Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
ГЛАВА 4
Скейлинг
Масштабирование — общий и хорошо известный метод описания поведения систем; для физических систем он наиболее часто используется для
размерного анализа и составления безразмерных величин. Рассмотрим этот
метод на простых примерах.
Рассмотрим падение свободного тела (сопротивлением воздуха будем
пренебрегать) массой m под действием силы тяжести mg. Если тело падает
из состояния покоя, то предполагается, что его скорость v после падения
свысотыh будет зависеть от m, g и h: v = f (m, h, g).Предположим,
что существует некоторая степенная зависимость v от этих параметров:
v = am
нении величины по обе стороны знака «=» должны иметь одинаковую размерность. Поскольку [v]=LT
где L — единица измерения длины, T — единица измерения времени, M —
единица измерения массы, то
αhβgγ
,гдеa — безразмерная постоянная. В рассматриваемом урав-
−1
, [h]=L, [m]=M и [mg]=MLT−2,
−1
= MαLβ(LT−2)γ. (4.1)
LT
Данное уравнение имеет единственное решение при α =0, β = γ =1/2,
откуда v = a
√
gh. Итак, мы получили функциональную зависимость v от g
и h; не решая задачу о движении тела, можем заключить, что если увеличить
в четыре раза высоту падения тела, то скорость его увеличится вдвое.
Другой пример, связанный с техникой, — это движение шара радиуса R в жидкости вязкостью η со скоростью v под действием приложенной
кшарусилыF .Предположим,чтоF = aR
сти величин по обе стороны от знака «=». Так как [F ]=MLT
[v]=LT
−1
и [η]=ML−1T−1,получим,чтоα = β = γ =1,откудаследует
αvβηγ
, и приравняем размерно-
−2
, [R]=L,
формула Стокса F = aRvη. Во втором примере, в отличие от первого, нам
пришлось решить (или предположить), какой из четырех параметров (радиус, скорость, масса объекта или вязкость среды) важен, поскольку для механических величин (в противоположность электромагнитным) существует
42 ГЛАВА 4
только три независимые единицы измерения — массы M, длины L ивремени T . Проведенный нами размерный анализ используется в технике для
анализа сил сопротивления воздуха при движении автомобиля либо подъемной силы крыла самолета, хотя следует принимать во внимание, что форма
автомобиля и самолета отлична от сферической.
Масштабирование также имеет большое значение для представления
на одной кривой различных значений параметров, полученных в результате
теоретических прогнозов и экспериментов. В основе этого метода лежит
тот факт, что однородная функция f(x, y) от x и y порядка p определяется
исходя из условия:
f(λx, λy)=λ
Допустим, λ =1/x,тогдаf (1,y/x)=(1/x)
f(x, y)=x
p
f1,
p
f(x, y). (4.2)
p
f(x, y),откуда:
y
= x
x
y
p
. (4.3)
ψ
x
Исходя из уравнения (4.3) можно сделать вывод, что однородная функция
двух переменных может быть приведена к функции одной переменной,
так что, выбрав соответствующие переменные (f(x, y)/x
p
и y/x), можно
добиться, чтобы все данные могли быть представлены на одной кривой.
Рассмотрим также обобщенную однородную функцию [14]:
a
x, λby)=λpf(x, y), (4.4)
f(λ
которая преобразуется в (4.2) при a = b.
4.1. Соотношения между критическими индексами
Критические индексы, о которых велась речь в предыдущих главах,
определяют характер изменения термодинамических параметров вблизи
критической точки. В таблице 4.1 приводится список критических индексов
и соответствующие формулы для определения термодинамических величин. Хотя указанные формулы относятся к магнитным системам, они легко
преобразуются применительно к другим системам. Например, для системы
жидкость–газ магнитное поле H нужно заменить на давление P , а магнитный момент M —наудельныйобъ¨ем. Термодинамические параметры не
являются независимыми переменными, так как между ними существуют
определенные термодинамические соотношения, как и соотношения между
различными критическими индексами. Рассмотрим примеры таких соотношений.
