Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
8.4. СИСТЕМЫ «МАЛОГО МИРА» 101
могут послужить числа Бэкона и Эрдеша. Знаменитый актер Кэвин Бэкон
сыграл во многих фильмах вместе с большим количеством других актеров, которых можно охарактеризовать различными числами Бэкона, то есть
число Бэкона, равное единице, соответствует актеру, снявшемуся в том же
фильме, что и Бэкон (1472 человека), два — актеру, снявшемуся в том же
фильме, что и актер с номером один (110 315 человек) и т. д. Число людей,
соответствующих числу три Бэкона, равно 260 123 и так далее. В мире науки
подобный процесс связан с именем легендарного математика Пола Эрдеша,
который опубликовал более 1500 научных трудов совместно с 458 сотрудниками, каждому из которых можно присвоить число Эрдеша, равное единице.
Каждому из 4500 ученых, сотрудничавших с последними, присвоим число
два и так далее. Получается, что большинство ученых, опубликовавших
статьи за последние шестьдесят лет, имеют довольно маленькие числа Эрдеша. Один из авторов этой книги, Мош Гиттерман, имеет число Эрдеша,
равное трем, поскольку имеет опыт работы с Дж. Вейсом, который работал с Дж. Гиллисом, сотрудничавшим в Эрдешем. Соответственно второй
автор этой книги, Вивиан Халперн, имеет число Эрдеша, равное четырем,
в результате работы с первым автором.
Впрочем первый довольно странный эксперимент в реальных условиях
был проведен психологом Милграмом [50], который попытался найти «расстояние» между двумя случайно выбранными американскими гражданами,
определяемое как число знакомств, необходимое для того, чтобы установить связь между двумя заданными личностями. Данный эксперимент дает
не слишком определенные результаты, как можно было бы ожидать. С одной стороны, каждый человек знает (достаточно хорошо, чтобы называть
по имени) около ста людей, каждый из которых знает еще сотню и т.д.,
то есть 280 миллионов американцев будет покрыто уже за пять шагов
(280 000 000 (100)
5
). Такое суждение, очевидно, является ошибочным,
поскольку обычно друзья моих друзей тоже мои друзья. Противоположная
точка зрения заключается в том, что потребуется бесконечное количество
шагов, чтобы найти связь, скажем, между каким-нибудь бездомным и президентом США. Эксперимент Милграма дал поражающий результат, что
каждый человек на Земле связан с кем-то еще цепью из самое большее шести личных знакомств. Известная фраза «шесть степеней разделения» стала
неотъемлемой частью нашего «малого мира».
Так или иначе, эта тема получила прочное научное подкрепление, и понятие «малого мира» стало обычным научным термином после публикации
выдающейся статьи Строгаца и Ваттса [51]. Ученые анализировали переход
от однородного графа к случайному. В общем случае под графом понимается набор вершин, соединенных между собой ребрами или хордами. Од-
102 ГЛАВА 8
нородный граф — это граф, в котором каждый узел связан с k ближайшими
соседями (среди которых могут быть как ближайшие соседи, так и соседи
ближайших соседей и т. д.), а в случайном графе связан с k случайными соседями. Два параметра характеризуют свойства «ближнего действия»
и «дальнего действия» графа, содержащего N = L
d
вершин и Nk/2 хорд,
где L — линейный размер графа, d — пространственная размерность. Параметр «дальнего действия» — это среднее минимальное число хорд h(l),
необходимое для того, чтобы перейти из одной вершины в другую, находящуюся на расстоянии l, и оно определяет кратчайший путь между двумя
вершинами. Характер зависимости кратчайшего пути от l различен для
однородных и случайных графов. В то время как для однородного графа
очевидно, что h(l) ∼ l, для случайного графа h(l) ∼ ln(l).Этоможноподтвердить простым доказательством. У каждой вершины есть среднее число
связанных с ней вершин, равное k, и каждая из них также связана с k вершинами, так что для каждой вершины k
Таким образом, через h шагов можно достичь вершины, расположенной на
расстоянии l от заданной вершины, где k
2
вершин имеют число h =2ит.д.
h
= l или h =ln(l)/ ln(k).Можно
также определить кластерный коэффициент c, который является средней
долей соседних вершин, соединенных с заданной вершиной. Этот параметр
определяет ближний порядок, и очевидно, что он приближается к единице
для однородного графа и мал для случайного графа. Отсюда следует, что h
и c велики для однородного графа и они малы для случайного графа.
