Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Фазовые превращения. Краткое изложение и современные приложения
.pdf
МОДЕЛЬ ИЗИНГА 21
в первую очередь рассчитать энергию множества возможных состояний
большого количества частиц, а затем провести суммирование (или интегрирование для непрерывных переменных) по всем вероятным состояниям.
Только для некоторых отдельных систем можно провести точные расчеты,
результаты которых полезно проанализировать.
Обратимся к конструктивной работе Онзагера [4]. Возможно ли методами статистической механики достаточно точно изучить фазовое превращение, то есть с помощью простого уравнения (2.1), содержащего T ,найти
нетривиальные особые точки термодинамических функций, возникающих
при некоторой температуре. Ответом на этот вопрос служит тот факт, что
особые точки возникают только в системе неограниченного размера, имеющей бесконечное число конфигураций. Это обозначает бесконечное число
слагаемых в (2.1), вычисление которых может дать особые точки.
Приступим к изучению одной из самых простых модельных систем —
так называемой модели Изинга. В основе модели Изинга лежат три предположения.
(1) Объекты (называемые частицами) располагаются в узлах кристалличе-
ской решетки.
(2) Каждая i-я частица может находиться в одном из двух состояний, ко-
торые мы называем «спинами» и обозначаем S
. Принимаем Si= ±1.
i
(3) Энергия системы равна
E = −J
SiSj, (2.3)
(i,j)
где J — некоторая постоянная, при этом суммирование производится
по всем парам соседних частиц, то есть по всем i и j, соответствующим
ближайшим соседям. Таким образом, в линейной решетке каждая ча-
стица взаимодействует только с двумя ближайшими соседями, в квад-
ратной решетке — с четырьмя, а в кубической — с шестью ближайшими
соседями.
Несмотря на свою простоту, модель Изинга нашла широкое применение там, где объект имеет два возможных состояния: две вероятных структуры, в которых одно место может быть занято, например, одним из двух
атомов — A или B, частицей или дыркой. В качестве примера можно привести победу на политических выборах одной из двух партий и т. д. Это подтверждает два первых предположения модели Изинга. Большее количество
22 ГЛАВА 2
возможных состояний описывается так называемой моделью Поттса [5],
в которой имеет место взаимодействие не только с ближайшими соседями,
но и с соседями ближайших соседей, с соседями их соседей и т.д. Это значительно усложняет задачу. С другой стороны, приближение кристаллической
решетки не столь важно для анализа фазовых превращений, поскольку, как
станет ясно далее, для фазовых превращений важны большие расстояния.
История Изинга интересна сама по себе [6]. В 1924–1926 гг. Изинг был
докторантом знаменитого немецкого физика Вильгельма Ленца, который
и подал ему эту идею. В своей диссертации Изинг справедливо утверждал,
что фазовые превращения в системе не происходят в одном измерении.
Он также утверждал, что в двух измерениях фазовое превращение тоже
невозможно. Однако это утверждение Изинга было опровергнуто Онзагером в 1944. После защиты диссертации Изинг начал преподавательскую
практику в колледже, а когда нацизм пришел к власти в Германии, уехал
в Люксембург. Затем Изинг напоминает о себе в 1948, когда он преподает
в небольшом университете в США. Он умер в 1990 г. и за всю свою жизнь
опубликовал только две научные работы: первой была его диссертация, вторая называется «Goethe as a physicist» (Г¨ете как физик). Тем не менее когда
он в 1948 г. приехал в Америку, то обнаружил сообщения о конференциях,
посвященных модели Изинга. Эта модель до сих пор пользуется широкой
популярностью как упрощенная модель фазового превращения.
