Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
9.2. ПЕСОЧНАЯ КУЧА 111
в самоорганизованное критическое состояние, характеризуемое углом наклона, равным 34
◦
–37◦, после чего начинают происходить качественные
изменения. С очередной падающей песчинкой может произойти следующее:
1) она может упасть у основания кучи и таким образом повысить ее
устойчивость;
2) она может задержаться сбоку в некоторой точке, тем самым слегка
увеличив угол наклона;
3) она может увеличить угол наклона так, чтобы он превысил критическое значение. В результате этого S песчинок обвалится и попадет на
основание кучи, причем некоторые из них могли и не находиться в непосредственной близости от того места, куда упала песчинка, вызвавшая обвал. Это происходит по той причине, что куча песка находится в самоорганизованном критическом состоянии, все песчинки кучи взаимосвязаны,
так что даже одна-единственная песчинка, представляющая собой бесконечно малое воздействие, попав в какое-либо место на поверхности кучи,
может привести к значительному обвалу, вызвав катастрофическое событие в каких-то других местах. В самоорганизованном критическом состоянии глобальные динамические свойства кучи определяют поведение песка как единого целого, а не отдельных песчинок. Было установлено, что
в самоорганизованном критическом состоянии количество обвалов N(S),
затрагивающих S песчинок, подчиняется степенному закону распределения N(S) ∼ S
−α
,гдеα ≈ 1. Интуитивно понятно, что для обвала не
существует характерного размера, так что нет отдельных признаков для
предсказания катастрофических обвалов. Поскольку каждая частица «чувствует» лишь непосредственное окружение на небольшом расстоянии от
себя, она не может знать, будет ли она вовлечена в обвал либо нет. Именно
поэтому невозможно предсказать катастрофическое событие.
Что касается математической модели такого процесса, то она описывает систему как площадку, разделенную на ячейки, и предполагается, что
существует некоторый верхний предел для количества частиц, накапливающихся в одной ячейке. Когда в ячейке скапливается максимально допустимое количество частиц, появление новой частицы вынудит частицы этой
ячейки переместиться в соседние ячейки. Если одна или более частиц перемещается в ячейки, которые расположены около края площадки и уже
заполнены, то все больше частиц будут выходить из системы, тем самым
вызывая обвалы.
Аналогичную модель можно использовать при изучении лесных пожаров. В модели леса площадка содержит ячейки с деревьями. Одно дерево загорается, и необходимо исследовать, сколько деревьев сгорит, пока
112 ГЛАВА 9
возникший огонь не утихнет. Изучение этой системы позволяет планировать посадку леса, чтобы минимизировать риск возникновения больших
пожаров. Возможно, в этом случае стоит провоцировать случайные пожары
малых масштабов с целью уменьшения связей между разными группами
деревьев (ячеек) и не доводить систему до самоорганизованного критического состояния, в котором возможны пожары катастрофических масштабов. Вполне возможно, что неверная стратегия по поддержанию экосистемы
в ее начальном состоянии, то есть подавление мелкомасштабных пожаров,
привела к невозможности предотвращения колоссального пожара, произошедшего в 1988 году в парке Уеллоустон Нэйшнел Парк, США. Специалисты в области лесных пожаров теперь вынуждены признать, что в качестве
лучшего способа предотвращения крупномасштабных пожаров не следует
тушить небольшие и средние пожары.
9.3. Распределение соединений в сетях
Как и в предыдущей главе, рассмотрим сеть, состоящую из N вершин,
каждая из которых имеет k связей с другими вершинами сети. Разные вершины могут иметь разное количество связей, поэтому необходимо ввести
распределение количества связей k, функцию P(k). Для безмасштабных
систем P (k) является степенной функцией вида P (k) ∼ k
Чтобы показать, как проявляется степенной закон, сопоставим каждой вершине i случайное число x
∈ (0, ∞)], которое назовем рангом
i[xi
вершины i и будем использовать для обозначения приоритетности этой вершины [69]. Пусть функция f(x) определяет распределение рангов и представляет собой степенную функцию, аналогичную тем, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Кроме того, предположим, что вероятность
существования связи между двумя вершинами i и j равна ψ(x
чайных графах эта вероятность будет одинакова и постоянна для всех соединенных вершин: ψ(x
i,xj
)=b.
