Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
5.5. МЕТОД РЕНОРМ-ГРУПП ДЛЯ КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКИ (2) 61
показано на рисунке 5.4, с характеристической энергией, равной 0, ±2K
и ±4K.Дляμ
= −1 значения энергии те же, но с противоположными
a
знаками.
Чтобы рассчитать статистическую сумму Z
для гамильтониана H
μ
блочной решетки, будет удобнее записать Hμ= H0+ V ,гдеH0учитывает взаимодействия между спинами внутри блока, а V — между спинами
соседних блоков, поэтому
=exp[−βHμ]=exp(−βH0)exp(−βV )=
Z
μ
=exp(−βH
)
0
exp(−βH
exp(−βH
)exp(−βV )
0
)
0
; (5.24)
в последней строке формулы (5.24) первый множитель относится к независимым блокам и поэтому приводит к многократному включению в статистическую сумму Z
(K) единичного блока
0
exp(−βH
)=Z0(K)
0
N
. (5.25)
Используя шестнадцать конфигураций, показанных на рисунке 5.4, входящих в Z
(K),дляμa=1,получаем,что
0
(K)=2ch(4K)+8ch(2K)+6. (5.26)
Z
0
μ
Второй множитель формулы (5.24) — это взвешенное среднее значение
exp(−βV ) ивесаexp(−βH
), который обозначим как exp(−βV ).
0
Однако мы можем только приблизительно определить значение exp(−βV ) с помощью разложения в ряд Тейлора. Для этого запишем
2
W
=1+W +
e
W
+
2
Заметим, ln(1 + x)=x − x
3
W
+ ...=1+W +
6
2
/2+ ... для |x| < 1,тогдаlneW≈W ,
W
2
2
+ ... (5.27)
поэтому
W
e
≈expW. (5.28)
Подставляя формулы (5.25) и (5.28) в (5.24), получим
βH
= N lnZ0(K)−βV . (5.29)
μ
62 ГЛАВА 5
Функция βV связывает соседние спины разных блоков. Как видно на рисунке 5.3, взаимодействие между ближайшими соседними спинами смежных блоков a и b состоит только из трех членов:
a
b
a
b
a
βV
a
Поскольку спины S
и Sbпринадлежат разным блокам, усредняя с H0,
получим
a
В S
члены с βH0,содержащиеS
2
ются, откуда при μ
a
=1
ab
= K(S
βV
ab
S
+ S
2
4
=2KS
a
=+1и S
2
S
1
4
a
S
2
b
+ S
S
). (5.30)
2
3
b
. (5.31)
4
a
= −1, взаимно сокраща-
2
a
= μ
S
2
Проделав то же самое для μ
2ch(4K)+4ch(2K)
a
2ch(4K)+8ch(2K)+6
= −1, получим, что уравнение (5.32) спра-
a
. (5.32)
ведливо и для данного случая. Из уравнений (5.31) и (5.32) следует, что
=3K
βV
ab
Следовательно, в первом порядке по V , βH
ch(4K)+2ch(2K )
ch(4K )+4ch(2K)+3
=const+K
μ
K
=3K
В данном уравнении неподвижной точке соответствует равенство K
= K = K
∗
. Решая его, получим, что при kTc= J/K
kTc= J ch
ch(4K)+2ch(2K )
ch(4K )+4ch(2K)+3
√
2 −
−1
3+9 −2√3
2
μaμb. (5.33)
μaμb,где
a,b
2
. (5.34)
∗
. (5.35)
2(√3 − 1)
В таблице 5.1 показаны результаты расчетов критической величины K,
= kTc/J, и критического индекса x, определяемого из соотноше-
K
c
ния (dK
/dK)
∗
= Lxдля квадратной решетки, проведенных нами мето-
K
дом ренорм-групп для двух рассмотренных выше способов выбора блоков,
а также соответствующие точные решения Онзагера [4]. Аналогичные расчеты можно выполнить методом ренорм-групп для двумерной треугольной
решетки [20], получаемые при этом результаты будут близки к решению
Онзагера.
