Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
3.1. ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ПОЛЯ ЛАНДАУ 31
системы и количества ближайших соседних узлов в окрестности каждого
узла значение отклонений уменьшается. Таким образом, для системы со
сравнительно большой размерностью отклонениями спинов можно пренебречь. Как будет показано далее, для модели Изинга «сравнительно большая
размерность» относится к размерности выше четырех. Это объясняет с физической точки зрения, почему для каждой системы существует некоторая
критическая размерность, выше которой справедливо приближение среднего поля.
3.1. Теория среднего поля Ландау
Рассмотрим термодинамический подход к теории среднего поля Ландау. Он предложил [1] ввести дополнительный параметр η, названный параметром порядка, в качестве отличительного признака фазы системы. Таким образом, энергия Гиббса G будет функцией трех переменных G =
= G(P,T, η),гдеη =0в неупорядоченном состоянии при высоких температурах T>T
Так как энергия Гиббса системы в состоянии равновесия определяется однозначно через P и T ,тоη должен быть функцией этих двух параметров:
η = η(P, T ). Первым предположением Ландау было то, что параметр η
можно определить из естественных условий минимальности энергии Гиббса ∂G/∂η =0и ∂
фазовом превращении η =0. Поэтому он предположил, что в точке, близкой
к фазовому превращению, G можно разложить в виде ряда по степеням η:
,иη =0в упорядоченном состоянии при температуре T<Tc.
c
2
G/∂η2> 0. Вторым его предположением было, что при
G(P, T , η)=G
(P, T)+αη + Aη2+ βη3+ Bη4+ ..., (3.5)
0
где все коэффициенты являются функциями от P и T . В магнитной системе, в которой вектор магнитного момента является параметром порядка,
невозможно получить скалярную величину из параметра порядка в третьей
степени η
3
,поэтомуβ =0. Кстати, в различных системах параметры поряд-
ка могут иметь разное количество составляющих. Например, при фазовом
превращении жидкости в газ в роли параметра упорядочения выступает
разница плотностей двух фаз, являющаяся скалярной величиной. В случае
сверхтекучести и сверхпроводимости это волновая функция ψ,имеющая
две составляющие — действительную и мнимую. В случае анизотропного
гейзенберговского ферромагнетика три составляющих параметра порядка
определяют вектор намагниченности M .
Теперь сосредоточим наше внимание на системах, в которых η имеет
только одну компоненту. Для таких систем в точке, близкой к фазовому пре-
32 ГЛАВА 3
вращению, энергия Гиббса может быть представлена следующим образом:
G(P, T , η)=G
(P, T)+Aη2+ Bη4. (3.6)
0
Для простоты выберем систему, давление в которой постоянно и равно критическому P = P
гда для произвольного значения η из условия ∂G/∂η =0следует, что 2Aη +
3
+ Bη
=0,поэтомуη =0при T>Tc. Еще одно решение уравнения η2=
= −A/(2B) существует при T<T
следует, что A>0 при T>T
. Поэтому давление P из уравнения можно исключить. То-
c
. Из второго условия ∂2G/∂η2> 0
c
и A<0 при T<Tc.ОтсюдаA(Tc)=0.
c
Простейшее решение для A, отвечающее заданным условиям, имеет следующий вид: A = α(T − T
равен
),гдеα>0. В этом случае параметр порядка
c
η ∼
Tc− T (3.7)
и энергия Гиббса
G(T,η)=G
Здесь коэффициент B при η
(T )+α(T − Tc)η2+ Bη4. (3.8)
0
4
необходим, так как член, содержащий η2,
при критической температуре обращается в нуль, а зависимостью B от
температуры можно пренебречь, так что B = B(T
c,Pc
).
Рассмотрим теперь следствия из соотношения (3.8) для энергии Гиббса.