Средняя инцидентность вершины ранга x равна
∞
поэтому x = F
−1
k(x) =
k
. С другой стороны, по определению:
N
ψ(x, y)f (y) dy ≡ NF(x), (9.1)
0
∞
k =
kP(k) dk. (9.2)
0
−γ
.
i,xj
).Вслу-
9.4. ДИНАМИКА СЕТЕЙ 113
Поскольку P (k)=f (x)dx/dk, то, объединив уравнения (9.1) и (9.2), получим:
P (k)=fF
−1
k
N
dk
d
−1
F
k
. (9.3)
N
Пусть ψ(x
и
)=xixj/x
i,xj
2
max
k(x) =
P (k)=
,гдеx
Nx
2
x
max
x
Nx
— максимальный ранг в сети. Тогда
max
∞
yf(y) dy = N
0
2
max
x
f
Nx
2
max
xx
2
x
max
k. (9.5)
(9.4)
Из соотношения (9.5) следует, что распределение инцидентности P (k) полностью определяется распределением рангов f (x),поэтомуеслиf (x) подчиняется степенному закону распределения, то аналогичное распределение
у инцидентности P(k).
9.4. Динамика сетей
До сих пор мы рассматривали статичные сети. Однако большинство
сетей не статичны, так как количество вершин может меняться со временем, могут появляться новые вершины и связи, а некоторые могут исчезать.
Например, в мировой сети Интернет новые узлы создаются постоянно, так
же как и новые связи между ними, в то время как некоторые узлы могут
исчезать. Аналогичная ситуация существует в финансовой сфере, где постоянно открываются новые предприятия, какие-то предприятия закрываются,
а капитал передается от одной фирмы к другим.
Главное условие, которое приводит к степенному закону распределения, — это избирательное присоединение [70], обозначающее, что новые
связи стремятся соединять уже существующие вершины, имеющие множество других связей (что приводит к тому, что «богатый богатеет еще больше»). Рассмотрим модель системы, которая изначально содержала m
зей и n
бираем t
с m связями, так что через t шагов сеть будет иметь N = n
и m
ния увеличение инцидентности k
вершин. За каждый временной шаг t1,t2, ..., tN,гдемывы-
0
= r (r =1, 2, 3,...), к системе добавляется одна вершина
r
+ mt связей. В соответствии с условием избирательного приклеива-
0
для i-й вершины выбираем таким, чтобы
i
0
свя-
0
+ t узлов
114 ГЛАВА 9
оно было пропорционально ki:
= A
k
i
, (9.6)
k
j
j
где параметр нормализации
большихвременныхшагов
∂k
i
∂t
kjопределяет общее количество связей, а для
j
kj 2mt. В данной формуле появляется
j
множитель 2, поскольку каждая связь соединяет две вершины. Суммируя
уравнение (9.6) по всем i, получаем, что коэффициент A представляет собой изменение общего количества инцидентностей в единицу времени, то
есть A = m. Подставив полученный результат в уравнение (9.6) и решив
его, получим:
k
= m
i
1/2
t
t
i
или
dt
dk
i
i
= −
2
t
2m
. (9.7)
3
k
i
Распределение связей P (k) соответствует однородному распределению вре-
менных шагов t
образования вершин, P (ti)=1/ti, и определяется по
i
формуле
P (k)dk = −P(t
)dti. (9.8)
i
В данном выражении знак «минус» объясняется тем, что более ранние вершины (с малыми t
) имеют большую инцидентность («богатые богатеют
i
еще больше»). Используя уравнения (9.7) и (9.8), получим:
P (k)=
2m
. (9.9)
3
k
Согласно уравнению (9.6) увеличение инцидентности заданной вершины полностью определяется настоящим значением ее инцидентности, что
дает очевидное преимущество ранним вершинам по отношению к более
новым, недавно подсоединенным к сети. Тем не менее помимо «возраста»
вершины ее свойства должны влиять на ее дальнейшее развитие. В этой
связи введем в уравнение (9.6) параметр γ
единению связью, 0 γ
