Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. А. Бондарчук
ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
И ЭКСПЕРИМЕНТ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2021
УДК 531+532(075.8)
ББК 22.2+22.253.3 я73
Б81
Печатается по решению кафедры теоретической и компьютерной
гидроаэродинамики Института математики, механики
и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального
университета (протокол № 5 от 23 января 2020 г.)
Рецензенты:
профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений
ИММиКН им. И. И. Воровича ЮФУ,
доктор физико-математических наук Н. В. Боев;
ведущий научный сотрудник ЮНЦ РАН
,
кандидат физико-математических наук Д. Н. Шейдаков
Бондарчук, А. А.
Б81
Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент : учебное пособие / А. А. Бондарчук ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство
Южного федерального университета, 2021. – 132 с.
ISBN 978-5-9275-3632-0
В учебном пособии излагаются базовые сведения по выводу и использованию основных моделей жидких и газообразных сред для выполнения аналитических, численных и
экспериментальных исследований. Последовательно рассматриваются следующие темы:
молекулярно-кинетическая теория газов, использование законов сохранения для вывода
дифференциальных уравнений движения жидких и газовых сред, особенности работы с
моделями несжимаемых жидкостей, основы
лярно-кинетической теории демонстрирует прямую связь между принципами классической механики и гидроаэродинамики. Пособие содержит контрольные задания.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям образовательных программ бакалавриата 01.03.03 «Механика и математическое моделирование» (дисциплина «Экспериментальные методы в гидроаэродинамике») и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (дисциплина «Механика
эксперимент»).
газовой динамики. Изложение основ молеку-
жидкости и газа: теория и компьютерный
ISBN 978-5-9275-3632-0
УДК 531+532(075.8)
ББК 22.2+22.253.3 я73
© Южный федеральный университет, 2021
© Бондарчук А. А., 2021
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ..............................................................................................5
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория ...........................6
1.1. Основные понятия ................................................................6
1.2. Столкновения между частицами...................................... 10
1.3. Распределение скоростей у частиц разной массы .......... 13
1.4. Взаимодействие газа с неподвижной
твердой стенкой .................................................................. 15
1.5. Взаимодействие газа
с движущейся твердой стенкой .........................................17
1.6. Численное моделирование ................................................ 18
Контрольные задания к главе 1 ...............................................20
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей ....................... 23
2.1. Общая схема вывода .......................................................... 24
2.2. Выбор малого объема ......................................................... 24
2.3. Закон сохранения массы
в дифференциальной форме ............................................. 25
2.4. Закон изменения количества движения
в дифференциальной форме ............................................. 28
2.5. Закон изменения энергии
в дифференциальной форме ............................................. 38
2.6. Итоговый вид уравнений
четырех основных моделей ...............................................44
Контрольные задания к главе 2 ...............................................46
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости ..............................49
3.1. Гидростатика ...................................................................... 49
3.2. Уравнение вихрей .............................................................. 51
3.3. Безвихревые течения жидкости ....................................... 53
3
Оглавление
3.4. Плоские течения жидкости ............................................... 55
3.5. Плоские безвихревые течения жидкости ........................ 56
3.6. Примеры комплексных потенциалов
для плоских течений .......................................................... 58
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра ...................... 67
3.8. Циркуляционное обтекание цилиндра ........................... 72
3.9. Прочие формы применения теории потенциалов .......... 74
3.10. Вязкая жидкость ................................................................76
3.11. Течение Пуазейля .............................................................. 79
3.12. Безразмерная запись уравнений движения ................... 83
Контрольные задания к главе 3 ...............................................86
Глава 4. Течения сжимаемого газа ............................................ 90
4.1. Идеальный газ .................................................................... 90
4.2. Скорость звука .................................................................... 96
4.3. Вязкий газ ........................................................................... 99
4.4. Аэродинамическое подобие ............................................. 103
4.5. Численные методы в газовой динамике ........................ 106
Контрольные задания к главе 4 .............................................114
Литература ......................................................................................116
Приложения ...................................................................................118
Приложение 1. Описание лабораторных работ .................... 118
Приложение 2. Работа с ANSYS CFX .....................................123
4
ВВЕДЕНИЕ
В учебном пособии излагаются основные сведения о теоретических и экспериментальных методах исследования и моделирования течения жидких и газообразных сред.
В первой главе даются базовые знания молекулярно-кинетической теории. Хотя данная теория не используется напрямую для
расчетов, знание ее основ позволяет выстроить непрерывную связь
между законами теоретической механики и течениями жидких и
газообразных сред, что улучшает понимание физического смысла
рассматриваемых величин, используемых формул и происходящих процессов в целом.
Во второй главе демонстрируется вывод уравнений основных
моделей из законов сохранения. Умение получить систему уравнений из базовых принципов дает возможность модифицировать
эти уравнения при необходимости учета каких-либо специфических факторов и процессов, а также выводить уравнения для произвольных областей конечной величины, что востребовано при использовании метода конечных объемов.