=
5.6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 63
Таблица 5.1. Критическое значение параметра K, K
индекс x для различных случаев применения теории ренорм-групп к модели Изинга
для квадратной решетки. Колонка «Половина» предназначена для блоков двумерной
решетки, образованной методом ренорм-групп RG-2D(1) при исключении половины
спинов. Колонка «5 спинов» предназначена для 5 спинов блока RG-2D(2), а колонка
«Точное решение» содержит точное решение, полученное Онзагером [4]
= kTc/J, и критический
c
Половина 5 спинов Точное решение
Kc0.5070 0.5931 0.4406
x 1.07 0.901 1
5.6. Заключение
В методике расчетов с помощью ренорм-групп можно применить тот
же принцип сравнения узловой и блочной решетки, что использовался
в предыдущей главе при формулировании гипотезы масштабной инвариантности. Преобразования, которые имеют место в расчетах по методу ренорм-групп, используются в квантовой теории поля, они подходят и для
исследования явления фазовых превращений, которые отличаются длинномасштабностью корреляций. Поэтому при переходе от решетки с малыми
блоками к решетке с большими блоками постепенно исключаются мелкомасшабные степени свободы. Имея дело с каждой новой решеткой, необходимо построить взаимодействия и определить, как они связаны с предыдущей решеткой. Эти шаги периодически повторяются. В неподвижных
точках определяются критические параметры, а разложением в ряд вблизи критической точки можно определить значения критических индексов.
Следует отметить, что неподвижные точки являются свойством преобразований, на которые не влияет гамильтониан исходной решетки, что делает
данный метод универсальным. Вопросы универсальности будут рассмотрены в главе 7.
ГЛАВА 6
Фазовые превращения в квантовых
системах
До сих пор мы рассматривали только феноменологические свойства
модельных систем, отвлекаясь от микроскопического строения реальных
систем. В этой главе мы проведем исследования квантовых систем многих тел, в которых рассмотрим два основных типа фазовых превращений —
сверхтекучесть и сверхпроводимость. Поскольку эти явления связаны с симметрией волновой функции и квантовой статистической физикой, дадим
краткое представление об основных понятиях.
6.1. Симметрия волновой функции
В соответствии с соотношением неопредел¨енностей Гейзенберга произведение неопределенности координаты Δr и неопределенности импульса Δp не может быть меньше постоянной Планка: ΔrΔp h.Врезультате
если можно идентифицировать все однотипные частицы, например электроны, по их точному расположению в фиксированный момент времени, мы не
будем знать их импульсы и не сможем определить их расположение в любой
следующий момент времени. Таким образом, далее невозможно провести
различие между частицами. В результате неразличимости идентичных частиц их волновая функция должна быть неизменна, если частицы поменять
местами. Пусть две одинаковые частицы, имеющие координаты (положение
или спин) ξ
перестановке частиц может умножиться только на фазовый множитель
и ξ2, определяются волновой функцией ψ(ξ1,ξ2), которая при
1
ψ(ξ
При повторной перестановке частиц получаем:
ψ(ξ
)=eiαψ(ξ2,ξ1)=e
1,ξ2
)=eiαψ(ξ1,ξ2).
2,ξ1
2iα
ψ(ξ1,ξ2),
6.2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЧАСТИЦАМИ ФЕРМИ 65
и поскольку в результате перестановок система вернулась в исходное состояние, то e
2iα
≡ 1,такчтоeiα= ±1.Поэтомуψ(ξ2,ξ1)=±ψ(ξ1,ξ2),то
есть волновая функция либо симметрична, либо антисимметрична при перестановке двух частиц. Из релятивистской квантовой механики известно,
что частицы с целыми спинами, называемые бозе-частицами, характеризуются симметричными волновыми функциями, а частицы с полуцелыми
спинами, называемые частицами Ферми, характеризуются антисимметричными волновыми функциями. В последнем случае две частицы не могут
иметь одинаковые координаты, так как условие ψ(ξ
полняется, только если ψ(ξ
)=0, и это свойство известно как принцип
1,ξ1
)=−ψ(ξ1,ξ1) вы-
1,ξ1
Паули.
