Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
7.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ВИХРЯМИ 91
где L — размер системы. С другой стороны, поскольку вихрь может появиться в любом месте системы, энтропия вихря равна
S = k ln
πL
πa
2
2
=2k ln
L
. (7.35)
a
Следовательно, если T>T
= πJ/(2k), свободная энергия F = E −
KT
− TS отрицательна, поэтому возникновение вихря энергетически обосно-
вано. Как мы увидим в следующем разделе, для температур T<T
KT
взаимодействие между вихрями приводит к образованию пар вихрь–антивихрь.
Впрочем, существует другой пример топологических нарушений, который хорошо известен. Это случай, когда в ферромагнитных материалах
возникают доменные границы, разделяющие области с различной намагниченностью. Число доменных границ увеличивается при повышении температуры до величины критической, и фазовый переход ферромагнетик–парамагнетик можно считать топологическим изменением, явившимся результатом распространения доменных границ.
7.6. Взаимодействие между вихрями
Рассмотрим в модели x–y взаимодействие между вихрями и то, как
они аннигилируют при температуре ниже температуры Костерлиц – Таулесса T
следующим образом:
Второй интеграл в соотношении (7.36) не равен нулю, если есть особенности в изолированных точках r = r
. Воспользуемся теоремой Стокса и перепишем уравнение (7.33)
KT
3
∇θ · dr =(∇×∇θ) · dS =2πn. (7.36)
внутри контура, когда
i
(∇×∇θ)=2πe
niδ(r − ri) ≡ 2πn(r), (7.37)
z
i
— единичный вектор, перпендикулярный плоскости x–y.Изэтихдвух
где e
z
уравнений следует, что
n(r) · dS = n. (7.38)
92 ГЛАВА 7
Обозначим через вектор v пространственный градиент ∇θ, v ≡∇θ.
Поскольку любой вектор v можно представить в виде суммы его продольной v
ипоперечнойvtчастей,
l
+ vt,
l
где ∇·v
=0и ∇×vl=0; предположив такое разложение v,будем
t
рассматривать только v
v = v
, для которого ∇×vt=2πn(r) и ∇·vt=0,
t
поэтому
∇×(∇×v
Решение этого уравнения будем искать с помощью функции Грина G(r−r
для оператора ∇
2
,тоесть
)=−∇2vt=2π∇×n(r). (7.39)
t
2
∇
G(r − r)=−δ(r − r), (7.40)
которая для двумерной системы определяется уравнением
|
. (7.41)
a
G(r − r
)=
2π
|r − r
1
ln
Решение уравнения (7.39) можно записать, используя стандартную формулу
для ∇×(Gn) и теорему Стокса в следующем виде:
(r)=−2πd2rG(r − r)∇×n(r)= −2πd2rn(r) ×∇G(r − r).
v
t
(7.42)
Энергию U системы вихрей определим подстановкой соотношения (7.42)
в формулу (7.22), в результате получим:
U =2π
2
Jdr drdr
∇G(r −r
) ×n(r)·∇G(r −r) ×n(r). (7.43)
)
Выполняя интегрирование по частям по переменной r и используя уравнения (7.40) и (7.41), получим:
|
n(r
a
)n(r). (7.44)
U = πJdr
dr
ln
|r − r
Это уравнение определяет энергию U взаимодействия двух вихрей, сравним ее с энергией E одного вихря (7.34). В то время как E положительна
7.7. ВИХРИ В СВЕРХТЕКУЧИХ ЖИДКОСТЯХ И СВЕРХПРОВОДНИКАХ 93
и расходится логарифмически с увеличением размера L системы, энергия U взаимодействия пары вихрь–антивихрь отрицательна. Таким образом, если единичные вихри и антивихри возникают при низких температурах T<T
температурах T>T
, они объединяются в пары. Как мы видели ранее, только при
KT
энергетически выгодно существование изолирован-
KT
ных вихрей. Не вдаваясь в дальнейшие рассуждения, отметим лишь [38]:
для топологического фазового превращения Костерлица – Таулесса длина
корреляции ξ всегда равна бесконечности при температуре выше T
температуры ниже T
определяется нетривиальным соотношением
KT
ξ ∼ expconst/
T − T
KT
.