Рис. 8.1. Три типа графов: однородный, случайный и однородные с небольшим
количеством «кратчайших путей» (малый мир)
Еще один тип графа, занимающий промежуточное положение между однородным и случайным, как показано на рисунке 8.1, предложен
Строгацем и Ваттсом [51]. Они начали с однородного одномерного графа, в котором каждая вершина связана с k ближайшими соседями. Затем
8.5. ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИЕ ГРАФЫ 103
они заменили некоторые из этих связей хордами, соединяющими случайно
выбранные пары вершин («кратчайший путь») с вероятностью p, которая
есть случайное число. Получаем среднее значение pkN/2 таких кратчайших путей. Два предельных случая — это когда p =0(однородный граф)
и p =1(случайный граф). При всех промежуточных значениях 0 <p<1
графы частично случайные (неупорядоченные). Строгац и Ваттс обнаружили, что уже при малом значении p, когда граф еще местами однородный
и имеет лишь небольшое количество «кратчайших путей», он проявляет
свойства, отличные от свойств однородных графов, а именно h(l) ∼ ln(l),
как в случайном графе, однако c остается близким к единице, что характерно для однородного графа. Такие свойства известны под названием «малый
мир» [51]. Резкое уменьшение h от h ∼ l до h ∼ ln(l) связано с небольшим
количеством кратчайших путей, связывающих прежде удаленные друг от
друга вершины.
Теперь, имея в распоряжении три типа графов — однородный («большой мир»), неупорядоченный («малый мир») и случайный, необходимо
определить, какой из них наиболее близок к реальности. Для этого будет удобно изменить используемую терминологию и предположить, что
вершины графов заняты некоторыми объектами, а хорды соответствуют
взаимодействиям между этими объектами. Новые системы назовем сетями.
Концепция сети имеет очень общий характер и включает такие системы,
как взаимодействующие атомы и галактики, различные группы людей, узлы Интернет-сети и т.д. В первой своей статье Строгац и Ваттс рассматривали три различные сети: система киноактеров, система ходов червей
и электрическая сеть Западной Америки. Ученые обнаружили, что для всех
примеров характерно явление «малого мира». Последние исследования показали, что и другие сети принадлежат категории малого мира (см. книгу
Ваттса [52] и последние статьи [53, 54]). В дополнение к топологическим
характеристикам сети h и c, для описания реальных сетей были введены
новые параметры, такие как коэффициент полезного действия и стоимость,
географические расстояния [55] и другие.