Если волновая функция ψ(ξ
дение одночастичных волновых функций φ
) пары частиц выражена через произве-
1,ξ2
(ξ) и φ2(ξ), то нормированная
1
волновая функция равна:
ψ(ξ
1,ξ2
)=
√
1
2
φ
1(ξ1)φ2(ξ2
) ± φ1(ξ2)φ2(ξ1), (6.1)
где знаки + и − соответствуют бозе-частицам и частицам Ферми.
Для системы, содержащей N бозе-частиц, симметричная волновая функция ψ
s(ξ1,ξ2
, ..., ξN) имеет вид:
ψ
s(ξ1,ξ2
, ..., ξN)=C
Pφ
N
1(ξ1)φ2(ξ2
) ...φN(ξN), (6.2)
где суммирование производится по всем возможным перестановкам P координат ξ
метричная функция ψ
; CN— нормировочная константа. Для N частиц Ферми антисим-
j
a(ξ1,ξ2
, ..., ξN) может быть выражена с помощью
детерминанта Слейтера:
.
.
.
, (6.3)
где A
ψ
N
, ..., ξN)=A
a(ξ1,ξ2
— нормировочная константа. Для волновой функции (6.3), если
N
) ... ... φ1(ξN)
φ
1(ξ1
.
.
.
φ
) ... ... φN(ξN)
N(ξ1
две частицы имеют одинаковое положение, две строки детерминанта будут
одинаковы, и таким образом волновая функция обращается в нуль, что
известно как принцип Паули.
6.2. Обменное взаимодействие между частицами Ферми
Рассмотрим пару частиц Ферми и обозначим их пространственные ко-
ординаты через r
, а спиновые координаты — через σj.Приотсутствии
j
66 ГЛАВА 6
взаимодействия между спинами и пространственным движением частиц антисимметричную функцию ψ
координатной функции Φ(r
ψ
Чтобы функция ψ
местами, одна из функций в произведении должна быть симметрич-
нат ξ
j
была антисимметрична относительно замены коорди-
a
a(ξ1,ξ2
, r2) и спиновой функции K(σ1,σ2), то есть:
1
a(ξ1,ξ2
ной, а другая — антисимметричной. Если представить функцию K(σ
как произведение двух функций одиночных спинов χ
) можно выразить через произведение
)=Φ(r1, r2)K(σ1,σ2). (6.4)
) и χ2(s2),топри
1(s1
1,σ2
суммарной величине спинов S =1симметричное состояние (триплет) можно представить несколькими способами:
)
χ
1(s1)χ1(s2
),χ2(s1)χ2(s2) и χ1(s1)χ2(s2)+χ1(s2)χ2(s1).
Антисимметричное состояние (синглет) при суммарной величине спинов S =0имеет вид
χ
1(s1)χ2(s2
) − χ1(s2)χ2(s1).
Для симметричного состояния спинов пространственная волновая
функция Φ
ния спинов Φ
равны:
, r2) антисимметрична, а для антисимметричного состоя-
−(r1
, r2) симметрична. Пространственные волновые функции
+(r1
Φ
±(r1
, r2)=
√
1
2
φ
1(r1)φ2(r2
) ± φ1(r2)φ2(r2). (6.5)
В соответствии с теорией возмущений, учет межчастичного взаимодействия V (r
состояний Φ
− r2), например кулоновского, изменяет энергию квантовых
1
на величину
±
ΔE =
Φ
±(r1
2
, r2)
V (r1− r2)dτ1dτ2. (6.6)
Подставив волновые функции (6.5) в соотношение (6.6), можем переписать (6.6) следующим образом:
ΔE = A ± J
где A — прямое взаимодействие между частицами, J
, (6.7)
1
— обменное взаимо-
1
действие:
A =dτ
1dτ2
φ
1(r1
2
)
φ
2(r2
2
)
V (r1− r2),
(6.8)
∗
J
=dτ1dτ2φ1(r1)φ2(r2)φ
1
(r2)φ
1
∗
(r1)V (r1− r2).