KT
,для
Следует отметить аналогию свойств вихрей и двумерного кулоновского газа
с зарядами n и взаимодействиями между ними, описываемыми уравнением (7.44). Пользуясь терминологией электростатики, отметим, что превращение Костерлиц – Таулесса аналогично освобождению диполей с образованием отдельных зарядов (своего рода превращению диэлектрик–проводник).
7.7. Вихри в сверхтекучих жидкостях и сверхпроводниках
Имеется аналогия модели x–y со свойствами сверхтекучей жидкости
и сверхпроводником, для которых двумерный параметр порядка задает волновые функции конденсата Бозе – Эйнштейна и куперовских пар. В трехмерном сверхпроводнике под воздействием внешнего магнитного поля система фактически становится двумерной в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю. Открытие высокотемпературных сверхпроводников стимулировало интерес к теории вихрей, поскольку эти материалы являются
сверхпроводниками второго рода и в них магнитные поля порождают вихри.
Для получения более подробной информации читатель должен обратиться
к современной научной литературе. Для начала можно воспользоваться доступно изложенными статьями по теории вихрей в сверхтекучих жидкостях
и сверхпроводниках [39, 40].
7.8. Заключение
Классическую модель Изинга можно усложнить, добавив дополнительные взаимодействия между спинами, это приводит к существенным изменениям свойств модели и, в частности, к зависимости критических индексов от энергий взаимодействия (неуниверсальности). Сама по себе модель
94 ГЛАВА 7
Изинга — это частный случай более общей модели Гейзенберга, которая
в трехмерном случае позволяет вычислить фазовый переход и критические
индексы, отличающиеся от критических индексов модели Изинга. Другим
частным случаем модели Гейзенберга является модель x–y, неотъемлемой
частью которой являются вихри. Эта модель играет важную роль в современной теории сверхтекучихжидкостей и сверхпроводников. Еще две точно
решаемые модели — модель нормального распределения и сферическая модель, критические индексы сферической модели отличаются от индексов
остальных моделей. Тем не менее рассмотренные модели можно систематизировать, разбив их на несколько классов универсальности. Класс универсальности, к которому относится система, определяется по следующим
трем факторам:
1) Пространственная размерность d. В этом отношении самые малые
критические размерности, то есть минимальные размерности системы, при
которых может возникнуть фазовое превращение, равны двум для модели
Изинга и трем для модели Гейзенберга. Максимальная критическая размерность равна четырем. Для размерностей, равных четырем и выше, фазовые превращения хорошо описываются теорией среднего поля, состоящего
в собственном классе универсальности.
2) Размерность (количество компонент) D параметра порядка. Такая
размерность равна единице для модели Изинга и трем для модели Гейзенберга, поэтому в трехмерных системах эти две модели имеют различные
критические свойства.
3) Конечный или бесконечный радиус взаимодействия. В последнем
случае каждый объект взаимодействует со всеми другими объектами в системе и флуктуациями можно пренебречь (аналогичная ситуация возникает
в высокоразмерных системах), что сразу относит модель к классу универсальности среднего поля.
Все остальные факторы, которые определяют состояние системы (количество состояний в каждом узле, тип кристаллической решетки и т. д.),
не влияют на критические свойства.
ГЛАВА 8
Случайные системы и малые миры
Большинство систем, которые рассматривались в этой книге, имеют
упорядоченную пространственную конфигурацию и строго определенные
взаимодействия между ее составляющими. В этой главе мы рассмотрим эффекты неупорядоченности или случайности. Для начала возьмем в качестве
примера неупорядоченную систему, представляющую собой решетку, в узлах которой существует конечная вероятность возникновения связи между
соседними узлами. Хотя наличие или отсутствие связи является исключительно геометрическим свойством, не имеющим отношения к тепловым
флуктуациям, было обнаружено, что многие характеристики рассматриваемой системы, среди них разрыв связей и возникновение перколяций, критические индексы и применимость методов ренорм-групп, схожи с характеристиками фазовых переходов, поэтому в первую очередь мы рассмотрим
свойства этих систем. В действительности здесь формально можно, хотя это
не слишком наглядно, применить модель Поттса [36], упомянутую в главе 7,
для изучения перколяций связей. Мы будем рассматривать модель Изинга
со случайными взаимодействиями или произвольным исключением узлов,
а также спиновые стекла с конкурирующими взаимодействиями. В конце
мы рассмотрим системы «малых миров», в которых между случайно выбранными узлами количество дальних взаимодействий ограничено.
