Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
1.2. Столкновения между частицами
встречу друг другу и по той же прямой друг от друга – после удара
(столкновения между реальными молекулами, разумеется, это бо-
лее сложный процесс, подробнее об этом можно узнать, например,
в [12]). Ограничение рассмотрения лобовым ударом позволит нам
не применять закон о сохранении момента импульса (так как при
выборе отсчетной точки на той же прямой все моменты будут равны нулю как до, так и после удара).
Итак, пусть две материальные частицы массами m1 и m2 дви-
гаются навстречу друг другу со скоростями v10i и v20i (v20 – отрицательно), где i – единичный вектор направляющей прямой, вдоль
которой происходит движение. Между ними происходит столкновение, после которого их скорости становятся равными v11i и v21i
(массы частиц не меняются). Согласно закону сохранения количества движения должно выполняться
mv mv mv mv
110 2 20 111 221
,
откуда можно выразить
mv m v mv
vvvv
110 2 20 111
21 20 10 11
mm
22
m
1
.
Далее, по закону сохранения энергии (в данном случае – только
кинетической) имеем
22
vv
10 20
mm mm
12 12
2222
22
vv
11 21
,
или, с учетом полученного выражения для v21,
m
2
2
2
2
,
22 2 2
mv mv mv m v v v v v v
1 10 2 20 1 11 2 20 20 10 11 10 11
mm
11
2
m
2
что можно привести к виду
m
2
2
2
2
.
– v11),
10
mmm
111
20
vv v v v v v v v
mm
22
20 10 11 10 11 10 11 10 11
Все слагаемые этого уравнения содержат множитель (v
что неудивительно, так как формально сохранение исходного состояния (v
= v11 и v
10
= v21) удовлетворяет законам сохранения.
20
Если бы частицы могли просто пройти насквозь друг друга без взаимодействия, то такой вариант мог бы реализовываться, но в рам-
11
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
ках классической механики это невозможно, поэтому мы можем отбросить это решение. В этом случае после упрощения уравнения
останется
m
20
vvvvv
1
20 10 11 10 11
m
2
,
откуда получаем
m
1
vv
v
11
12
10 20
m
2
m
1
1
m
2
vmm mv
10 1 2 2 20
mm
2
12
,
или, окончательно для v11 и v21 находим
2mmm
vvv
11 20 10
vvv
21 10 20
212
mm mm
12 12
2mmm
112
mm mm
12 12
, (1.1)
.
Если массы частиц близки между собой, то множители при первых слагаемых стремятся к единице, а при вторых – к нулю, что
соответствует обмену скоростями между частицами без изменения
их величины (v
= v20, v
11
= v10).
21
Отметим, что полученные соотношения выводились для случая
лобового удара, то есть такого столкновения, при котором скорости направлены вдоль линии, проходящей через центры частиц и
точку касания. Если удар не является чисто лобовым (это возможно только когда размеры частиц конечны, но в ином случае столкновения вообще не происходили бы, так как координаты точек
никогда не совпадут с абсолютной точностью), то можно показать,
что выведенные формулы справедливы для проекций скоростей на
линию, соединяющую центры частиц (и точку касания), в то время как остальные проекции скорости остаются неизменными после удара. После многократных повторений столкновений между
частицами, распределение их скоростей приходит в соответствие
с законами статистики, независимо от начального состояния. При
этом существует некоторая усредненная величина скорости, и чем
12
1.3. Распределение скоростей у частиц разной массы
больше отличие скорости частицы от этого значения, тем меньшее
количество частиц имеет эту скорость. Если газ состоит из смеси
частиц нескольких типов, имеющих различные массы, то средняя
скорость будет своя для каждого типа.