2.1. Одномерная модель Изинга
Рассмотрим одномерную модель Изинга и рассчитаем статистическую
сумму. Представим, что система состоит из N частиц и сумма по состояниям
выражается следующим образом:
exp
J
(S
kT
+ S2S3+ ... + S
1S2
N−1SN
). (2.4)
=
Z
N
Sj=±1
Для системы, содержащей N +1частиц, в сумму входит дополнительный
член, поэтому можно записать следующее соотношение:
. (2.5)
Так как S
NSN+1
по индукции
= Z
Z
N+1
= ±1,тоZ
Z
N
ch
exp
J
kT
J
S
NSN+1
kT
N−1
. (2.6)
SN,S
N+1
N
=±1
N+1
=2ch(J/kT )ZN. И поскольку Z1=2,то
N
=2
2.2. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА 23
Отсюда, если N 1, то свободная энергия равна
J
F = −kT ln Z = −NkT ln2ch
. (2.7)
kT
Так как энергия F — это монотонная функция от T,неимеющаяособых
точек, кроме как при T =0, в одномерной модели Изинга фазовое превра-
щение невозможно при любой конечной температуре.
Другой тип системы, представляющий для нас интерес, — это система,
в которой частицы воздействуют друг на друга очень слабо, но с бесконечным радиусом действия:
ϕ(r)=− lim
γ exp(−γr).
γ→0
Такая система отличается от модели Изинга, в которой взаимодействие происходит на малых расстояниях. Эта система будет рассмотрена в главе 7.
В действительности для того чтобы возникло фазовое превращение, взаимодействие между всеми спинами системы не обязательно. Фазовое превращение может возникнуть и при условии существования хаотичных взаимодействий на больших расстояниях совместно со взаимодействиями на
коротких расстояниях, как в модели Изинга. Эта модель называется «малой
моделью мира», мы ее рассмотрим в главе 8.
2.2. Двумерная модель Изинга
Точное решение двумерной модели Изинга было представлено в 1944 г.
Онзагером. Работа содержит сложное и очень длинное доказательство, которое, даже после значительных упрощений, в книге Ландау и Лифшица [1]
занимает 7 страниц, написанных в лаконичном классическом стиле. Как
бы то ни было, мы постараемся изложить некоторые весомые аргументы,
проливающие свет на фазовые превращения в двумерной модели Изинга.
Для того чтобы проанализировать значимость энергии E и энтропии S
для фазовых превращений порядок–беспорядок, будет удобно представить
свободную энергию Гельмгольца следующим образом: F = E − TS.При
любой температуре стабильное состояние соответствует минимальному значению энергии F. При низких температурах энергия E играет ведущую
роль, так как ее минимальное значение соответствует упорядоченному состоянию. При высоких температурах F определяется энтропией S так, что
при максимальном S свободная энергия F минимальна. Таким образом,
существует некоторая температура T = T
, при которой упорядочивающее
c
24 ГЛАВА 2
действие энергии и разупорядочивающее действие энтропии уравновешены. Данную температуру можно количественно оценить следующим образом:
ΔE
T
≈
c
. (2.8)
ΔS
Рис. 2.1. Квадратная решетка двумерной модели Изинга, на которой черными точками обозначена область частиц с противоположными спинами
Для того чтобы применить данное приближение к двумерной модели Изинга, рассмотрим состояние решетки Изинга, показанное на рисунке 2.1 [7]. Справедливо возникает вопрос, может ли произойти спонтанный переход от упорядоченного состояния 1 в состояние 2, в котором
кристаллическая решетка содержит область периметром длины L частиц
с противоположным направлением спина. Для того чтобы это произошло,
свободная энергия состояния 2 должна быть меньше, чем свободная энергия состояния 1. Чтобы определить, при каких условиях это происходит,
рассмотрим изменение энергии и энтропии при формировании области частиц с противоположными спинами. Так как энергия каждого узла решетки, лежащего на периметре области, увеличивается на 2J, то энергия всей
области равна ΔE =(2J)L. С другой стороны, вероятность W образова-
ния такой области приблизительно равна 3
L
,посколькучерезкаждыйузел
2.2. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА 25
кристаллической решетки граница области может идти в трех различных
направлениях. Таким образом, прирост энтропии равен ΔS ≈ ln(3
L
N),где
множитель N — количество возможностей выбора исходной точки. Данное
суждение является приблизительным, потому что мы пренебрегаем необходимостью возвращения в исходную точку через L шагов, а также и требованием, чтобы периметр не пересекал сам себя. С указанными оговорками,
изменение свободной энергии системы при образовании подобной области
равно:
ΔF =ΔE −T ΔS = L[2J −kT ln 3] −kT ln N, (2.9)
где для L порядка N членом ln N можно пренебречь. Следовательно разупорядоченное состояние достигается при T>T
,гдеkTc=2J/ ln 3. Данный
c
качественный результат не сильно отличается от точного результата, полученного Онзагером [4]:
kT
=2J/ ln(1 +√2).