8.1. Перколяция связей
Концептуально простым примером случайной системы является решетка, между соседними узлами которой существуют связи и часть x этих
связей произвольно удаляется. В этой системе неупорядоченность, или случайность, единственным образом определяется параметром — частью x связей или узлов, которые были удалены, или частью p =1−x связей, которые
остались. Очевидно, что для x =0или p =1непрерывная сетка связей
покрывает всю систему полностью; ситуация не изменится, даже если x
незначительно увеличится, а p — уменьшится. С другой стороны, очевидно,
96 ГЛАВА 8
что при p =0сетки не существует и картина существенно не изменится
и при малых ненулевых значениях p. Поэтому разумно предположить, что
имеется некоторое критическое значение p
такое, при котором, для p<pc,
c
непрерывной бесконечной траектории, идущей через узлы по связям, не
существует, реализуются лишь отдельные изолированные кластеры из связанных узлов. В случае p>p
вающие систему. Критическое значение p
существуют бесконечные кластеры, покры-
c
известно как порог протекания,
c
это явление называется еще протеканием по связям, поскольку если представить, что связи — это поры в некотором материале, то существование
бесконечного кластера приводит к протеканию жидкости через этот материал. Экспериментально было установлено, что для трехмерной решетки
с координационным числом z [41, 42]
1.5
p
c
Для квадратной решетки можно доказать, что p
.
≈
z
=0.5.
c
Перколяционный переход — это своего рода геометрическое фазовое
превращение, в котором критическая концентрация p
нечных кластеров при p<p
и фазу бесконечных кластеров при p>pc.
c
разделяет фазу ко-
c
Это аналогично температурным фазовым превращениям, рассмотренным
в предыдущих главах, где концентрация связей p играет роль температуры.
Точно так же превращение характеризуется свойствами кластеров вблизи
порога протекания p
это вероятность P
определению P
с p − p
степенной зависимостью:
c
. Например, величина, схожая с параметром порядка,
c
принадлежности связи к бесконечному кластеру. По
∞
=0при p<pc,априp>pc, как известно, P∞связано
∞
P
∼ (p −pc)β, (8.1)
∞
что аналогично зависимости параметра порядка от температуры, приведенной в таблице 4.1. Другая величина, представляющая интерес, — это длина
корреляции ξ, то есть среднее расстояние между узлами в конечном кластере. При p,близкомкp
, длина корреляции задается формулой
c
ξ ∼|p −p
|−ν, (8.2)
c
ее можно сравнить с формулой для длины корреляции в таблице 4.1. Другие
схожие величины, представляющие для нас интерес, — это среднее число
связей в конечном кластере, распределение кластеров по размерам, а также вероятность того, что выбранная связь принадлежит к бесконечному
кластеру при p>p
. Вопросы протекания имеют большое практическое
c
значение во многих областях техники, таких как проводимость смеси из
8.2. МОДЕЛ Ь ИЗИНГА СО СЛУЧАЙНЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ 97
проводников и диэлектриков, добыча нефти на месторождении. Обзор по
теории перколяционных переходов и их связи с температурными фазовыми
превращениями представлен в доступной форме в [43].
8.2. Модель Изинга со случайными взаимодействиями
До сих пор мы рассматривали модель Изинга
H = −
в которой величина взаимодействий J
JijSiSj, (8.3)
(i,j)
между спинами ближайших узлов
ij
была задана единственным образом. Когда все взаимодействия ферромагнитные, то J
= J>0, состояние равновесия в системе определяется при
ij
любой температуре, и если происходит фазовый переход, то реализуется
превращение из упорядоченного состояния в неупорядоченное, симметрия
системы меняется. Свойства модели Изинга, в которой взаимодействия антиферромагнитные, то есть J
= J<0, аналогичные. Тем не менее для
некоторых типов решеток при низких температурах нет единственного состояния равновесия вследствие фрустраций. Наиболее простым примером
фрустраций является двумерная антиферромагнитная треугольная решетка.