1. Увеличение инцидентности зависит не только
i
от настоящего значения инцидентности k
способности i-й вершины к со-
i
для i-й вершины, как это было
i
в уравнении (9.6), но также от ее способности к соединению. В связи с этим
получим, что
dk
dt
i
= m
γ
iki
. (9.10)
(γ
)
jkj
9.4. ДИНАМИКА СЕТЕЙ 115
Между динамическими сетями, которым соответствует уравнение (9.10),
и равновесным бозе-газом, рассмотренным в главе 6, существует интересная аналогия. Чтобы проследить эту аналогию, сопоставим способности
вершины к соединению γ
энергию εiчерез соотношение
i
ε
= −T ln(γi)(9.11)
i
такое, что 0 <γ
< 1 соответствует ∞ >εi> 0. В этом разделе мы приня-
i
ли, что постоянная Больцмана равна единице. Заменим связь между двумя
вершинами i и j (имеющими способности к соединению γ
и γjи энергии ε
i
и εj) двумя невзаимодействующими частицами. Тогда введение в сеть новой вершины l с m связями будет означать добавление 2m частиц, одна
половина которых имеет энергии, равные ε
, а другая половина распре-
l
деляется между энергетическими уровнями, соответствующими крайним
точкам новых связей. В отличие от уравнения (9.6), которому соответствует
инцидентность вершины k
теории инцидентность k
, зависящая только от времени, в обобщенной
i
для i-го узла будет являться также функцией ко-
i
личества связей (частиц), которые есть у вершины в момент времени t:
= ki(εi,t,ti). Уравнение (9.10) примет вид
k
i
ε
∂k
i(εi
,t,ti)
∂t
= m
exp−
exp−
j
i
k
,t,ti)
i(εi
T
ε
j
k
j(εj
T
. (9.12)
,t,tj)
По аналогии с уравнением (9.7) найдем решение уравнения (9.12):
f(i)
k
= m
i
t
t
i
. (9.13)
Можно переписать статистическую сумму Z(t) в знаменателе уравнения (9.12) как
i
Z(t)=
∞
0
dε g(ε)
t
dtexp−
1
ε
T
k(ε, t, t
), (9.14)
где g(ε) — распределение энергии, заданное в уравнении (9.11) из распределения способностей к образованию связей φ(γ
). Подставив уравне-
i
116 ГЛАВА 9
ние (9.13) в (9.14), возьмем интеграл по tиполучим:
ε
T
. (9.15)
Z(t)=mt
∞
dε g(ε)exp−
0
1 −f (ε)
Теперь введем «химический потенциал» μ следующим образом:
exp−
T
μ
≡ lim
t→∞
Z(t)
. (9.16)
mt
Из уравнений (9.16), (9.12) и (9.13) получим, что
f(ε)=exp−
ε − μ
T
, (9.17)
и следующее уравнение для μ:
∞
0
exp
dε g(ε)
ε − μ
T
=1. (9.18)
− 1
Уравнение (9.18) является не чем иным, как уравнением (9.15) для химического потенциала бозе-газа. Наша задача перешла на тему бозе-газа, это
означает, что типичное свойство бозе-газа, конденсата Бозе – Эйнштейна,
должно проявиться и в развивающейся сети. В этой связи можно предсказать помимо самоорганизованной критичности в явлении избирательного
приклеивания («богатый богатеет еще больше») образование новой фазы,
аналогичной бозе-конденсату, в которой все новые вершины будут иметь
энергию ε =0, которая согласно уравнению (9.11) соответствует вершине,
имеющей максимальную способность к образованию связей γ =1.Это
именно та вершина, которая будет иметь связи со всеми вновь образованными вершинами (по принципу «победитель получает вс¨е»).
Помимо способности к образованию связей есть еще несколько общих
характеристик основного уравнения динамики (9.6).
a) Если принять, что в феноменологическом выражении (9.6) ∂k
β
,гдеβ =1, получим [72] экспоненциальное распределение для P (k)
∼ k
/∂t ∼
i
при β<1, предельный случай, когда «победитель получает все», при β>1,
итолькоприβ =1распределение P(k) подчиняется степенному закону
распределения.