8.5. Эволюционирующие графы
До сих пор мы изучали графы с неизменным количеством вершин
и хорд. Однако большинство реальных систем «живые», их размер L со
временем меняется. В этой связи рассмотрим графы, которые определяются тремя параметрами: количеством ближайших соседей k, случайным
числом p и общим количеством вершин L
d
. В предыдущем разделе рас-
104 ГЛАВА 8
сматривалась p-зависимость двух характерных параметров, длины пути h(l)
и кластерного коэффициента c при условии, что k и L постоянные. Как мы
убедились, кратчайший путь h(l) между двумя вершинами на расстоянии l
сильно отличается в однородных и случайных графах, поскольку это расстояние пропорционально l и ln(l) соответственно. Закономерен вопрос,
каковы условия для того, чтобы произошел переход из одного состояния
в другое, или, другими словами, насколько большой должна быть неупорядоченность, чтобы произошло превращение однородного графа в случайный. Граф является однородным, если доля случайных хорд N
1, и случайным, если эта доля велика, то есть 1 − Nrd 1.Об-
N
rd
щее количество хорд равно kL
d
/2,гдеd — пространственная размерность,
rd
мала,
а вероятность встречаемости случайной хорды равна p,поэтомусредняя
доля случайных хорд N
равна Nrd= kLdp/2.ПосколькуNrdв однород-
rd
ном графе мало и в случайных графах равно единице, естественным было
бы предположить, что превращение происходит при некотором переходном
значении размера L
∗
таком, что
1
kL
=
N
rd
2
то есть граф с заданными k и p является однородным, когда L<L
чайным, когда L>L
∗
. Наводящие соображения, позволяющие вывести
∗d
1
, (8.5)
p =
2
∗
,ислу-
уравнение (8.5), подкрепляются анализом ренорм-групп [56]. Для одномерной системы
1
∗
. (8.6)
∼
L
p
Следует отметить, что превращение однородного графа в случайный происходит при некотором значении L
∗
размера L и не важно, как мал´опри
этом будет число p. Более того, существует аналогия между «геометрическим» фазовым превращением и физическими фазовыми превращениями,
рассмотренными в предыдущих главах, а именно — L и p играют роль
длины корреляции и безразмерной температуры соответственно. Далее мы
проведем сравнение между характеристической длиной L
∗
и длиной корре-
ляции ξ.
8.6. Фазовые превращения в системах малых миров
В предыдущем разделе мы проанализировали «геометрическое» фазовое превращение из однородного графа в случайный граф. Однако существуют также «физические» фазовые превращения, когда малый мир опре-
8.6. ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ В СИСТЕМАХ МАЛЫХ МИРОВ 105
деляет основополагающую топологию физических объектов, расположенных в вершинах графов, а хорды определяют взаимодействия между этими
объектами. В таком случае мы получаем физические объекты со случайными взаимодействиями. Простой пример — это применение модели Изинга
к линейным полимерам, когда близкие взаимодействия между соседними
мономерами в цепи заменяются случайными взаимодействиями между мономерами, расположенными близко друг к другу в пространстве (а не в цепи). В этом примере требуется немного изменить исходную модель [51],
в которой кратчайшие пути не заменяют близкие взаимодействия, а скорее дополняют их, то есть никакие связи не устраняются из однородной
решетки, но вводятся дополнительные связи.
Напомним результаты анализа однородной одномерной модели Изинга,
проведенные в главе 2. В такой системе с N вершинами нет фазовых превращений при конечных температурах в термодинамическом пределе N →∞.
Однако фазовое превращение по типу среднего поля было обнаружено в модели Каца [30], в которую помимо ближних взаимодействий включается
большое количество (порядка N
2
) слабых взаимодействий между всеми
парами спинов. С точки зрения систем малых миров была исследована теоретически и численно ферромагнитная одномерная модель Изинга. В результате теоретических расчетов [57, 58] стало понятно, что превращение
по типу среднего поля происходит при конечной температуре T
(p) для
c
любого p при условии, что количество вершин достаточно велико. Численное моделирование показывает, что для критических индексов существуют
собственные средние величины [59]. В точках вблизи p =0температура
фазового превращения T
стремится к нулю как |ln(p)|−1.Отсюдаследует:
c
чтобы получить фазовое превращение по типу среднего поля в одномерной системе Изинга, нет необходимости в дальнем взаимодействии между
всеми спинами, достаточно иметь сравнительно небольшое число случайно
выбранных дальних взаимодействий. Отметим также, что свойства среднего поля были обнаружены при моделировании методом Монте-Карло для
модели x–y на основе двумерных графов малых миров [60].