c
Наш анализ ясно показал, что фазовое превращение возникает в результате
противодействия двух факторов: энергии и энтропии. В этой связи в одномерной модели вместо области периметром L изменение направления спина
происходит только в одной точке так, что ΔE =2J. С другой стороны, эта
точка может располагаться в любом месте, поэтому
ΔF =ΔE −T ΔS =2J −kT lnN.
ΔF обращается в ноль, когда kT
=2J/ln N ,следовательно,Tc→ 0
c
при N →∞. Данное заключение не противоречит нашему предыдущему
выводу о том, что для бесконечной одномерной системы фазовое превращение может произойти только при T =0.
Из нашего исследования двумерной модели Изинга следует один важ-
ный вывод. Наша оценка и точный расчет Онзагера показывают, что величи-
приблизительно равна J , единственному энергетическому параметру
на kT
c
применительно к нашей задаче. Таким образом, отсутствие малого параметра является серьезной проблемой в этой области физики, поскольку теория
многих частиц опирается на представление свойств в виде степенного ряда по малому параметру, такому, как отношение средней потенциальной
и кинетической энергии частиц для неидеального газа и обратного отношения для твердых тел. Этот факт служит препятствием создания строгой
теории жидкостей, где обе энергии имеют одинаковый порядок величины.
И это также является причиной столь медленного развития теории фазовых
превращений.
26 ГЛАВА 2
конфигурация
E −4J 4J 0 0
N 2 2 4 8
Рис. 2.2. Четыре группы спиновых конфигураций. Для каждой группы показаны
энергия E и количество конфигураций N . Группы a и b содержат невырожденные
конфигурации, в то время как вырожденные конфигурации характерны для групп c
и d
Теперь, взяв за основу эвристическую статью Свракика [8], можно
вывести точную формулу для критической температуры двумерной модели Изинга. Вместо того чтобы разбираться в целой системе, содержащей
области неопределенного размера, рассмотрим элементарную ячейку с четырьмя узлами. Поскольку в каждом узле спин может быть направлен как
вверх, так и вниз, то общее число возможных сочетаний (или конфигураций), показанных на рисунке 2.2, равно 4
2
=16, причем можно рассчитать энергию каждой конфигурации. Из рисунка можно увидеть, что существует два типа «упорядоченных» состояний, характеризующихся энергией, равной ±4J . Каждое из этих состояний является дважды вырожденным
(спины направлены вверх или вниз). Также существует 12 «неупорядоченных» состояний, энергия которых равна нулю. Термины «упорядоченный»
и «неупорядоченный» происходят потому, что при трансляции первых двух
«упорядоченных» состояний получается изотропная бесконечная двумерная решетка Изинга, что невозможно осуществить для «неупорядоченных»
конфигураций. Исходя из предположения о несовместимости упорядоченного и неупорядоченного состояний, мы приходим к заключению, что фазовое превращение происходит, когда сумма по упорядоченным состояниям
2exp
4J
+2exp
kT
− 4J
kT
должна быть равна сумме по 12 неупорядоченным состояниям, это соответствует x
ет следующее решение: x =1+
2
+ x−2=6,гдеx =exp(2J/kT). Данное уравнение име-
√
2,откудаkTc=2J/ ln(1 +√2),что
совершенно неожиданно дает нам точное решение, найденное Онзагером.