9.5. АНАЛИЗ СЕТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ СРЕДНЕГО ПОЛЯ 117
b) Функция степенного закона распределения была получена на основе предположения об избирательном приклеивании (9.6). С другой стороны, в случайных графах и системах малых миров новая вершина может
образовывать случайные связи с любой другой существующей вершиной.
В отличие от избирательного приклеивания это предположение приводит
к экспоненциальной форме функции распределения. Можно предположить,
что [73] реальная сеть растет во времени по такому правилу приклеивания,
которое не является ни избирательным, ни полностью случайным, то есть
∂k
∂t
(1 − p)k
i
=
(1 − p)k
+ p
i
, (9.19)
+ p
i
где 0 p 1 — параметр, характеризующий относительный вес обусловленных и случайных приклеиваний. Анализ, проведенный аналогично
анализу уравнений (9.6)–(9.9), приводит к следующим результатам:
P (k)
k/m + b
1+b
−γ
,γ=3+b, b =
p
m(1 − p)
, (9.20)
где, как в предыдущих примерах, m — количество новых связей, добавляемое на каждом шаге. Характер степенного закона для безмасштабных
сетей определяется из уравнения (9.20) при p → 0, а экспоненциальное
распределение превалирует при p → 1.
c) Избирательное приклеивание (9.6) дает явное преимущество ранее
образованным вершинам, и для восстановления справедливости был введен параметр способности к образованию связей вершиной. Тот же эффект предоставления преимущества новым вершинам можно получить, если ввести в уравнение динамики (9.6) фактор «старения» τ
для каждой
i
i-й вершины на основании предположения, что вероятность соединения новой вершины с какой-нибудь старой вершиной пропорциональна не только
инцидентности старой вершины, но также и степени ее возраста τ
−α
i
.Получаем, что [74] степенной закон распределения все еще действует при α<1,
при α>1 появляется экспоненциальный закон, в промежуточном случае
при α =1P(k)=const. Поведение по принципу «победитель получает
вс¨е» возникает при больших α,такихкакα>10.
9.5. Анализ сетей с использованием теории среднего поля
В предыдущем разделе при анализе сетей мы использовали некото-
рые принципы термодинамики равновесных процессов: уравнение среднего
118 ГЛАВА 9
поля (9.6), понятие «химического потенциала», в результате чего был получен конденсат Бозе– Эйнштейна. Предлагаем вам красивый подход [75],
основанный на теории среднего поля Ландау для фазовых превращений,
рассмотренной в главе 3. Для этого сопоставим сети термодинамический
потенциал G, который является функцией параметра порядка η ивнешнего
поля H: G = G(η, H); точно так же, как в системе Изинга с параметром порядка M , термодинамический потенциал G является функцией от M
и внешнего магнитного поля H : G = G(M,H). Как обычно, используем
условие, чтобы параметр порядка η обращался в ноль в неупорядоченной
фазе.
Вершина с инцидентностью k испытывает на себе воздействие в среднем k соседних вершин, то есть кроме внешнего поля H на нее действует
среднее поле kη. Разложение Ландау для G(η, H) содержит оба поля H
и kη, и это разложение можно записать как
G(η, H)=−ηH +
P (k)φ(η, kη), (9.21)
k
то есть оно зависит от функции распределения P (k). Дальнейший анализ [75] основывается на разложении в ряд Тейлора функции φ(x, y) для
малых x и y:
ϕ(x, y)=
m
ϕmlxmyl,
l
и анализе первых членов этого ряда. Коэффициенты данного разложения
имеют вид:
n
G(η, H)
d
dη
Средние значения k
ляются функцией распределения P (k). Для степенного закона распределения P (k) ∼ k
−γ
l
, входящие в уравнение (9.22), полностью опреде-
получаем, что
l
≡
k
n
η=0
∞
klP (k) dk ∼ k
1
= n!
n
l=0
ϕ
n−l,l
l−γ+1
kl. (9.22)
. (9.23)
k→∞
Это обозначает, что все моменты, для которых l γ,расходятся.Функция (9.21) содержит в качестве коэффициентов эти моменты, в результате
метод среднего поля Ландау не работает. Равновесное состояние разрушается сильными флуктуациями. В сетях наиболее сильно связанные вершины,
9.6. КОНЦЕНТРАТОРЫ БЕЗМАСШТАБНЫХ СЕТЕЙ 119
в которых имеют место сильные флуктуации локальной инцидентности,
являются причиной того, что теория среднего поля неприменима. С увеличением γ в P (k) ∼ k
−γ
случайное число вершин с большим числом связей
уменьшается, и фазовое превращение происходит по типу среднего поля.
