Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
4.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 51
решение двумерной модели Изинга и решение, полученное с помощью теории среднего поля. Упрощенное исследование динамических явлений вблизи критических точек, которые приводят к явлению замедления при приближении к состоянию равновесия, требует определения дополнительного
(динамического) критического индекса.
ГЛАВА 5
Ренорм-группа
Теория ренорм-групп используется для нахождения критических индексов, в том числе для модели x −y, которые не удается определить при
помощи гипотезы масштабной инвариантности, рассмотренной в предыдущей главе. Ренорм-группа представляет собой группу преобразований
(будет точнее называть их полугруппами, так как в общем случае обратного
преобразования может не существовать) узловой кристаллической решетки
с постоянным периодом, равным единице, и гамильтонианом H вблочную
кристаллическую решетку с постоянным периодом, равным L,игамильтонианом, равным H
, без изменения статистической суммы:
Z(H, N )=Z(H
,N/Ld).
Фактически данный принцип был использован при получении уравнения (4.15), когда мы сравнивали энергии Гиббса блочных кристаллических
решеток. В этой главе будут рассматриваться соотношения между гамильтонианами блочных решеток.
5.1. Неподвижные точки отображения
Основная идея теории ренорм-групп заключается в том, что преобразование параметра K гамильтониана H узловой кристаллической решетки
в параметр K
исходит таким образом, что K
аналогичной схеме, когда решетка с малыми блоками, подобно узловой кристаллической решетке, преобразуется в решетку в большими блоками, для
которой K
блоков до тех пор, пока они не достигнут длины корреляции. Такой процесс
представляет собой пример отображения, то есть однозначно определ¨енной
закономерности, связывающей два соседних члена последовательности x
так, что x
гамильтониана Hблочной кристаллической решетки про-
= f(K)=ff(K)и т. д. в направлении увеличения размеров
= f(xn). Этот процесс может остановиться на определенном
n+1
= f (K ). Процесс может повторяться по
n
5.1. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ 53
Рис. 5.1. Неподвижная точка логического отображения
этапе (n →∞),когдаx∗= f (x∗),иx∗будет называться неподвижной
точкой отображения. В качестве наиболее простого примера нелинейного
отображения можно привести логическое отображение [19]
= f(xn)=μxn(1 − xn), 0 <x<1,μ>1, (5.1)
x
n+1
∗
в котором неподвижными точками являются корни уравнения x
∗
). Поскольку данное отображение представляет собой квадратичную
− x
функцию, оно должно иметь две неподвижные точки x
∗
= μx∗(1 −
=0и x∗=1−
− 1/μ. На рисунке 5.1 показаны неподвижные точки логистического отоб-
ражения — это точки пересечения параболы f(x) и диагонали единичного
квадрата. Графически можно представить процесс вычисления членов ряда логистического преобразования следующим образом. Из некоторой (начальной) точки x
пересечения позволяет вычислить значение x
проведем вертикаль до пересечения с параболой, точка
0
= f(x0). Через полученную
1
точку проведем горизонталь до пересечения с диагональю — получим новую
начальную точку x
не получим неподвижную точку x
неподвижной точки, введем отклонение ξ
для следующего приближения и т.д. до тех пор, пока
1
∗
=1−1/μ. Чтобы изучить устойчивость
:
n
= x∗+ ξ
x
n
и подставим это соотношение в уравнение (5.1). Разложив функцию f (x
в ряд Тейлора в точке x
∗
и оставив только слагаемые, линейные по малым
n
(5.2)
)
n
54 ГЛАВА 5
отклонениям ξn,получим
df
=
ξ
Если |df / d x |
n+1
∗
< 1, то малое расстояние ξnот неподвижной точки с каж-
x=x
dx
дым шагом будет сокращаться, в этом случае множество точек x
ξn. (5.3)
∗
x=x
n
будет
стремиться к неподвижной точке и она будет устойчива. С другой стороны,
если |df / d x |
го отображения, соответствующего уравнению (5.1), (df / d x )=μ(1 − 2x),
апосколькуμ>1, данное выражение больше единицы при x
ше единицы при x
∗
> 1, то неподвижная точка неустойчива. Для логическо-
x=x
∗
∗
=1−1/μ, поэтому неподвижная точка для последнего
=0и мень-
случая устойчива.