2.3. ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ИЗИНГА 27
2.3. Трехмерная модель Изинга
Интересно определить критическую температуру для трехмерной кристаллической решетки на основе метода, описанного выше. Для этого необходимо также ввести понятие элементарной ячейки [9]. На рисунке 2.3 показаны все возможные конфигурации элементарной ячейки простой кубической решетки. Общее количество возможных конфигураций равно 2
На рисунке 2.3, как и на рисунке 2.2, N представляет собой количество эквивалентных конфигураций для определенной группы. Рассмотрим предварительно различные конфигурации кристаллической решетки, показанные
на рисунке 2.2. Конфигурации групп a и b мы называем «невырожденными», то есть они образуются от одной конфигурации путем изменения
одного спина на противоположный и имеют энергию, отличную от первоначальной конфигурации. С другой стороны, все конфигурации в группе c
при изменении спина сохраняют первоначальную энергию. В силу того что
эти конфигурации характеризуются одинаковой энергией в соседних состояниях, будем называть их «вырожденными». В этом отношении группа d
сложнее. Здесь смена направления спина 1 на противоположное повлечет
за собой изменение энергии на величину 4J, в то время как смена спина 4 приведет к изменению энергии на −4J. Два вышеописанных состояния симметричны друг другу относительно исходного состояния, в котором
величина энергии E равна 0. Поэтому мы отнесем это «псевдовырожденное» состояние к группе «вырожденных» состояний. Следует отметить, что
при смене направления спинов 3 и 4 энергия не изменится. Поэтому все
конфигурации групп d и c связаны с «вырожденными» конфигурациями.
Наши выводы основываются на предположении, что фазовое превращение
возникает в том случае, когда статистическая сумма по состояниям Z
в «невырожденном» состоянии равна сумме Z
в «вырожденном» состо-
выр.
янии:
Z
невыр.
= Z
, (2.10)
выр.
8
= 256.
невыр.
то есть мы отождествляем невырожденные состояния с упорядоченными
конфигурациями, а вырожденное состояние — с разупорядоченной.
Поскольку условие (2.10) совпадает с условием, выведенным Свракиком [8], из него в двумерном случае следует точное решение уравнения
Онзагера для критической температуры. Однако это условие может быть
применено и к трехмерным решеткам. Подробно изучим рисунок 2.3. На
рисунке группы a–f относятся к невырожденной категории, потому что смена направления любого спина в каждой из этих групп приведет к изменению
энергии ячейки, вследствие чего псевдовырожденное состояние в такой кон-
28 ГЛАВА 2
конфигурация N E WGW
конфигурация N E WGW
N
a 2 −12J 0 1 b 2 12J 0 1
c 6 −4J 0 1 d 6 4J 0 1
e 8 0 0 1 f 8 0 0 1
g 24 0 1 0 h 24 0 1 0
i 16 −6J
k 24 −4J
m 48 −2J
286
484
682
j 16 6J
8
l 24 4J
8
n 48 2J
8
286
484
682
N
8
8
8
Рис. 2.3. Различные конфигурации элементарной ячейки трехмерной кубической
решетки Изинга. В каждой группе содержится N эквивалентных конфигураций
энергии E. В группы a–f входят невырожденные конфигурации, в то время как
вгруппыg и h входят вырожденные конфигурации. За счет групп i–n встатистическую сумму входят как невырожденные, так и вырожденные состояния, которые
характеризуют доли статистического веса W
и WNсоответственно
G
фигурации не возникнет. Группы g и h относятся к вырожденной категории.