В третьей главе излагаются особенности работы с моделями
несжимаемой жидкости. Основное внимание уделяется модели с
самым развитым теоретическим аппаратом – модели идеальной
жидкости и, в частности, методу комплексного потенциала. Также
рассматриваются особенности моделирования вязкой жидкости и
приведение системы уравнений к безразмерному виду.
Четвертая глава посвящена свойствам течений сжимаемого
газа и особенностям их численного моделирования. Рассматривается также теория подобия в приложении к экспериментальному
моделированию.
Каждая глава содержит контрольные задания. В приложениях также приведено более подробное описание заданий, выполняемых с использованием лабораторного оборудования, и краткие сведения о работе с пакетом для численного моделирования течений
жидкостей и газов ANSYS CFX.
5
ГЛАВА 1.
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Течения жидкостей и газов моделируются с помощью системы
дифференциальных уравнений в частных производных, в которую
входят уравнения движения (в формулировке Эйлера или Навье –
Стокса), уравнение неразрывности и, в зависимости от используемой модели, уравнения состояния и баланса энергии. При выводе этих уравнений в учебной литературе, как правило, применяют
один из следующих подходов: а) рассмотрение кинематики жидкой частицы с дальнейшим переходом к напряжениям; б) рассмотрение действия законов сохранения для малого объема; в) рассмотрение простейших форм уравнений, таких как уравнения
гидростатики, с дальнейшим переходом к последовательно усложняющимся вариантам. Все перечисленные подходы обладают одним общим недостатком: несмотря на то, что механика жидкостей
и газов является естественным продолжением и следует из теоретической механики, две ключевые гидродинамические функции –
давление и температура, – вводятся максимально абстрактно, без
связи с уже известными в классической механике терминами (в отличие от функций скорости и плотности жидкости, которые являются обобщением понятий скорости и массы материальной точки).
Ввиду этого, мы начнем с изложения некоторых элементов молекулярно-кинетической теории, что позволит заполнить этот пробел (более подробно с этой теорией можно ознакомиться, например, в [17]).
1.1. Основные понятия
В основе молекулярно-кинетической теории лежит упрощенное представление о газе как совокупности хаотически перемещающихся и сталкивающихся между собой малых частиц, подчиняющихся законам классической механики, без учета их внутренней
6
1.1. Основные понятия
структуры и состояния, а также статистическим законам, в силу
большого количества частиц. Рассмотрение статистической компоненты выходит за пределы тематики данного пособия, а вот применение основных законов механики в такой постановке позволяет
вывести многие принципы газовой динамики (к механике жидкости эта теория малоприменима). Разберем, как понятия классической механики транслируются в понятия механики газов.
Как известно, базовыми понятиями в классической механике
являются масса и скорость, через которые определяются также
импульс, момент импульса и кинетическая энергия. Для этих величин существуют законы сохранения, которые определяют, как
меняются (если вообще меняются) эти величины под действием
внешних факторов. Выполняются эти законы и для газообразных
сред, однако, в несколько другом проявлении.
Понятие плотности
В классической механике масса частиц/тел, как правило,
остается неизменной (исключением являются, например, задачи
реактивного движения с учетом расхода топлива). В молекулярнокинетической теории массы частиц также неизменны и, более того,
всегда одинаковы для молекул одного газа (химические реакции в
рамках этой теории мы не рассматриваем). Они могут быть просто
просуммированы для нахождения массы газа в заданном объеме.
Распределение же частиц в пространстве может существенно различаться, для описания чего вводится понятие «плотность», характеризующая концентрацию массы в единице объема (для практических задач удобнее работать с распределением массы газа, чем
с распределением количества частиц) и измеряющаяся в <кг/м3>.
В случаях, когда газ является смесью двух или более различных
веществ, может вводиться несколько плотностей/концентраций,
которые рассматриваются отдельно. В отличие от массы, плотность
может меняться в процессе сжатия или расширения, а также при
перемещении и перемешивании объемов газа.
Для перехода от масс отдельных частиц (массу молекул обыч-
но измеряют в атомных единицах массы как сумму атомных весов,
входящих в молекулу атомов) к измеряемой в привычных единицах плотности используют понятие «моль» – количество вещества,
7
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
масса которого в граммах численно равна молекулярной массе.
В одном моле вещества содержится 6,0221407·10
23
молекул (так на-
зываемое число Авогадро). При нормальных условиях один моль
любого газа будет занимать объем приближенно в 22,414 литров;
это, в частности, означает, что при равных условиях отношение
плотностей двух газов будет равно отношению их молекулярных
весов (усредненных, если газ является смесью). Так, средний молекулярный вес воздуха равен примерно 29 (
воздух на три четверти
состоит из азота N2 с молекулярным весом 28 и на четверть из кислорода O2 с молекулярным весом 32, с незначительными примесями других газов), а молекулярный вес водяного пара H2O – 18, что
более чем в полтора раза меньше. В полном соответствии с этими
числами, водяной пар в полтора раза легче воздуха и в атмосфере
поднимается вверх до тех пор, пока не начинается его конденсация из-за снижения температуры.