2
6.2. ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ЧАСТИЦАМИ ФЕРМИ 67
Следовательно, для антисимметричного состояния (S =0) ΔE = A + J1,
а для симметричного состояния (S =1) ΔE = A − J
. Физический смысл
1
имеет разность между энергиями в двух рассмотренных состояниях, равная 2J
оператор суммарного спина S = s
= s
равняется нулю для антисимметричного состояния и двум — для симмет-
. Эту разность можно выразить через спиновые операторы s1, s2,
1
2
2
+ s
+2s1· s2.Посколькуs
1
2
+ s2и оператор квадрата спина S2=
2
1
1
= s
1
2
2
1
=
2
+1=
2
3
и S2= S(S +1)
4
ричного состояния, то для этих двух состояний собственные значения опе-
3
ратора s
· s2соответственно равны −
1
значения оператора −J
/2 − 2J1s1· s2как раз равны ±J1. Опустив по-
1
1
и
. Таким образом, собственные
4
4
стоянные, не имеющие большого значения, приходим к выводу, что обе
энергии (6.7) равны собственным значениям оператора −2J
· s2.Для
1s1
большого числа пар электронов, располагающихся в узлах решетки, можно с помощью так называемого квантового оператора Гейзенберга задать
обменное взаимодействие:
H = −2J
si· sj. (6.9)
1
(i,j)
Таким образом, исключительно квантовое свойство, связанное с антисимметричностью волновой функции, позволяет описать эффективное взаимодействие между частицами в виде спиновых операторов. Для двух
электронов в атоме гелия обменный интеграл (6.8) отрицателен, следовательно, согласно уравнению (6.9), минимальная энергия соответствует противоположной направленности спинов электронов. С другой
стороны, в ферромагнитных системах интеграл положителен, это обозначает, что одинаковая направленность спинов является более вероятностной. Таким образом, мы убедились в том, что модель Изинга (2.3) представляет собой упрощенный случай модели Гейзенберга (6.9).
Теперь необходимо объяснить различие между «обменным взаимодействием» (6.9), возникающим между спинами, и взаимодействием элементарных магнитных моментов μ, связанных со спином /2 через гиромагнитное
отношением e/(mc), μ = e/(2mc). В то время как первое взаимодействие
является сильным, порядка 1000 К, второе взаимодействие порядка всего 1 К
и позволяет объяснить лишь так называемое явление дипольного ферромагнетизма. Это объясняет проблему, с которой в 1907 году, еще до создания
квантовой механики, столкнулся П. Вейс, развивая теорию среднего поля,
представленную в главе 1.
68 ГЛАВА 6
6.3. Квантовая статистическая физика
Теперь применим методы статистической физики к квантовым системам. Рассмотрим невзаимодействующие частицы, размещенные в сосуде
фиксированного объема, который контактирует с тепловым резервуаром
и может с ним обмениваться частицами. Такая система описывается большой статистической суммой, имеющей вид:
Nμ
kT
exp−
n
где E
Z =
— энергии n-го квантового состояния системы, содержащей N ча-
n,N
exp
N
стиц; μ — химический потенциал. В рассматриваемой системе, состоящей
из невзаимодействующих частиц, число частиц в системе может быть представлено в виде N =
где n
— число частиц, энергия которых равна K. Большой термодинами-
K
nK, соответственно полная энергия E =
K
ческий потенциал Ω=−kT ln Z можно представить следующим образом:
⎧
⎨
Ω=−kT ln
⎩
expβnK(μ − K)
K,n
K
где, как уже было указано, β =1/kT .
В соответствии с принципом Паули для частиц Ферми n
поэтому
Ω
= −kT ln1+expβ(μ −K).
K
Для бозе-частиц нет ограничений на значения n
суммирование по n
приводит к бесконечной геометрической прогрессии,
K
которая легко может быть вычислена; в результате
$
Ω
K
= −kT ln
1 −expβ(μ −K)
1
E
n,N
, (6.10)
kT
nKK,
K
⎫
⎬
⎭
, в этом случае в (6.11)
K
ΩK, (6.11)
≡
K
=0или 1,
K
%
при условии, что exp[β(μ −
)] < 1,тоестьμ<εK.Посколькумы
K
рассматриваем систему частиц, у которых состояния с минимальной энергией
определяется из соотношения n
=0,тоμ должна быть отрицательной. Среднее число частиц nK
K
=
n
K
= −∂ΩK/∂μ,откуда:
K
1
expβ(K− μ)± 1
, (6.12)
6.3. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 69
где знаки «плюс» и «минус» соответствуют частицам Ферми и бозе-частицам.