4.1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КРИТИЧЕСКИМИ ИНДЕКСАМИ 43
Таблица 4.1. Критические индексы для тепло¨емкости (α), параметра упорядоченности (β), магнитной восприимчивости (γ), магнитного поля (δ), длины корреляции (ν )
и функции корреляции (η). Индексы α, γ, ν берутся при условии T>T
сы α
, γ, ν—приT<Tcсоответственно. Данные среднего поля являются точными
, а индек-
c
для двумерных моделей Изинга и приближенными для трехмерных моделей Изинга
Показатель Формула Ус л ови е Среднее 2D-модель 3D-модель
степени поле Изинга Изинга
α C ∼
β M ∼
γ χ ∼
δ H ∼|M |
ν ξ ∼
η g(r) ∼
T − T
Tc− T
T − T
T − T
T
r
T
c
T
T
c
δ
c
1
d−2+η
−α(−α)
c
c
−γ(−γ)
c
−ν(−ν)
c
H =0 0 (разрыв) 0 (ln) ∼ 0.11
β
H =0; T<Tc0.5 0.125 ∼ 0.32
H =0 1 1.75 ∼ 1.24
T = T
c
3 15 ∼ 4.82
H =0 0.5 1 ∼ 0.63
T = T
c
0 0.25 ∼ 0.03
Известная формула [1], связывающая тепло¨емкости cHи cMмагнитных систем (в немагнитных системах соответственно — c
и cv), имеет
P
следующий вид:
c
H
− cM=
T (∂M/∂T)
(∂M/∂H)
Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы c
2
H
. (4.5)
T
было боль-
M
ше нуля, а из уравнения (4.5) следует, что
2
H
. (4.6)
T
C
H
T (∂M/∂T)
<
(∂M/∂H)
Подставив в (4.6) критические индексы из таблицы 4.1, получим
−α>τ2(β−1)+γ
где τ = |T − T
τ
|/Tc. Поскольку вблизи критической точки τ 1, то урав-
c
, (4.7)
нение (4.7) приводит к следующему соотношению для критических индексов [15]:
α + β +2γ 2. (4.8)
44 ГЛАВА 4
Ниже будет приведено еще одно неравенство. При T1<Tc:
G(T
)=G(T1,M1)+
c,M1
T
c
∂G
dT = G(T1,M1) −
∂T
T
1
m
T
c
SdT. (4.9)
T
1
Поскольку из условия устойчивости системы следует, что
2
G
∼−
∂
∂T
> 0,
2
M
c
M
производная (∂G/∂T) должна быть убывающей функцией от T и, следо-
вательно, S = −(∂G/∂T )
должна быть возрастающей функцией от T .
M
Тогда из уравнения (4.9) следует, что
G(T
) G(T1,M1) − (Tc− T )S(T1,M1)(4.10)
c,M1
и
G(T
При T<T
) G(T1,M1) − (Tc− T1)S(Tc,M1). (4.11)
c,M1
магнитный момент M(T ) возникает спонтанно, поэто-
c
му G(T,M(T )) и S(T,M(T )) полностью определяются температурой T,
и неравенство (4.10) можно представить следующим образом:
G(T
) G(Tc)+(Tc− T1)S(T1). (4.12)
1
Сложив неравенства (4.12) и (4.11), получим
G(T
) − G(Tc) (Tc− T1)[S(Tc) − S(T1)]. (4.13)
c,M1
Таким образом:
G(T
) − G(Tc) ∼ M
c,M1
1+δ
∼ (Tc− T1)
1
и
) − S(T1)] ∼ (Tc− T1)
[S(T
c
1−α
β(1+δ)
.
Из неравенства (4.13) получим [16], что
β(1 + δ) 2 −α. (4.14)
Неравенства (4.8) и (4.14) строгие, так как следуют из термодинамических соотношений. Для того чтобы вывести иные соотношения между
критическими индексами, необходимо воспользоваться дополнительными
приближениями.