Рассмотрим три соседних атома А, В и С. Если спин в узле А направлен
вверх, то из-за его действия на спины В и С они должны быть направлены
вниз, а вследствие взаимодействия между спинами в узлах В и С они должны быть противоположных знаков. Проанализируем теперь модель Изинга
для случайных систем, в которых значения J
чинами с распределением P (J
) вместо случайных спинов, рассмотренных
ij
являются случайными вели-
ij
в разделе 7.3.
Простым примером случайной системы является система с разбавлен-
ными ферромагнитными связями:
P (J
)=xδ(Jij)+(1− x)δ(Jij− J ),
ij
где (i, j) — ближайшие соседи, что является обычной моделью Изинга
с устраненной частью x связей. Другой пример — ферромагнитная система
с x устраненными связями:
cicjSiSj,
(i,j)
в которой P(c
H = −J
)=xδ(c)+(1− x)δ(c − 1). При достаточно малых значе-
i
ниях параметра разбавления в системе происходит фазовое превращение
98 ГЛАВА 8
из парамагнитного состояния в ферромагнитное при понижении температуры. Однако при больших значениях x ферромагнитная фаза не образуется,
так что происходит фазовое превращение из фазы парамагнетика в фазу
Гриффита [44], в которой существуют кластеры упорядоченных спинов, но
не все кластеры имеют одинаковое направление спинов. Приведенное свойство связано с перколяцией. При достаточно больших значениях x, которым
соответствуют малые значения p, не существует взаимосвязанных спиновых кластеров, покрывающих всю систему, имеются только изолированные
кластеры, состоящие из связанных спинов. При достаточно низких температурах спины в каждом кластере будут упорядочены, однако спины из
разных кластеров будут иметь различное направление.
Другой тип систем, в которых взаимодействия не только случайные по
величине, но и по знаку, могут быть реализованы при выборе вероятности P (J
), подчиняющейся закону нормального распределения:
ij
P (J
)=(2πΔ)
ij
−1/2
exp−
J
2Δ
2
ij
или бимодального распределения
P (J
)=xδ(Jij+ A)+(1− x)δ(Jij− A),
ij
используемого для случая x =1/2. В системах, в которых существует фер-
ромагнитное и антиферромагнитное взаимодействия, возникают фрустрации спинов, аналогичные тем, которые наблюдаются в модели Изинга на
примере треугольной решетки. В результате такие системы, известные под
названием спиновых стекол, не имеют однозначного основного состояния.
8.3. Спиновые стекла
В природе существует несколько магнитных систем, обладающих свойствами спиновых стекол. Первый тип систем — это магнитные ионы, такие
как ионы кобальта, которые являются примесью замещения в узлах решетки немагнитного металла, например меди. Такие системы имеют неупорядоченность, подобную неупорядоченности стекла, и непрямые взаимодействия между спинами магнитных ионов, то есть взаимодействия осуществляются через спины электронов, связанных с основными атомами, либо
через спины свободных электронов. В последнем случае возникает эффективное магнитное взаимодействие в форме Рудермана – Киттеля [45]:
φ
sin(kFr)
φ(r)=
0
(kFr)
,
3
8.3. СПИНОВЫЕ СТЕКЛА 99
где kF— волновое число электронов на поверхности Ферми, взаимодействие осциллирует при изменении расстояния r между магнитными ионами
и, таким образом, меняется характер взаимодействия с ферромагнитного на
антиферромагнитный при изменении расстояния между ионами.