1.3. Распределение скоростей у частиц разной массы
Введем новые обозначения
Очевидно, что введенные величины tnm по модулю равны корню
из удвоенной кинетической энергии, имея при этом знак, соответствующий направлению скорости частицы. Перепишем (1.1) через
введенные обозначения (домножив уравнения на корни из m1 и m2
соответственно):
ttt
11 20 10
tmv .
nm n nm
2 mm
12
mm mm
12 12
mm
12
,
2 mm
ttt
21 10 20
12
mm mm
12 12
mm
12
.
Можно заметить, что коэффициенты при tnm, будучи возведены
в квадрат, дадут в сумме единицу, что означает возможность переписать уравнения в следующем виде:
11 20 10
21 10 20
cos sintt t
cos sintt t,
mm
arctan
12
2
mm
12
,
.
В пространстве возможных значений (t1, t2) соударение меж-
ду частицами эквивалентно сочетанию преобразования отражения относительно линии t1 = t2 (которое меняет местами значения
tnm у частиц) и преобразования поворота на угол . Многократно
повторяемые, такие преобразования приводят к хаотичному распределению значений t (а значит, и кинетических энергий) вокруг некоторого среднего значения, которое подчиняется законам
13
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
статистики. Однако для нас в данном случае особенно важен тот
факт, что t
и t2 входят в эти уравнения равноправно. Это означа-
1
ет, что закон распределения итоговых кинетических энергий будет
один и тот же как для частиц с массой m
, так и для частиц с мас-
1
сой m2. Этот результат можно обобщить и на случай совокупности
частиц с произвольным количеством различных значений массы,
для частиц с любыми значениями массы среднее значение кинетической энергии будет одно и то же.
Следствием вышесказанного является тот факт, что в смеси газов наибольшие скорости частиц будут у молекул газа с наименьшей молекулярной массой. Это, в свою очередь, сказывается на
скорости улетучивания газа из верхних слоев атмосферы в космос,
так как молекулы легких газов чаще могут достигнуть «скорости
убегания». Молекулы водорода имеют наименьшую возможную
массу из всех газов, поэтому значительное количество водорода в
атмосфере наблюдается только у гигантских планет и у планет,
имеющих очень низкую температуру (несмотря на то, что во Вселенной водород является самым распространенным веществом).
Все сделанные выкладки делались в предположении, что у частиц есть только три степени свободы, соответствующие перемещениям в трехмерном пространстве. Для одноатомных газов, по сути,
так дело и обстоит – в отличие от классической механики, где любое тело неточечных размеров может также вращаться. Атом сферической формы в силу другой физической природы (форма атома
определяется его электронными оболочками, которые описываются сугубо в терминах квантовой механики) носителем вращения
быть не может (кроме, возможно, некоторого внутреннего момента ядра, который во взаимодействиях частиц никак не участвует).
В то же время у многоатомных газов появляются дополнительные
степени свободы, связанные с возможностью движения атомов относительно друг друга, что для двухатомных газов является эквивалентом вращения молекулы вокруг некоторой оси, что добавляет еще две степени свободы (координаты дополнительной частицы
добавляют три, но ограничение на расстояние между частицами
вычитает одну). Анализ взаимодействия частиц с учетом их вращения представляет собой существенно более сложную задачу, заслуживающую отдельного рассмотрения, поэтому приведем только
14
1.4. Взаимодействие газа с неподвижной твердой стенкой
результат – оказывается, что в таком случае кинетическая энергия тоже распределяется равномерно, но равномерно по степеням
свободы, а не по частицам. Это означает, что при прочих равных,
молекулы двухатомных газов (наиболее распространенных) должны в среднем содержать в 5/3 раз больше внутренней энергии (но
без пропорционального увеличения скорости), чем молекулы одноатомных газов, что действительно отражается в величинах коэффициентов теплоемкости таких веществ.
Количество степеней свободы для конкретного многоатомного
газа зависит от структуры его молекулы. В случае жесткой фиксации относительных положений молекула имеет шесть степеней
свободы, как и абсолютно твердое тело в классической механике.