Обсуждаемый вопрос становится более интересным в двумерных
и трехмерных системах, в которых фазовое превращение возникает в однородных системах (p =0), и ожидается, что возникновение небольшой
неупорядоченности (p 1) приведет к смене класса универсальности этого
превращения от модели Изинга для p =0к модели среднего поля для p>0.
Если эта смена происходит при конечном p, то становится непонятно, как
зависят критические индексы от p во время превращения. Оказывается, однако, что переход к свойствам модели среднего поля, возможно, возникает
при всех p>0 при условии, что количество вершин достаточно велико,
106 ГЛАВА 8
хотя численное моделирование приводит к ограничению p 10−3.Если
последнее утверждение верно, то возникает вопрос — какова зависимость p
от температуры фазового превращения T
нашел Герреро [61]. Сравним две интересующие нас характеристические
длины: характеристическую длину L
при малых p. Изящное решение
c
∗
, которая определяет превращение из
однородных свойств (большого мира) в случайные (малого мира), и длину корреляции ξ «физического» фазового превращения. Когда ξ меньше,
∗
, система ведет себя как однородная. Однако с уменьшением темпе-
чем L
ратуры ξ становится больше, чем L
∗
, значение случайных взаимодействий
возрастает, и появляются свойства среднего поля. Таким образом, получается, что переход от однородной решетки (обладающей свойствами модели
Изинга) к решетке малого мира (обладающей свойствами среднего поля)
происходит при ξ ≈ L
при низкой температуре определяется выражением ξ ∼ exp[2J/(kT)] [36],
априL
∗
∼ p−1условие ξ ∼ L∗дает выражение Tc∼|ln(p)|−1всоответ-
ствии с [58]. Для более высокого значения размерности ξ ∼|T − T
и L∗∼ p
−1/d
. Таким образом, разность температур фазового превращения
∗
. В одномерной модели Изинга длина корреляции
c,p=0
−ν
|
для заданного ненулевого параметра случайности p для небольших значений p задана выражением
T
− T
c
c,p=0
∼ p
1/(νd)
. (8.7)
8.7. Заключение
Хотя системы со случайными взаимодействиями изучаются достаточно давно, особенно в контексте теории спиновых стекол, несколько лет
назад был продемонстрирован новый подход, связанный с открытием явлений в малых мирах. Выясняется, что большинство реальных систем многих тел, существующих в природе и человеческом обществе, проявляют
свойства малых миров, обладая ближней структурой, как у однородных систем, и дальней структурой, подобно случайным системам. Такие необычные свойства нашли множественные применения в естественных науках
и социологии [53, 54].
ГЛАВА 9
Самоорганизованная критичность
Системы, состоящие из многих объектов, можно условно разделить на
два типа. С одной стороны, рассматривая материальные объекты с микроскопической точки зрения, можно углубиться в их атомную структуру, рассматривая строение ядер атомов, содержащиеся в них протоны и нейтроны,
которые в свою очередь состоят из кварков и т.д. С другой стороны, можно
рассмотреть большие системы, которыеявляются наследственно сложными,
так как содержат много объектов с множеством степеней свободы и большим количеством соединений между ними. Точно так же, как в предыдущей
главе, эти системы можно описать с помощью сетей, состоящих из вершин
и связей. Вершины могут соответствовать не только атомам или молекулам твердого тела или жидкости, но также группам людей, объединенных
существующими между ними связями, конкурирующим компаниям на фондовом рынке, узлам и соединениям в Интернете и т.д. В нашем анализе мы
рассмотрим те свойства, которые не зависят от типа объектов, расположенных в вершинах, объединенных связями. Такие свойства характерны для
фазовых превращений, которые, как мы обсуждали в главе 7, относятся
к классам универсальности и не зависят от конкретных свойств объектов,
связанных корреляциями.
В предыдущей главе мы классифицировали сети в зависимости от параметров h и c. Классифицировать сети по-другому можно, если ввести
вероятность P(l) ∼ l
расстоянии l.Еслиδ =0, P (l) постоянна и связи всех размеров одинаково
вероятны, как в случайных графах, рассмотренных в предыдущей главе.