4.2. СООТНОШЕНИЯ МАСШТАБОВ 45
4.2. Соотношения масштабов
Существует несколько методов приближенных вычислений, позволяющих определить соотношения масштабов. В наших расчетах мы будем
руководствоваться методом, который предложил Каданов [17]. В основе
метода лежит концепция «блочной» кристаллической решетки, которая выбирается как новая решетка. В этой главе мы будем использовать данный
метод применительно к термодинамике, хотя он применим к функции Гамильтона и используется в качестве основополагающего метода в теории
ренорм-групп, которую мы рассмотрим в следующей главе.
Построение Каданова, показанное на рисунке 4.1 («гипотеза масштабной инвариантности»), складывается из трех следующих этапов.
(1) Разбить исходную решетку Изинга, имеющую единичный период, на
блоки размером L, причем длина блока не должна превышать длину
корреляции: 1 <L<ξ.
(2) Заменить L
d
спинов внутри каждого блока на один спин μi= ±1,
знак которого определяется знаком большинства спинов внутри данного блока. Поскольку размер блока L меньше длины корреляции ξ,то
можно ожидать, что внутри каждого блока большинство спинов будет
иметь один знак. Именно это оправдывает приведенные действия.
(3) Вернуться к исходной узловой решетке, разделив все расстояния на L.
Рис. 4.1. Построение Каданова для квадратной кристаллической решетки, разделенной на блоки из девяти узлов
46 ГЛАВА 4
Целью данной процедуры является усреднение по небольшому количе-
ству степеней свободы или, другими словами, дробление на части с целью
уменьшения степеней свободы системы. Данная процедура не влечет за
собой значительных изменений. Напротив, даже если не найдено точное
решение для исходной и блочной решеток, то уже сопоставление этих двух
задач дает важные результаты.
Термодинамические свойства рассматриваемой системы зависят от
температуры и внешнего магнитного поля h. Пусть температура равна T,
которую мы представим безразмерной величиной τ = |T − T
ответствующие параметры для блочной решетки представим как h
|/Tc,асо-
c
и τ.
Очевидно, что при отсутствии внешнего магнитного поля, действующего
на исходную решетку (h =0), внешнее поле, действующее на блочную
решетку, тоже отсутствует (h
=0. Вследствие этого, так как единственным параметром, характери-
и τ
зующим размер блочной решетки, является размер L, Каданов предложил
следующие зависимости: τ
=0), и аналогичным образом, если τ =0,то
= Lxτ и h= Lyh.
Обозначим свободную энергию одного узла исходной решетки
как f(τ, h), а свободную энергию узла, представляющего собой блок уже
блочной решетки как f(τ
,h
). Поскольку свободная энергия блока является
суммой свободных энергий составляющих узлов, то для размерности d
d
f(τ, h)=f(τ,h)=f(Lxτ,Lyh). (4.15)
L
Решение данного функционального уравнения можно представить в виде:
x/y
, (4.16)
f(τ, h)=τ
d/x
ψτ/h
где ψ — произвольная функция. Это свойство позволяет установить соотношения между критическими индексами, характеризующими различные
свойства системы, без нахождения функции ψ.
Магнитный момент находится следующим образом:
где z = τ/h
x/y
ли z →∞, ψ
d/x
M ∼ [∂f/∂h]
. Зависимость от h можно исключить (h → 0), только ес-
(z) ∼ z
−1−y/x
∼ τ
h=0
, для которых M ∼ τ
τ/h
1+x/y
ψ
(d−y)/x
(z),
.Критический
индекс β определяется по таблице 4.1:
d − y
β =
. (4.17)
x
4.2. СООТНОШЕНИЯ МАСШТАБОВ 47
Тогда магнитная восприимчивость при h → 0 и z →∞равна
χ ∼ ∂M/∂h ∼ τ
d/x
τ/h
1+x/y
2
ψ(z).