Из формулы для энтропии
S = −
∂G
∂T
= S
(T ) − αη
0
2
следует, что
S = S
S = S
(T ),T>T
0
(T )+
0
α(T − T
)
c
,T<T
2B
,
c
(3.9)
.
c
Удельная теплоемкость C = T (∂S/∂T),поэтому
C = C
C = C
(T ),T<T
0
(T )+
0
В уравнениях (3.9) и (3.10) члены S
ной части энергии Гиббса G
(P, T). В результате из-за скачка удельной
0
,
c
2
α
T
c
,T<T
2B
(T ) и C0(T ) соответствуют регуляр-
0
.
c
(3.10)
3.2. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА В ТЕОРИИ ЛАНДАУ 33
теплоемкости при критической температуре график функции C(T ) имеет
λ-образную форму. По этой причине данное фазовое превращение известно
также под названием λ-переход.
Рассмотрим изотропную магнитную систему, для которой в качестве
параметра порядка возьмем намагниченность, учтем влияние на эту систему
внешнего магнитного поля H :
G(T,H,M)=G
Поскольку уже было определено, что A =0при T = T
чтобы выполнилось условие ∂G/∂M =0, отсюда при критической темпе-
ратуре M
3
= H/(4B),тоесть
M ∼ H
Магнитная восприимчивость χ = ∂M/∂H =1/(2A +12BM
подставив значения для M
2
1/χ =2α(T
1/χ =4α(T − T
+ AM2+ BM4− MH. (3.11)
0
,необходимо,
c
1/3
,T= Tc. (3.12)
2
),поэтому,
, получим для магнитной восприимчивости
− T ),T<Tc,
c
),T>Tc.
c
(3.13)
Из формулы (3.13) следует вывод, что магнитная восприимчивость обращается в бесконечность при T = T
.
c
До сих пор мы предполагали, что в уравнении (3.5) коэффициент β(P, T ) исключается из-за требования симметрии. Если это не выполнено, то все проведенные расчеты верны только при условии, что β(P
=0и A(P
)=0. Однако выполнение этих условий обозначает, что
c,Tc
c,Tc
)=
критическая точка — это изолированная точка в плоскости T − P ,чтоне
представляет особого интереса.
Следует отметить, что все зависимости термодинамических параметров от температуры, полученные из уравнений (3.7)–(3.13), не содержат
размерности пространства. Как мы увидим далее, это неверно. Но мы не
должны удивляться подобному результату, поскольку использованная нами теория среднего поля основывается на предположении аналитичности
используемых функций.
3.2. Фазовые превращения первого рода в теории Ландау
До сих пор мы рассматривали фазовые переходы, в которых параметр
порядка является непрерывной функцией температуры. Однако теория среднего поля Ландау распространяется также и на фазовые переходы первого
34 ГЛАВА 3
рода, в которых происходит скачок параметра порядка. Существует два способа описания подобных фазовых превращений.
1. Введение члена третьей степени в выражение Ландау (3.8):
G = G
+ α(T − Tc)η2+ Cη3+ Bη4. (3.14)
0
Предположим, что минимум функции G, зависящей от η,существует,то
есть ∂G/∂η =0,тогдаполучим:
2
η
=0,η2= −
1
3C
8B
3C
±
8B
Допустим, что существует некоторая температура T
G(η
)=G(η2,T0). (3.16)
1,T0
α(T − T
−
0
Когда температура системы достигает указанной температуры T
ходит скачок параметра упорядочения от η
к η2(разрыв функции), что
1
)
c
. (3.15)
2B
, для которой
, проис-
0
является признаком фазового превращения первого рода.
2. Возникновение фазового превращения первого рода в случае отрицательных значений коэффициента B в выражении Ландау (3.8). В этом
случае, для существования минимума функции G(η), в выражение для G
требуется ввести член шестой степени:
G = G
+ α(T − Tc)η2−|B|η4+ Dη6. (3.17)
0
Из условий существования минимума функции (3.17) следует, что
=0,η2=
η
1
√
1
3D
|B| +
B2− 3αD(T − Tc)
1/2
. (3.18)
Придерживаясь тех же предположений, что и в уравнении (3.16), мы придем
к выводу, что и в этом случае возникает фазовое превращение первого рода.