С другой стороны, если величина δ велика, то дальние связи малы, поэтому получается однородный граф, содержащий только ближние связи.
При δ, равном бесконечности, получаем первоначальную модель малого
мира Строгаца – Ваттса [51]. Получается, что [62] при δ<δ
дет себя как случайный граф, при δ
априδ>δ
=2.
а δ
2
как однородный граф, хотя для одномерной системы δ1=1,
2
−δ
существования связи между двумя вершинами на
система ве-
<δ<δ2как граф малого мира,
1
1
108 ГЛАВА 9
Мы ввели степенной закон распределения P (l) ∼ l−δдля вероятности
реализации связи между двумя вершинами. Центральная предельная теорема устанавливает, что для независимых случайных событий с конечным
средним a и дисперсией σ свойство x изменяется по нормальному закону
распределения:
P (x)=(2πσ)
−1/2
exp−
(x − a)
2σ
2
.
Колоколообразная кривая нормального закона распределения, вероятно, является наиболее часто встречаемой в научной литературе. Как было показано в предыдущих главах, в некоторых случаях вместо закона нормального
распределения имеет место степенной. Для рассмотренных ранее примеров это были пространственная зависимость функции корреляции в критических точках и зависимость длины корреляции в низкотемпературной
области в модели x–y. В отличие от этих частных случаев систем, находящихся в состоянии равновесия, существует большой класс неравновесных
явлений, подчиняющихся степенным законам. Вследствие своей внутренней динамики такие системы спонтанно переходят в критические состояния
вне зависимости от значений внешних параметров, такое поведение называется самоорганизованной критичностью. Другое название этих систем —
безмасштабные системы, так как степенной закон является масштабно-инвариантным и не включает в себя характерные длины. Эти случаи аналогичны равновесным системам вблизи критических точек, в которых малые
длины не имеют значения, а только характерная длина является длиной
корреляции. Последняя расходится в критической точке, поэтому в этом
состоянии характеристическая длина отсутствует.
9.1. Степенные законы распределения
Начиная разговор о степенных законах распределения, рассмотрим
некоторые эмпирические законы, открытые достаточно давно. Один из
наиболее ранних примеров (1897) — это распределение Парето [63], который описывает распределение богатств w в обществе. Выяснилось, что
количество людей N(w),имеющихбогатствоw, подчиняется зависимости N(w) ∼ w
таты были получены недавно [64] по вероятности финансовых накоплений. Степенному закону распределения, как было обнаружено Гуттенбергом и Рихтером [65] в 1954 году, подчиняются землетрясения, в которых
−α
,гдеα находится между 2 и 3, аналогичные резуль-
9.1. СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 109
освобождается определенное количество энергии E. Эта зависимость имеет
вид N (E) ∼ E
−α
,гдеα =1.5, и не зависит от географического расположе-
ния места землетрясения. Наконец, в 1930-х годах Ципф [66] открыл, что
население городов, а также частота появления тех или иных слов в английском языке подчиняются также степенному закону распределения. Существует множество других систем с распределением по степенному закону,
таких как колебания климата, образование облаков, выпадение осадков, извержения вулканов, лесные пожары, цены на товары, совместные научные
работы, цитирование, структура сети Интернет и транспортные пробки.
А один из наиболее необычных из недавно открытых примеров степенного закона распределения — это благосостояние жителей древнеегипетского
города Акхетатен, результаты основываются на археологических раскопках и предположении, что благосостояние жителей было пропорционально
площади, занимаемой домом [67].