5.2. Основной принцип теории ренорм-групп
Вышеприведенное логистическое отображение демонстрирует метод,
используемый в теории ренорм-групп. Предположим, что неподвижная точка достигается на определенном шаге последовательных приближений согласно соотношению
= f(K)=ff(K)= ...;
K
внеподвижнойточкеK
делить критическую температуру K
Данное предположение будет тем точнее, чем ближе приближается размер
используемого блока кристаллической решетки к масштабу корреляции, то
есть зависит от числа шагов итерационного процесса.
Важным свойством теории ренорм-групп является то, что она позволяет определить не только критическую температуру, но и критические индексы. Действительно, вблизи неподвижной точки имеем соотношение
∗
= f (K∗),гдеK = J/(kT), это позволяет опре-
∗
= J/(kTc), как будет показано ниже.
K
− K∗= f(K) − f (K∗) ∼
df
dK
(K −K∗)+ ... (5.4)
∗
K=K
Суть метода заключается в том, чтобы, не зная точного решения, пытаться провести сравнение решений задачи для решеток различных размеров.
Обозначим через g(K) свободную энергию узла, тогда для блока, состоящего из L
d
узлов, Ldg(K1)=g(K2), Z(K1,N)=Z(K2,N/Ld).Какбыло
5.2. ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП ТЕОРИИ РЕНОРМ-ГРУПП 55
отмечено ранее, мы предполагаем, что свойства рассматриваемых решеток будут одинаковы, если размер блоков будет меньше длины корреляции
в исходной системе. Будем определять неподвижную точку и критическую
температуру фазового превращения, предполагая длину корреляции равной
бесконечности. Наличие неподвижной точки говорит о фазовом превращении. Если K
близко к K и K∗, соотношение (5.4) для T = J/(kK) можно
записать следующим образом:
df
dK
df
dK
K=K
K=K
(T − T∗). (5.5)
∗
ln(L). (5.6)
∗
= Lxτ,
− T∗∼
T
Сравнивая уравнение (5.5) и основное масштабное соотношение τ
где τ = |T − T
|/Tc,получим
c
x =ln
Если существует более одного внешнего параметра, например K и H,исуществует функция f , зависящая от двух переменных f = f (K, H ), то уравнение ренорм-групп примет вид
K
= f1(K, H),H= f2(K, H); (5.7)
и, решая эти уравнения, можно получить неподвижную точку
∗
K
= f1(K∗,H∗),H∗= f2(K∗,H∗). (5.8)
По аналогии с соотношением (5.5) получим
df
1
dK
df
2
dK
K=K
K=K
(T − T∗)+
∗
(T − T∗)+
∗
H
T
− T∗∼
− H∗∼
В конечном итоге, приведя получаемую матрицу 2 × 2 к диагональному
виду и записав диагональные элементы через L
df
1
dH
df
2
dH
(H −H∗),
∗
K=K
(H −H∗).
∗
K=K
x
и Ly, можно определить
(5.9)
критические индексы x и y.
Необходимо отметить, что действия, описанные выше, представляют
собой простейшую пространственную методику в теории ренорм-групп.
Во многих случаях методика ренорм-групп используется не для реального,
а для импульсного пространства.