3.3. Уточнение теории Ландау, позволяющее учесть
флуктуации
Как было выяснено ранее в начале этой главе, отличие результатов,
полученных с использованием теории среднего поля и точных результатов,
обусловлено флуктуациями. Попытаемся обобщить теорию, чтобы флуктуации в ней были учтены. Для этого, во-первых, будем придерживаться
3.3. УТОЧНЕНИЕ ТЕОРИИ ЛАНДАУ, ПОЗВОЛЯЮЩЕЕ УЧЕСТЬ ФЛУКТУАЦИИ 35
так называемого гидродинамического подхода, в котором необходимо заменить дискретную кристаллическую решетку сплошной средой. В этой
связи энергия Гиббса G и параметр порядка M (в случае ферромагнетизма)
становятся локальными функциями координаты r: G = G(r), M = M (r).
Полную энергию Гиббса и магнитный момент системы будем находить интегрированием по пространству, имеющему размерность d.
Для неоднородной системы энергия Гиббса будет включать не только
термодинамические переменные, но и их пространственные производные.
Допустим, что неоднородности невелики, тогда можно оставить только простой градиентный член (∇M )
2
и пренебречь остальными производными
в выражении для локальной энергии Гиббса. Нет необходимости умножать
данный член на постоянную, так как можно выбрать такой масштаб, что эта
постоянная будет равна единице. Самая простая возможная форма плотности энергии Гиббса G(r) имеет вид:
G(r)=G
+ AM2+ BM4+(∇M )2. (3.19)
0
Вероятность по Больцману полевой (для намагниченности) флуктуации
всистемеP (M ) пропорциональна exp[−(G −G
P (M ) ∼ exp−dτ
AM
В этом выражении мы пренебрегли членом BM
)/kT ],поэтому
0
2
+(∇M )
kT
2
. (3.20)
4
, так как ограничиваемся
членами второго порядка по флуктуациям намагниченности.
Чтобы вычислить интеграл (3.20), удобно использовать преобразование
Фурье для функции M (r):
M(r)=M
exp(iK · r)ddK. (3.21)
K
Введем функцию радиального распределения g(r) от M(r), которая определяется коэффициентами M
g(r)=M(R)M (R + r)dR =M
[1] и равна:
K
2
exp(iK · r)ddK. (3.22)
K
В соответствии с распределением Гаусса (3.20) вероятность флуктуации,
определяемая коэффициентами Фурье M
2)M2
kT
P {M
}∼exp−
K
(A + K
K
K
≡ exp−
,равна
M
2M
2
K
, (3.23)
2
K
36 ГЛАВА 3
где M
2
= kT/[2(A + K2)]. Подставив это выражение в (3.22), получим
K
g(r)=
kT exp(iK · r)
2(A + K2)
d
K. (3.24)
d
Из интегрирования (3.24) в комплексной плоскости и теоремы о вычетах
следует, что в трехмерном пространстве
exp−r
g(r) ∼
√
A
r
, (3.25)
поэтому длина корреляции равна:
1
ξ =
√
∼ (T −T
A
В критической точке A =0при T = T
g(r) ∼
−1/2
)
. (3.26)
c
, корреляционная функция
c
1
. (3.27)
r
3.4. Критические индексы
В теории фазовых переходов важное место уделяется характеру поведения свойств системы в окрестности критической точки. Для дифференцируемой функции, такой как a ∼|T − T
критической температуре, это поведение определяется показателем степени x, называемым критическим индексом. Если x =0,токритический
индекс может быть найден как x =ln(a)/ ln |T − T
возможны два случая. В первом случае a в критической точке становится
постоянной, но принимает различные значения на двух участках графика
при фазовом превращении, сама критическая точка является точкой разрыва функции. В другом случае a представляет собой логарифмическую
особую точку, a ∼ ln |T − T
|. Показатели степеней зависимостей тер-
c
модинамических свойств системы вблизи критической точки называются
критическими индексами. В таблице 4.1 следующей главы будут представлены критические индексы и их значения, соответствующие результатам
расчетов для модели среднего поля, а также для некоторых других моделей.