Расчеты [75] показывают, что это происходит при γ>5,априγ =5по-
являются логарифмические поправки (эту последнюю особенность можно
сравнить с аналогичным поведением в области максимальной критической
размерности d =4). Другие результаты были получены для 3 <γ<5,
критические индексы являются функциями от γ (η ∼ (|T − T
|/Tc)
c
1/(γ−3)
и т. д.), хотя при конечной температуре для 2 <γ 3 никакого фазового
превращения не происходит. Эти результаты были получены при отсутствии члена третьей степени при η в разложении G.Есливключитьэтот
член, G будет содержать следующие члены:
3
ln η при γ =4,
a) η
γ−1
b) η
c) η
при 2 <γ<3 и 3 <γ<4,
2
ln η при γ =3.
Следует привести один комментарий. В предыдущей главе мы видели,
что для явлений малых миров небольшая доля дальних связей p приводит
систему в класс универсальности, характерной для приближения среднего поля. Однако в безмасштабных системах, несмотря на наличие дальних
связей, ситуация иная. Как мы видели, поведение по типу среднего поля
проявляется только при достаточно больших значениях γ в функции распределения k, γ>5, в то время как при малых значениях γ критические
свойства не зависят от модели, но не универсальны, так что критические
индексы зависят от γ.
9.6. Концентраторы безмасштабных сетей
Безмасштабные сети со степенным законом распределения имеют топологическую структуру, которая сильно отличается от обычной («экспоненциальной»), которая характерна для сетей, подчиняющихся нормальному закону распределения. В экспоненциальных сетях почти все вершины
имеют более или менее одинаковое число связей, близкое к среднему, и система однородна. В безмасштабных сетях все по-другому. Как мы уже видели, динамика таких сетей такова, что отвечает принципу «богатый богатеет
еще больше» и даже «вс¨е получает победитель». Это означает, что безмасштабные системы очень неоднородные и очень немного вершин (концентраторов) имеют большое количество связей, большинство таких вершин
имеет лишь несколько связей, как показано на рисунке 9.1. Кроме того, эта
120 ГЛАВА 9
структура довольно типична для маршрутов больших авиалиний, которые
соединяют множество городов, используя концентраторы в качестве промежуточных станций, соединяющих их маршруты. Наличие концентраторов
имеет большое значение для таких фазовых превращений, как упорядочивание спинов, расположенных в узлах безмасштабной системы. Поскольку
концентраторы образуют много связей, в упорядоченном состоянии они содержат большинство спинов. Чтобы нарушить упорядоченность или изменить направление спинов, достаточно перевернуть спины, расположенные
в нескольких концентраторах, примерно 10
−3
–10−4всех узлов [76].
Рис. 9.1. Две сети, содержащие 150 вершин и 4950 связей, которые размещаются
относительно вершин a) по степенному закону; b) по экспоненциальному закону.
В первом случае имеется только несколько вершин с множеством связей («концентраторов»), таких как Чикаго и Атланта в авиалиниях или Google и Yahoo в сети
Интернет
Другое важное отличие между экспоненциальными и безмасштабными
сетями — это различная реакция на повреждение [77]. Под повреждением
понимается устранение некоторых вершин и всех связей, идущих от вершины. Необходимо разделить случайное повреждение (нарушение) и намеренное повреждение (агрессивное воздействие). В то время как для экспоненциальных сетей нет никакого отличия между этими двумя типами
повреждений, так как все вершины в той или иной степени одинаковы, для
безмасштабных сетей существует огромная разница между этими понятиями [78, 79]. Интуитивно становится ясно, что безмасштабные сети весьма
устойчивы по отношению к случайным повреждениям, однако очень чув-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]