равна 39 К, неожиданно большая для такого типа веществ. Несмотря на то что эта температура ниже температуры сжижения
6.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 79
азота, используя это открытие, можно получить подобные вещества с более
высокими температурами. Поэтому в марте 2003 года веществу MgB
2
была
посвящена большая статья в издании Physics Today, а также специальное издание научного журнала [28] и научная конференция в Кембридже в апреле
2003 года. Несмотря на то что керамическая структура стандартных высокотемпературных сверхпроводников достаточно хрупкая и накладывает
ограничения на их применение, в Washington Post объявили о том, что компанией American Superconductor Co. был проведен электрический кабель
длиной 1200 футов в туннеле недалеко от Детройта, который поставляет
электрическую энергию для 14000 клиентов. Эта же компания поставила
18 миль сверхпроводникового провода в компанию Pirelli Co. Мы находимся на пороге эры высокоскоростных поездов, созданных на магнитной
подушке, и линий электрических передач без потерь энергии . . .
Открытие высокотемпературных сверхпроводников породило множество теоретических вопросов, наиболее важный из которых — можно ли их
описать с помощью конденсата Бозе – Эйнштейна, который с успехом используется при описании низкотемпературных сверхпроводников. Имеются
подходы, рассматривающие куперовские пары, как если бы они обладали
d-волновой симметрией вместо сферической симметрии s-волн, имели бы
двойную запрещ¨енную зону (например, MgB
) вместо простой запрещен-
2
ной зоны, рассмотренную в предыдущем разделе, имели бы специальные
«полосы» между атомами и т. д. Для изучения большого множества научных
публикаций мы предлагаем в первую очередь изучить доступно изложенную
статью в Contemporary Physics [29] и различные монографии, специально
посвященные теме высокотемпературных сверхпроводников.
6.8. Заключение
Обменное взаимодействие частиц Ферми, которое связано со свойствами симметрии, отвечает за упорядочивание спинов в ферромагнитные
структуры, для которых можно воспользоваться гамильтонианом Гейзенберга. Статистические свойства бозе-частиц обуславливает явление конденсации Бозе – Эйнштейна, при котором частицы сосредоточиваются в состоянии с нулевой энергией. Сверхтекучесть (невязкое течение) — это пример проявления конденсации Бозе– Эйнштейна на макроуровне. Связано со
сверхтекучестью и явление сверхпроводимости, когда электроны объединяются в заряженные бозонные пары и также движутся без трения, другими
словами, без сопротивления. Новые исследования в данной области связаны с открытием конденсата атомов Бозе – Эйнштейна и сверхпроводимости
при высоких температурах.
ГЛАВА 7
Универсальность
В предыдущих главах мы убедились, что различным моделям фазовых
превращений, таким как модель среднего поля, двумерная и трехмерная
модели Изинга, соответствуют разные наборы критических индексов, характеризующих фазовые превращения. Обычно фазовые превращения классифицируют на основании наборов критических индексов, к одному классу универсальности относят фазовые превращения с одинаковым набором
критических индексов. Термин «универсальность» используется для характеристики совершенно различных систем, принадлежащих одному классу
универсальности.
7.1. Ферромагнетик Гейзенберга и сопутствующие модели
Как мы убедились в предыдущей главе, обменное взаимодействие между электронами приводит к квантовому гамильтониану Гейзенберга
&
H = −J
si· sj, (7.1)
(i,j)
и соответствующая статистическая сумма равна
%
&
Z = Tr$exp−
Поскольку непосредственно вблизи фазового превращения длина корреляции ξ велика, будем пренебрегать квантовыми эффектами и заменим кван-
товый оператор&H на классический гамильтониан модели Гейзенберга
H = −J
H
.
kT
Si· Sj. (7.2)
(i,j)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]