Таким образом, ψ
Теплоемкость при h, стремящемся к нулю, то есть при z →∞, C ∼
2
∼ ∂
f/∂τ2∼ τ
В критической точке (τ =0)при z →∞магнитный момент M ∼
∼ τ
ψ
d/x
(z) ∼ z
τ/h
−(1+d/x)
нием M ∼ h
(z) ∼ z
d/x−2
1+x/y
ψ
. Другой критический индекс δ определяется соотноше-
1/δ
при τ =0.Отсюда
−2−2y/x
γ =
,поэтомуχ ∼ τ
2y − d
x
d/x+2−2−2y/x
,откуда
. (4.18)
,поэтому
α =2−
(z) не зависит от температуры при условии, что
δ =
d
. (4.19)
x
y
. (4.20)
d − y
Чтобы найти остальные критические индексы, рассмотрим корреляционную функцию g(r, τ ) для исходной и блочной решеток. Во-первых,
определим средние спины исходной решетки и блочной решетки S и μ
соответственно. Для этого сопоставим энергию блока, состоящего из L
спинов, исходной решетки, находящейся под действием внешнего магнитного поля h, с энергией узла блочной решетки, находящейся под действием
поля h
Мы получили, что S∼L
и блочной решеток g
= Lyh соответственно:
hL
y−d
и gμможно выразить следующим образом:
s
g
(r, τ )=L
s
d
S = hLyμ. (4.21)
μ, а корреляционные функции исходной
2(y−d)
r
g
μ
x
τ. (4.22)
,L
L
d
Выполнив подстановку, получим, что решение функционального уравнения (4.22) имеет следующий вид:
(r, τ )=r
g
s
2(y−d)
Ψ(rτ
1/x
), (4.23)
48 ГЛАВА 4
где Ψ — произвольно взятая функция. В критической точке (τ =0)предельная форма для функции Ψ(z) должна быть Ψ(z) ∼ const,поэтому g
(r, τ ) ∼ r
s
2(y−d)
. Сравнив полученное выражение со значением крити-
ческих индексов (см. таблицу 4.1), имеем:
2y − d =2− η. (4.24)
Характеристическая длина присутствует в уравнении (4.23) как rτ
чит, ξ ∼ τ
−1/x
или
1
= ν. (4.25)
x
1/x
;зна-
Таким образом, из уравнений (4.17)–(4.25) и (4.24)–(4.25) следует шесть
зависимостей между критическими индексами. Исключив из данных зависимостей неизвестные параметры x и y, получим следующие зависимости
между различными критическими индексами:
α + β +2γ =2,βδ= β + γ,
γ = ν(2 − η),α=2−dν.
(4.26)
Из проведенного нами анализа следует: когда критические индексы
заданы для T>T
и T<Tc, то можно провести расчеты для обоих слу-
c
чаев и выяснить, что поведение термодинамических функций симметрично
относительно T
,тоесть
c
,ν= ν,γ= γ. (4.27)
α = α
Из уравнений (4.26) и (4.27) следует, что в рамках гипотезы масштабной
инвариантности существует семь зависимостей между девятью критическими индексами, то есть лишь два индекса являются независимыми. Эти
два индекса будут определены в следующей главе с помощью теории ренорм-групп.
Поскольку гипотеза масштабной инвариантности основывается на
некоторых аксиомах, имеет смысл проверить справедливость данной гипотезы на примере критических индексов, значения которых приведены
в таблице 4.1. Очевидно, что выражения для критических индексов (4.26)
справедливы для точного решения Онзагера двумерной модели Изинга,
а также для теории среднего поля (за исключением последней зависимости
от размерности в уравнении (4.26)). Также становится очевидным, насколько важно получить точные экспериментальные значения для критических
индексов.