В группе g смена направления каждого спина приводит к изменению энергии на 2J, −2J, 2J, −2J, 2J, − 2J, 2J , −2J, а в группе h —на6J, −6J,
6J, −6J, 2J, −2J, 2J, −2J, и обе группы являются псевдовырожденными.
Группы i–n могут относиться как к вырожденным, так и к невырожденным.
2.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
В качестве примера рассмотрим группу i. Смена направления (переворот)
каждого из восьми спинов изменяет энергию на −6J, 6J, 6J, 6J, 6J , 2J ,
2J, 2J соответственно. Первые два возбужденных состояния симметричны
друг другу и, в соответствии с нашей классификацией, являются псевдовырожденными, а остальные шесть состояний являются невырожденными. На
рисунке 2.3 указываются значения статистического веса для вырожденного
и невырожденного состояний W
и WNсоответственно. Для группы i ста-
G
тистический вес в каждом из двух состояний является дробной величиной
и равен 2/8 и 6/8 соответственно. Аналогичным образом можно проанализировать любую группу j–n. Мы получили решение уравнения (2.10)
/J =4.277 [9], которое значительно ближе к численному результа-
kT
c
ту [10] kT
вработе[8]kT
/J =4.511, чем результат, полученный по методу, изложенному
c
/J =2.030.
c
В заключение отметим: критическая температура дву- и трехмерной
модели Изинга может быть определена с помощью простых физических доводов, основанных на сосуществовании двух конфигураций — «вырожденной» и «невырожденной» в зависимости от характера смены направления
спинов в возбужденном состоянии. Теперь перед заинтересованным читателем стоит непростая задача, как применить наши расчеты к элементарным
ячейкам других двумерных кристаллических решеток и других типов трехмерных решеток (ОЦК и ГЦК). Наконец, еще предстоит сравнить результаты расчетов с точными числовыми значениями, равными 6.235 и 9.792, полученными для кристаллических решеток ОЦК и ГЦК соответственно [10].
Результаты такого сравнения нельзя предугадать заранее, так как не ясно,
как хорошо данный метод действует в общем случае.
2.4. Заключение
Микроскопический анализ фазовых превращений возможен только для
простых моделей, таких как модели Изинга. Результаты изучения этих моделей показывают, что фазовое превращение при ненулевой температуре
не возникает в одномерной системе, однако возникает в двумерной. Качественным объяснением фазового превращения как перехода от упорядоченного состояния к неупорядоченному может служить конкуренция между
стремлением энергии к упорядочиванию и энтропии — к разрушению упорядоченности. Даже некоторые допускаемые упрощения могут привести
к достаточно правильному и качественному результату.
ГЛАВА 3
Теория среднего поля
Как упоминалось в главе 1, самый простой способ, позволяющий
учесть взаимодействие между частицами — это приближение среднего поля.
В данном приближении принимается, что среднее состояние системы идентично состоянию в окрестности каждой частицы этой системы, которым
оно и определяется.
Чтобы понять природу приближения среднего поля Вейса, которое было разобрано в главе 1, будет полезно изучить использование этого приближения для модели Изинга. В модели Изинга энергия состояния системы,
состоящей из N спинов S
гается в узлах кристаллической решетки и может принимать значения ±1,
равна
В приближении среднего поля Вейса для нашей системы
, { S1,S2, ..., SN}, каждый из которых распола-
j
E = −J
SiSj. (3.1)
(i,j)
E
mf
= −
SiHm, (3.2)
i
где H
H
— эффективное магнитное поле. Исходя из уравнений (3.1) и (3.2)
m
= JSj,откуда
m
E
mf
= −J
SiSj. (3.3)
(i,j)
В результате уравнение (3.1) можно представить следующим образом:
E = −J
SiSj−J
(i,j)
Si(Sj−Sj). (3.4)
(i,j)
Первый член уравнения соответствует приближению среднего поля, второй
учитывает отклонение каждого спина от среднего значения, что не учитывает приближения среднего поля. Очевидно, что с увеличением размерности
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]