Рассмотрим следствие того, чтобы для бозе-частиц μ была отрица-
тельна. Минимальный объем фазового пространства, требуемый для одной
частицы, равен (2π)
−1
, поэтому количество состояний в фазовом про-
странстве с импульсами, лежащими между значениями p и p + dp,равно
2
N(p)dp =
4πgV p
(2π)
dp
, (6.13)
3
где V — объем, занимаемый системой; g =2S +1 учитывает все возможные
состояния спина. Химический потенциал μ определяется из соотношения
N =N(p)n(p)dp. (6.14)
Сделаем замену переменной интегрирования под знаком интеграла =
2
/2m и, подставив эту замену в уравнение (6.14), после простых преоб-
= p
разований получим
N
= A
V
√
d
expβ( −μ)− 1
, (6.15)
где A — константа. После еще одной замены, z = β, уравнение можно
записать следующим образом:
N
= A(kT)
V
3/2
√
zdz
exp(z − βμ) − 1
. (6.16)
Поскольку N/V =const, то с уменьшением температуры интеграл должен
увеличиваться, поэтому величина μ должна уменьшаться. Однако μ обращается в ноль не при T =0, но при некоторой конечной температуре T = T
величина которой определяется из следующего условия:
N
= A(kT
V
3/2
)
c
zdz
exp(z) − 1
. (6.17)
√
До сих пор мы анализировали частицы, находящиеся в состоянии, при котором >0, и не учитывали состояние =0. Для того чтобы скорректировать
уравнения (6.16) и (6.17) с учетом условия T<T
, необходимо предполо-
c
жить, что уравнение (6.17) содержит количество частиц в состояниях, для
,
c
70 ГЛАВА 6
которых >0; кроме того, в этой системе остальные N0частиц должны
находиться в состоянии, при котором энергия =0. Таким образом:
3/2
= N1 −(T/Tc)
N
0
, (6.18)
отсюда следует, что фазовое превращение происходит при T = T
,когда
c
частицы начинают переходить в состояние с =0.Этотквантовыйэф-
фект, называемый конденсацией Бозе – Эйнштейна, является единственным
известным примером фазового превращения в системе, в которой нет взаимодействия между частицами.
Возникает вопрос, как в условиях эксперимента наблюдать конденсацию Бозе – Эйнштейна. В представленных выше соотношениях мы предположили, что рассматривавшаяся система представляла собой идеальный
газ, состоящий из бозе-частиц, в котором нет взаимодействия между частицами. Тем не менее, вследствие взаимного притяжения между частицами,
большинство газов затвердевает до того, как можно пронаблюдать квантовый эффект конденсации. Для того чтобы квантовый эффект был заметен,
должно соблюдаться условие, при котором длина тепловых волн де Бройля λ
частиц была бы больше среднего расстояния r
между этими частицами.
0
Длина волны
λ =
h
=
p
Mv
=
h
MkT/M
,
h
где M — масса частиц, и данное условие можно записать в виде неравенства
h
√
MkT
Это условие выполнить сложно, так как при малой величине r
. (6.19)
>r
0
концентра-
0
ция частиц велика и это приводит к кристаллизации. Чтобы выполнялось
неравенство, необходимо, чтобы либо частицы имели малую массу, либо
были очень низкие температуры. К примеру, самая легкая бозе-частица —
это атом Hе
4
. Именно для гелия в 1937 году ученые Капица и Ален пронаблюдали сверхтекучесть при атмосферном давлении и температуре около 2 К. В качестве другого варианта выполнения неравенства (6.19) можно
взять щелочные металлы при очень низких температурах, когда межатомные взаимодействия еще малы, несмотря на то что масса частиц не мала.
Действительно, конденсация Бозе – Эйнштейна не так давно наблюдалась
в подобных системах при невероятно низких температурах: около 10
−7
К.
Далее мы рассмотрим конденсацию Бозе– Эйнштейна гелия и связанное
с ним явление сверхтекучести, а затем — конденсацию Бозе – Эйнштейна
в щелочных металлах.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]