В отношении симметрии существует большая разница между ферромагнитной системой и спиновыми стеклами. В ферромагнетиках при повышении температуры свыше T
система переходит в парамагнитное со-
c
стояние с нарушением симметрии. Более того, в таких ферромагнитных
системах, как модель Изинга, при температурах T<T
система ферромаг-
c
нитна, спины направлены в одну сторону, и существует вырождение между
состояниями, в которых все спины направлены вверх и спины направлены
вниз. В предельном термодинамическом случае эти два состояния разделены бесконечным потенциальным барьером, поэтому переход из одного
состояния в другое невозможен. В результате в ферромагнитном состоянии
в фазовом пространстве не все состояния равновозможны. Система является эргодической, если в ней любая точка фазового пространства является
достижимой, последнее обозначает, что при T
происходит нарушение эрго-
c
дичности. Вырождение ферромагнитного состояния может быть устранено
при наложении слабого магнитного поля или при наложении подходящих
граничных условий. Таким образом, для ферромагнитных систем при T
нарушается как симметрия, так и эргодичность. В спиновых стеклах, напротив, средний магнитный момент M равен нулю при температуре выше
и ниже критической, а фазовое превращение характеризуется изломом восприимчивости в особой точке при T
[46]. Ниже критической температуры
c
существует множество конкурирующих состояний, разделенных барьерами.
Это обозначает, что в спиновых стеклах эргодичность нарушается при T
(в результате фрустраций), однако нарушение эргодичности не сопровождается нарушением симметрии.
В случайных системах макроскопические свойства рассчитываются как
средние по всем конфигурациям системы, мы обозначим усреднение символом ..., это обозначает, что свойства должны определяться отдельно
для каждой возможной конфигурации системы, затем нужно определить
среднее значение с учетом всех возможных конфигураций. В общем случае
существует два способа получения случайных систем: отжиг и закалка, в зависимости от скорости формирования неупорядоченности, например, в результате подвижности магнитных ионов в спиновых стеклах. При отжиге
скорость велика, поэтому требуется определить среднее число положений
примесей, которые входят в статистическую сумму, для чего необходимо
определить среднее значение статистической суммы Z. С другой стороны, в системах, полученных закалкой, скорость мала, поэтому требуется
c
c
100 ГЛАВА 8
минимизировать величину свободной энергии F = −kT lnZ для каждой
конфигурации, в результате величина, имеющая значение, — это ln Z.
В спиновых стеклах следует усреднить для различных конфигураций свободную энергию, а не статистическую сумму. Это одна из главных проблем
теоретического анализа спиновых стекол.
Существует две хорошо известные модели для спиновых стекол —
Эдвардса – Андерсона и Шеррингтона– Киркпатрика, в которых сложности
усреднения логарифмической функции, входящей в выражение для свободной энергии, решаются с помощью так называемого метода реплик [47],
основанного на вычислении предела
ln Z = lim
n→0
Zn− 1
. (8.4)
n
Уравнение (8.4) обозначает, можно рассчитать среднюю величину свободной энергии решетки путем рассмотрения множества копий системы, их
усреднения и вычисления предела в (8.4). Формально расчет Z
n
аналогичен тому, который проводился в главе 7 для сферической модели, однако
здесь имеются свои тонкости, связанные с вычислением предела n → 0
ит.д.
Имеются задачи в различных областях науки, которые могут быть связаны с темой спиновых стекол, мы упомянем две из них. Теория спиновых
стекол может использоваться для реализации алгоритмов с помощью ЭВМ
при решении задач оптимизации, таких как задача коммивояж¨ера [48] (у которого есть множество возможных маршрутов, и, если он потратит все свое
время на выработку наилучшего из них, он ничего не достигнет). Другая
задача, связанная со спиновыми стеклами, — это нейроны человеческого
мозга, принимающие одно из двух возможных состояний, возбужденное
или невозбужденное, точно так, как спины в модели Изинга. Подходящую
модель для описания возможных схем соединений нейронов предложил
Хопфилд [49], и это способствовало пониманию таких функций мозга, как
обучаемость, и попытке их имитировать с целью построения саморегулирующихся систем.
8.4. Системы «малого мира»
Мы живем в большом мире, уже в 1999 году население Земли превысило шесть миллиардов человек. С другой стороны, если мы вдруг встретим
нашего соседа где-нибудь в джунглях Амазонки, мы воскликнем: «Как тесен
мир!» В качестве примера использования терминов «большой» и «малый»
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]