|x, имеющей особую точку при
c
|.Еслиx =0,то
c
3.5. КРИТЕРИЙ ГИНЗБУРГА 37
3.5. Критерий Гинзбурга
Поскольку различие между точными результатами и результатами применения среднего поля объясняются флуктуациями параметра порядка, то
следует ожидать, что при относительно небольших флуктуациях приближение среднего поля может дать достаточно точные результаты. Гинзбург [11]
предложил применять теорию среднего поля в тех случаях, когда флуктуации термодинамических величин малы по сравнению с самими величинами. Данный критерий выполняется при условии, которое можно вывести
интегрированием в K-пространстве, используя соотношение (3.23) и предположение о том, что M
Предположив, что зависимостью интеграла от его верхнего предела можно
пренебречь, и сделав подстановку y = K
Следовательно, A
ности критической точки, приближение среднего поля справедливо, если d>4, то есть верхняя предельная критическая размерность равна 4.
При d =4результаты теории среднего поля нуждаются в логарифмической
коррекции.
Хотя все предыдущие предположения были относительно простыми
и достаточно грубыми, они все же позволяют нам получить полезные сведения. Если в неравенство (3.28) подставить значения коэффициентов, соответствующих разным типам фазовых превращений, можно качественно
оценить область вблизи критической точки, в которой справедлива теория
среднего поля. Оказывается, для фазового превращения воды в пар теория среднего поля может применяться при температуре, которая составляет
10% от критической. А для явления сверхпроводимости данная теория дает хорошие результаты в любой окрестности критической точки, которую
можно достичь экспериментально. Последнее связано с большой длиной
корреляции в низкотемпературных сверхпроводниках.
2
∼ A:
K
max
0
kT
d−1
K
A + K
dK < |A|. (3.28)
2
√
A,получим:
d/2
(A
/A)f(y) dy A.
d/2
A2. Отсюда, так как коэффициент A мал в окрест-
3.6. -разложение Вильсона
До сих пор мы предполагали, что локальное значение поля η(r) совпадает со значениями параметра порядка на узлах решетки, расположенных
38 ГЛАВА 3
на расстоянии a друг от друга. По этой причине в предыдущем анализе мы использовали интегрирование, а не суммирование. Подобное грубое
упрощение не приводит к существенным отклонениям в гидродинамическом приближении, где a является единственной характерной длиной при
условии, что термодинамические функции мало изменяются на масштабе a.
Однако, как было отмечено Вильсоном [12], данное упрощение вызывает
трудности в теории фазовых превращений, поскольку в окрестности критической точки возникает дополнительный характерный масштаб — длина
корреляции ξ. Отсюда принятое упрощение для r>aоправдывается только
в случае выполнения дополнительного условия r<ξ, поэтому требуется
одновременно выполнить оба условия, образующие интервал a<r<ξ.
Значимость этого диапазона велика в критической точке, где ξ стремится
кбесконечности.
Для решения этой задачи Вильсон предложил, в отличие от гидродинамического подхода, ввести зависимости коэффициентов A и B в уравнении (3.19) от размеров области L, по которой, согласно принятому упрощению, производится интегрирование. Чтобы определить эти зависимости,
рассмотрим, каким образом меняется энергия Гиббса при переходе от области размером L,причемa<L<ξ, к области размером L +ΔL.Дляэтого
будем использовать метод сравнения энергий Гиббса в двух обозначенных
областях, который лежит в основе принципа ренорм-групп. Подробнее этот
принцип будет рассмотрен в главе 5.