56 ГЛАВА 5
5.3. Метод ренорм-групп при решении одномерной модели
Изинга
Начнем наш анализ с применения метода ренорм-групп для решения
простейшей системы — одномерной модели Изинга — хотя в этой системе фазовое превращение, как мы рассмотрели в 2.1, не происходит. Для
исходной одномерной решетки Изинга (2.3) статистическая сумма по конфигурациям (2.4) при K = J/(kT) имеет вид:
Z(K, N)=expK(S
+ S2S3+ ... + S
1S2
N−1SN
), (5.10)
где суммирование производится по направлениям спинов в N узлах. На
первом шаге исключим спины, расположенные в четных узлах, получим
N/2 спинов (которые мы раньше обозначали как μ
значать их через S
му Z(K
,N/2), в которую входят только нечетные спины. Первые два члена
). Далее нам необходимо найти статистическую сум-
2j−1
экспонент уравнения (5.10) после суммирования по S
, теперь будем обо-
j
= ±1 можно запи-
2
сать следующим образом:
expK(S
+ S3)+exp−K(S1+ S3)= F expK(S1S3). (5.11)
1
Аналогично можно поступить и с двумя следующими членами. В этом
случае мы исключаем из суммы все спины с четными индексами. Теперь
можно сравнить статистические суммы для узловых и блочных решеток
и записать
Z(K, N)=F
Из уравнения (5.11) получаем, что для S
2ch(2K)=F exp(K),
N/2
Z(K,N/2). (5.12)
= S3и S1= −S
1
2=F exp(−K
),
3
(5.13)
следовательно,
K
1
lnch(2K),F=2
=
2
ch(2K). (5.14)
Сравним величины свободных энергий узлов узловой f
(K) решеток. Так как
ной f
2
f
(K)=
1
1
lnZ(K, N),f
N
(K)=
2
2
N
lnZ(K
(K) иблоч-
1
,N/2),
5.4. МЕТОД РЕНОРМ-ГРУПП ДЛЯ КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКИ (1) 57
то из уравнения (5.12) следует, что
)=2f (K) − ln2ch(2k). (5.15)
f(K
При этом
1
K
=
2
то есть K
lnexp(2K)+exp(−2K)/2<
меньше, чем K , поэтому, многократно удваивая размер блоков,
1
lnexp(2K)/2= K −
2
1
2
ln 2,
мы придем к тому, что между далеко расположенными спинами будет очень
слабое взаимодействие. В этой связи, действуя в противоположном направлении — от малых до больших взаимодействий, можно начать с малого
взаимодействия, скажем, K
=0.01, при котором Z (K) ≈ 2Nи f ≈ ln(2).
Воспользовавшись вышеприведенными нами уравнениями, можно определить величину ренормированного взаимодействия и соответствующей свободной энергии. Получается [18], что для перехода от K
=0.01 кточным
результатам требуется восемь шагов.
При конечной температуре в одномерной модели Изинга фазовые превращения невозможны, целью нашего анализа явилось лишь показать на
простом примере, как работает метод ренорм-групп. А теперь обратимся
к двумерной модели Изинга, для которой, как было доказано в главе 2,
имеет место фазовое превращение.
5.4. Метод ренорм-групп двумерной модели Изинга для
квадратной решетки (1)
Для квадратной решетки в двумерной модели Изинга статистическая
сумма по состояниям учитывает взаимодействие между выделенным спином и четырьмя ближайшими соседними спинами, что усложняет анализ.
Но мы выполним те же действия, что и в случае одномерной модели Изинга, — построим блочную решетку, в которой у половины узлов отсутствуют
ближайшие соседи, как показано на рисунке 5.2, и суммируем по взаимодействиям между спинами в пропущенных узлах. Так как спин S
ложенный в узле (0, 0), взаимодействует со спинами S
, S2, S3, S4, рас-
1
положенными в узлах (0, 1), (1, 0), (0, −1), (−1, 0) соответственно, при
суммировании мы должны учесть все члены, начиная с S
можными значениями (S
1,S2,S3,S4
). Сразу становится очевидно, что ука-
= ±1,и16воз-
0
занные 16 конфигураций делятся на четыре различные группы, из которых
, распо-
0
58 ГЛАВА 5
Рис. 5.2. Квадратная решетка модели Изинга с исключенными поочередно узлами
следуют четыре различных уравнения вместо двух уравнений (5.13), которые были определены для одномерной модели Изинга. Чтобы данные
уравнения выполнялись, мы должны ввести три различных взаимодействия
в сумму для блочной решетки, то есть заменить ячейку узловой решетки, показанную на рисунке 5.2, следующими взаимодействиями в блочной
решетке:
expK(S
(В уравнении K
спинов S
+ S2+ S3+ S4)+exp−K(S1+ S2+ S3+ S4)=
1
= Fexp(K
/2 используется вместо K1, поскольку произведение
1
также встречается в других членах статистической сум-
1S2
/2)(S1S2+ S2S3+ S3S4+ S4S1)+
1
+K
2(S1S3
+ S2S4)+K3S1S2S3S
4
. (5.16)
мы для блочной решетки.) Для того чтобы определить значения четырех неизвестных F, K
нения различные значения спинов (S
Для (S
1,S2,S3,S4
ln2ch(4K)=lnF +2K
Аналогичным образом для (S
адля(S
1,S2,S3,S4
, K2, K3, подставим в обе части данного урав-
1
1,S2,S3,S4
) и возьмем логарифмы.