Если для степенного закона распределения построить график в логарифмическом масштабе, он имеет вид прямой. Эта особенность приводит
к интересным следствиям, два из которых особенно важны. Во-первых, это
то, что не имеет смысла определять закономерную прибыль или среднюю
силу землетрясения, как это важно в законе нормального распределения
для кривой Гаусса. Во-вторых, что наиболее важно, поскольку закон распределения имеет вид прямой на графике в логарифмическом масштабе,
то существует некоторый механизм, управляющий землетрясениями всех
масштабов, включая самые катастрофические. Возникновение больших событий часто считают исключениями или катастрофами, однако степенной
закон дает объяснение, что, хотя эти события происходят редко, все же они
ожидаемы и для этого не требуется специальных объяснений. Это может
противоречить нашей интуиции, поскольку мы привыкли тому, что системы,
находящиеся в состоянии равновесия, обладают минимальным потенциалом и внешнее действие всегда пропорционально противодействию. В этом
случае небольшое воздействие на систему приводит к незначительным изменениям, для усиления изменений требуется ввести дополнительные механизмы. Однако даже среди систем, находящихся в равновесии, могут быть
исключения. Одним из таких примеров является расходимость магнитной
восприимчивости в критической точке, и как следствие — существенная
реакция системы в этой точке. Таким образом, даже гравитационное поле, которое в большинстве лабораторных экспериментов пренебрежительно мало, может приобрести важность вблизи точки фазового превращения
жидкость–газ. Из-за бесконечной сжимаемости ∂ρ/∂p в критической точке
даже небольшое изменение давления δp в вертикальной трубке длиной 10 см
приведет к большой разнице δρ ∼ (∂ρ/∂p)δp между плотностью жидкости
110 ГЛАВА 9
в верхней части трубки и на дне («гравитационный эффект» [68]), которая может быть порядка 10%. Аналогичным образом в системах, на которые действуют внешние силы с частотой, близкой по величине к резонансной частоте системы, даже небольшая приложенная сила может привести
к катастрофическим последствиям. Подобный случай произошел 7 ноября
1940 года, когда был разрушен мост через реку Такома.
Основное различие между системами, рассмотренным выше, и теми,
которые мы обсуждаем сейчас, заключается в том, что последние не находятся в состоянии, аналогичном термодинамическому равновесию. Представим некоторую пологую долину такую, что требуется лишь незначительное воздействие для того, чтобы вывести объект из этой долины в другую
долину, имеющую произвольную глубину. Рассмотрим пример человека, находящегося в горах. Если он стоит у подножия горы, то небольшой толчок
не окажет на него существенного влияния. Если же он стоит на гребне, ниже
которого расположен гребень большей ширины, то в результате небольшого
толчка человек может упасть и проделать небольшой путь от одного гребня
к другому. Однако если он стоит на вершине горы с крутым склоном, то
небольшой толчок, направленный в сторону горы, не окажет существенного
действия на человека, в то время как слабый толчок в обратном направлении
приведет к падению. Приведем два наглядных примера таких катастрофических последствий. Сложно назвать причину катастрофы, произошедшей
11 сентября 2001 года на фондовой бирже Нью-Йорка, невозможно объяснить, что повлекло за собой «ч¨ерный понедельник» 19 октября 1987 года,
самый грандиозный биржевой крах в истории, когда за один день было потеряно 20% фондовой конъюнктуры. Второй пример касается исчезновения
динозавров. Не исключено, что причиной этому послужило столкновение
Земли с астероидом, или резкое изменение климата, или извержение гигантского вулкана. Так или иначе, может и не требуется специального объяснения, а данное явление — исчезновение динозавров — могло произойти
по причине внутренних особенностей экосистемы.
9.2. Песочная куча
Куча песка используется в качестве модели представления степенных
законов распределения. Песочные частички бросают одну за другой, медленно и равномерно покрывая поверхность стола. Сначала песчинки остаются на тех местах, куда они легли, образуя первый тонкий слой. Затем
песчинки начинают скапливаться, образуя кучу. Однако куча не может расти вверх до бесконечности. На определенном этапе куча песка перейдет
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]