Предположим, что величина ΔL настолько мала, что она дополняет систему только одним состоянием. Соответственно в координатном и K -пространстве [1] справедливо условие V 4πK
ку K ∼ 1/L и мы полагаем V =1,тоΔL ∼ L
энергии Гиббса G
в форме, предложенной Ландау (3.19):
L+ΔL
d−1
ΔK/(2π)3=1, или посколь-
d+1
. Запишем выражение для
2
G
L+ΔL
(M)=dτG0+ A
L+ΔL
M2+ B
L+ΔL
M4+(∇M )
(3.29)
и сравним его с выражением, полученным введением дополнительного члена mM
Смысл введения дополнительного члена mM
в выражение для GL,гдеm — масштабный множитель:
1
(M + mM1)=dτG0+ AL(M + mM1)2+
G
L
+ B
(M + mM1)4+[∇(M + mM1)]
L
понятен из определения ве-
1
2
. (3.30)
3.6. -РАЗЛОЖЕНИЕ ВИЛЬСОНА 39
роятности флуктуации по «Больцману»:
. (3.31)
exp−
G
L+ΔL
kT
∞
=
−∞
dm exp−
G
(M + mM1)
L
kT
Будем оставаться в рамках гауссового приближения, поэтому оставим
в уравнении (3.31) только члены, квадратичные по m. Для флуктуаций имеем:
M
(r)dr =0,
1
2
M
(r)dr =1. (3.32)
1
Для малого ΔL можно записать, что
A
L+ΔL
= AL+
dA
ΔL, B
dL
L+ΔL
= BL+
dB
ΔL. (3.33)
dL
Подставим соотношения (3.32) и (3.33) в (3.31), получим, что
dA
L
ΔLM
dL
Раскладывая логарифм в уравнении (3.34) в степенной ряд и сопоставив
коэффициенты при M
Так как ΔL ∼ L
dB
2
L
+
dL
d+1
,тодляпараметра ≡ 4 − d:
4
ΔLM
2
=const+ln(1+ALL2+6BLL2M2). (3.34)
и M4,получим:
dA
ΔL =3BL
dL
dB
ΔL = − 9B
dL
−/3
A ∼ L
2
− 3ABL4,
(3.35)
2L4
.
,B∼ L−. (3.36)
Уравнения (3.36) должны быть справедливы для a<L<ξ; подстав-
ляя в них L = ξ и используя (3.26) для ξ и A = a(T − T
что M ∼(T − T
)/T
c
β
и ξ ∼|T − Tc|/T
c
1
−
β =
2
61 −
6
,ν=
c
−ν
,где
21 −
1
. (3.37)
6
),получим,
c
Из данного соотношения можно найти значения критических индексов, которые были определены в предыдущем разделе и приведены в таблице 4.1.
40 ГЛАВА 3
Критические индексы можно разложить в степенной ряд по параметру ,
данный метод получил название -разложение Вильсона. Статья Вильсона «Явление критических точек в системах размерностью 3.99» [13] была
так названа не случайно. Если допустить вольность и приравнять «небольшую» величину к единице ( =1), получим, что для трехмерной системы
критические индексы равны β =0.3, ν =0.6.
Приближенные расчеты, приведенные выше, позволяют внести корректировку критических индексов, получаемых в приближении среднего
поля по параметру , и являются хорошим дополнением к принципу ренорм-групп, где применяется аналогичное преобразование для функций G
и G
L+ΔL
.
L
3.7. Заключение
Путем введения параметра порядка η и предположения, что вблизи
критической точки энергия Гиббса G может быть разложена в ряд по степеням η, мы получили наиболее простое феноменологическое описание
фазового превращения с использованием поля средних величин. Необходимость существования минимума функции G(η) позволяет нам найти кри-
тические индексы, определяющие характер изменения термодинамических
параметров вблизи критической точки. Сравнение теории среднего поля
Вейса и модели Изинга позволяет сделать вывод: в теории среднего поля
главное приближение заключается в пренебрежении флуктуациями. В соответствии с критерием Гинзбурга, данное приближение оправданно, если
размерность пространства больше четырех (выше критической размерности). Флуктуации в теории среднего поля можно учесть, если в энергию
Гиббса внести градиентные члены. Это позволяет найти зависимость длины
корреляции от температуры и определить вид функции корреляции в критической точке.
Другой способ, позволяющий уточнить теорию среднего поля, связан
с увеличением масштабов при приближении к критической точке. Данное
уточнение осуществляется путем введения пространственной зависимости
коэффициентов в формуле для G = G(η). В результате критические индексы становятся зависимыми от некоторого параметра =4− d, который
определяет расстояние до критической размерности d =4.Применяемое
-разложение является простейшим приближением теории ренорм-групп.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]