)=(1, 1, 1, 1) из уравнения (5.16) получим
+2K2+ K3. (5.17)
1
1,S2,S3,S4
ln2ch(2K)=lnF −K
)=(1, 1, 1, −1) получим
, (5.18)
3
)=(1, 1, −1, −1)
ln 2 = ln F − 2K
2
+ K
3
(5.19)
5.5. МЕТОД РЕНОРМ-ГРУПП ДЛЯ КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКИ (2) 59
идля(S1,S2,S3,S4)=(1, −1, 1, −1)
ln 2 = ln F − 2K
+2K2+ K3. (5.20)
1
Полученная система, состоящая из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными, имеет единственное решение
K
1
=
2
= K2−
3
1
=
2
lnch(4K),
8
1
lnch(2K),
2
1/2
ch(4K )
1/8
(5.21)
.
K
K
F =2ch(2K)
В отличие от одномерной модели Изинга, для двумерной модели, как
и в других случаях, результирующие взаимодействия в блочной решетке
оказываются сложнее, чем в исходной решетке, поэтому точный анализ
методом ренорм-групп не подходит для их решения. Для того чтобы продолжать анализ, требуется ввести аппроксимацию. В качестве простейшей
аппроксимации можно пренебречь K
и K3, но тогда мы в итоге придем
2
к решению, полученному для одномерной модели Изинга, когда фазовое
превращение невозможно. Для получения результатов, имеющих физический смысл, предположим, что взаимодействие между четырьмя спинами
настолько мало, что им можно пренебречь. Члены, содержащие K
и K2,
1
соответствуют взаимодействиям между ближайшими соседями в блочной
решетке, и оба находятся под воздействием параллельных спинов, поэтому
можно положить K
+ K2= K.Откуда
1
3
lnch(4K). (5.22)
=
K
8
Наконец, как было выяснено выше, фазовое превращение возникает,
когда K является неподвижной точкой отображения, то есть K = K
В двумерной модели Изинга это приводит к тому, что K
=0.44069 [4],
c
= Kc.
следовательно, погрешность составляет 13%. Это неплохой результат для
приближ¨енной оценки, который говорит о том, что базовая идея верна.
5.5. Метод ренорм-групп для решения модели Изинга для
квадратной решетки (2)
Возьмем другую блочную решетку, при образовании которой в один
блок объединим пять соседних спинов, как показано на рисунке 5.3. Спин μ
a
60 ГЛАВА 5
Рис. 5.3. Модель Изинга для квадратной решетки, содержащей пять узлов в блоке
Рис. 5.4. Различные конфигурации спинов для блока из пяти узлов квадратной решетки. Черные и белые кружки обозначают противоположно направленные спины. Для каждой конфигурации показано количество состояний, приведено значение
энергии
блочной решетки определяется по правилу
5
=sgn
μ
a
Как видно, блочная решетка — это тоже квадратная решетка с расстоянием
между блоками L =
значений для S
√
a
5.Приμa=1существует шестнадцать возможных
, которые можно разделить на шесть различных групп, как
a
S
. (5.23)
i
i=1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]