4.3. ДИНАМИЧЕСКОЕ МАСШТАБИРОВАНИЕ 49
4.3. Динамическое масштабирование
В дополнение к вышеуказанным правилам масштабирования, описывающим статические свойства системы вблизи критической точки, динамические свойства системы также проявляют сингулярности, которым соответствуют динамические критические индексы. Поскольку динамические
свойства характеризуют систему при ее приближении к состоянию равновесия, их нельзя определить с помощью выражения для статического параметра порядка в рамках теории среднего поля. Напротив, требуется учесть
отклонения параметра порядка в системе и таким образом использовать
выражение для определения энергии Гиббса, учитывающее флуктуации,
полученные в главе 3:
G(η)=G
Как это было сделано в главе 3, опустим слагаемые, содержащие η
как за счет члена (∇η)
2
энергия становится зависимой от η даже при T = Tc,
когда A =0. Для статически равновесной системы, в которой η не зависит
от времени, должно выполняться условие ∂G/∂η =0и ∂
+ Aη2+ Bη4+(∇η)2. (4.28)
0
4
2
G/∂η2> 0,
,так
поэтому примем, что если система приближается к состоянию равновесия,
то
dη
dt
= −Γ
δG
δη
= −Γ
∂G
−∇
∂η
∂G
∂(∇η)
. (4.29)
Данное выражение известно в литературе как уравнение Ландау – Халатникова. В качестве справедливости данного уравнения приведем следующий
факт: в состоянии равновесия обе части уравнения обращаются в нуль. Выберем такой временной масштаб, чтобы Γ=1/2, в результате получим,
что
dη
dt
2
= ∇
η − Aη. (4.30)
Как и в предыдущей главе, воспользуемся преобразованием Фурье, для
этого подставим вместо η в уравнение (4.29) η
(t)=ηK(0) exp−t(A+K2)= ηK(0) exp−t[a(Tc−T )+K2], (4.31)
η
K
:
K
где значение A мы определили, взяв за основу теорию среднего поля Ландау. Если обозначить время установления конфигурации через τ
(t)=ηK(0) exp[−t/τK],получим,чтоприK =0время установления
бы η
K
равно τ
тического значения T
∼ 1/(Tc−T ) и стремится к бесконечности при достижении T кри-
0
, в то время как при других значениях KτK∼ 1/K
c
,что-
K
2
50 ГЛАВА 4
при T>Tc. Таким образом, вблизи критической точки процесс перехода в состояние равновесия протекает очень медленно, такое явление носит
название критического замедления. Очень непросто установить, находится ли система в состоянии равновесия в момент измерения ее параметров
в данном случае.
Вышеуказанные результаты справедливы в условиях приближения
среднего поля, но мы также можем получить подобные результаты и для
более общего случая по аналогии с уравнением (4.23). Запишем
= f(K, τ )=τzΨ(Kτ−ν), (4.32)
τ
K
где τ — температура, z — динамический фактор. Чтобы τ
была про-
K
порциональна степени τ , Ψ(0) должна быть константой. Отсюда следует,
что τ
∼ τzпри K =0.ПриK =0, τ → 0 и T → Tcаргумент функции Ψ
0
стремится к бесконечности, поэтому τ
только если Ψ(y) ∼ y
поля мы получили, что τ
z/v
,приэтомτK∼ K
∼ 1/τ при τ → 0 и τK∼ 1/K2,откудаz = −1
0
может иметь конечное значение,
K
z/v
. В рамках теории среднего
и z/v = −2, что подтверждает определенное ранее соотношение v =1/2.
В этой связи при описании динамических свойств системы обнаруживается
еще один критический индекс z.
4.4. Заключение
Гипотеза масштабной инвариантности в значительной степени упрощает задачу подсчета критических индексов, определяющих поведение термодинамической функции вблизи критической точки. Базовая идея гипотезы
заключается в следующем. Вблизи критической точки длина корреляции ξ
значительно превышает расстояние a между частицами, и появляется много
«блочных» решеток размера L,содержащихL
Естественным было бы предположить, что в любом блоке почти все спины будут направлены либо вверх, либо вниз, как и в исходной узловой
решетке. Поэтому критические явления будут идентичны во всех блочных
решетках при условии, что для внешних параметров, таких как температура и магнитное поле, в отличие от узловых решеток, соблюдается масштаб,
соответствующий простой степенной зависимости от L.Несмотрянато
что два критических индекса, определяющие характер изменения внешних
параметров, остаются неизвестными, все остальные критические индексы
могут быть легко выражены через эти два индекса. Масштабным соотношениям, полученным с помощью данной гипотезы, удовлетворяет точное
d
спинов, при этом a<L<ξ.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]