Понятие скорости
Со скоростью ситуация в газах более сложная, и это понятие
имеет несколько другое значение по сравнению с классической механикой. Дело в том, что из-за того, что движущихся частиц огромное количество и направления движения у них различные, большая часть их импульсов при суммировании взаимно сокращается.
Оставшийся после сокращения импульс (если он не равен нулю)
определяет движение воздушных масс как целого, но ничего не говорит нам о скоростях отдельных частиц (что, впрочем, и не требуется, если мы рассматриваем только кинетику газа). Отметим, что
средняя скорость движения отдельных частиц в газе обычно намного выше, чем скорость движения массы газа как целого. Так,
в воздухе скорость движения молекул составляет сотни метров в
секунду, примерно в полтора раза больше скорости звука, что на
один-два порядка превышает скорость ветра.
Понятие температуры
В классической механике у частиц/тел имеется кинетическая
энергия, которая прямо определяется массой и скоростью движения (а также вращательной скоростью). Из предыдущего пункта,
однако, следует, что скорости отдельных частиц газа для нас на-
8
1.1. Основные понятия
прямую ненаблюдаемы, это означает, что мы не можем вывести
кинетическую энергию из других величин. В то же время среднее
количество кинетической энергии у частиц газа оказывает самое
непосредственное влияние на его свойства. Мерой этой усредненной кинетической энергии является понятие «температура». Температура измеряется в градусах (для расчетов, как правило, используются градусы Кельвина или градусы Цельсия, равные по
величине, но имеющие разные точки отсчета), из нее можно получить количество внутренней энергии газа.
Понятия вязкости, теплопроводности и диффузии
Из-за постоянного хаотичного движения молекул происходит
постоянное перемешивание вещества, приводящее к выравниванию распределений плотности, импульса и удельной энергии,
даже при отсутствии заметных потоков газа. Для описания этого
процесса вводятся три термина: «вязкость» (в применении к диссипации импульса), «теплопроводность» (в применении к диссипации энергии) и «диффузия» (в применении к диссипации вещества,
когда рассматривается некоторая неоднородная смесь). Эти термины близко связаны с понятием трения из классической механики [3], так, можно сказать, что импульс передается между слоями
газа за счет трения между ними. Скорость протекания этого процесса подчиняется статистическим законам и описывается эмпирическими формулами. Интенсивность процесса растет с увеличением скорости движения частиц (то есть температуры), хотя этим
эффектом зачастую пренебрегают, когда изучаемое течение газа
происходит в условиях достаточно узкого диапазона возможных
температур. Интересно, что на интенсивность процесса не влияет
плотность – дело в том, что хотя с увеличением плотности растет
число частиц, переносящих с собой вещество, импульс и энергию
в соседние области пространства, но одновременно уменьшается
длина свободного пробега молекул, то есть переносимые вещество,
импульс и энергия попадают в более близкие слои газа. Следует,
однако, понимать, что этот принцип перестает работать при слишком малой плотности, когда частицы уже могут перемещаться на
очень большое расстояние без столкновений, поэтому на границе с
вакуумом никакого трения быть не может.
9
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
Понятие давления
Причины возникновения или изменения движения тоже отличаются от тех, что были в классической механике. Если в классических задачах причиной движения являются приложенные к частице/телу силы (которые в том числе могут порождаться другими
телами, например сила натяжения пружины, реакция опоры или
сопротивление воздуха), то в молекулярно-кинетической теории из
постоянно действующих на частицы сил можно выделить только
дальнодействующие, такие как гравитация и электромагнетизм,
так как, очевидно, что в ситуации, когда частицы ничем не соединены и свободно перемещаются в пустоте, больше на них действовать нечему. Если мы не рассматриваем ионизированный газ, то
и электромагнитные силы отметаются, оставляя только силу тяжести. Но и сила тяжести не является определяющим фактором,
управляющим движением частиц в газе (ее можно вовсе не учитывать, если не рассматривается слой воздуха высотой в километры).
Таким фактором являются многочисленные столкновения между частицами, при которых они обмениваются импульсами между
собой и с окружающими телами. Совокупность таких столкновений создает «давление», которое является определяющим фактором динамики газов. Давление измеряется в <Па> (паскали, или
<Н/м2>). Рассмотрим, как происходят столкновения между частицами и как они формируют давление и определяют связи между
различными характеристиками газа.
1.2. Столкновения между частицами
Мы не будем вычислять вероятность столкновения между частицами газа, которая зависит от их размеров и скорости, просто
примем вместо этого, что такие столкновения происходят и часто.
Также мы будет считать, что процесс удара – абсолютно упругий,
то есть никак не влияет на внутреннее состояние частиц и меняет
только их скорость и направление движения. В этом случае состояние частиц после удара определяется законом сохранения импульса, законом сохранения момента импульса и законом сохранения
движения. Для простоты рассмотрим лобовой удар, то есть будем
считать, что частицы перед ударом двигаются по одной прямой на-
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]