В случае возможности каких-то поворотов частей структуры количество степеней свободы будет расти соответственно механизму аналогичной конструкции классической механики. Кроме того,
в зависимости от характера связи между атомами, связи между
ними могут быть не жесткими, а упругими, что создает дополнительные колебательные степени свободы, также способные хранить внутреннюю энергию.
1.4. Взаимодействие газа с неподвижной
твердой стенкой
Чтобы рассмотреть взаимодействие газа с твердой стенкой (или
с твердыми телами вообще), перейдем в (1.1) к пределу при массе
второй частицы, стремящейся к бесконечности:
2vvv
11 20 10
vv .
21 20
, (1.2)
Если вторая частица (которая в данной ситуации играет роль
стенки) неподвижна, то происходит отражение вектора скорости
частицы с сохранением его величины v11 –v10. Это означает изменение импульса частицы в направлении удара на величину
2m1v10. Поскольку действие равно противодействию, это также означает, что и стенка получила импульс такой же величины, но
противоположного направления. Такие импульсы стенка получа-
15
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
ет от каждой сталкивающейся с ней частицы газа, усредненно ре-
зультат таких столкновений можно заменить действием некоторой
силы. Попытаемся вывести формулу для этой силы исходя из ло-
гических соображений.
Во-первых, очевидно, что чем больше площадь стенки, тем
больше столкновений с частицами газа она испытывает. Таким образом, в формуле должна присутствовать линейная зависимость
от площади S.
Во-вторых, аналогично должно влиять количество частиц в единице объема, которое мы обозначим как NV.
В-третьих, частота столкновений со стенкой будет пропорциональна средней скорости частиц vср. Действительно, если мы увеличим скорости всех частиц в два раза, то характер движения не
изменится, но все процессы (включая столкновения со стенкой) будут происходить в два раза быстрее.
В-четвертых, получаемый стенкой общий импульс будет очевидно пропорционален импульсу от одного столкновения, то есть
в среднем 2m1vср.
Таким образом, получаем следующую формулу:
FkSNvmv
ȟȞ 1 ȟȞ
V
2
,
где k – некоторый коэффициент пропорциональности. Перейдем в
этом уравнении к плотности и температуре (через среднюю кинетическую энергию):
2
~~mv E T
1 ȟȞ Ș.ȟȞ
,
Nm
1V
,
тогда
k
1
FST
,
m
1
где k1 – снова некоторый (уже другой) коэффициент пропорциональности. Учитывая, что сила связана с давлением по формуле
F = pS, мы, по сути, вывели из соображений молекулярно-кинетической теории так называемое «уравнение состояния» газа, которое связывает давление с плотностью и температурой (существуют
и другие формы уравнения состояния, см. [19]). Полученная связь
16
1.5. Взаимодействие газа с движущейся твердой стенкой
носит название закона Клапейрона – Менделеева и может быть
записана так:
где Rг – газовая постоянная для данного газа, связанная с универсальной газовой постоянной Rу (единой для всех газов) следующим
соотношением:
где M – молярная масса газа, пропорциональная m1. В последующих главах мы будем для удобства опускать индекс у газовой постоянной Rг, обозначая ее как R.
pRT U
RM
ȑ
, (1.3)
ȑ
R
ȡ
,
1.5. Взаимодействие газа
с движущейся твердой стенкой
Если скорость стенки не равна нулю, то при столкновении с ней
кинетическая энергия частицы будет меняться. Согласно (1.2)
mm m
22 2 2
EE E v v v v v v vv
1 0 11 10 20 10 10 20 20 10
Если скорость стенки v20 мала по сравнению со скоростями ча-
стиц, то ее квадрат можно отбросить, тогда среднее изменение скорости частицы будет равно
что равно среднему изменению импульса (см. в предыдущем пункте), умноженному на скорость стенки со знаком минус. Тогда,
применяя рассуждения из предыдущего пункта (с заменой среднего изменения импульса на среднее изменение энергии), можем
получить формулу для количества энергии, передающейся стенке
(или от стенки газу) в единицу времени:
что полностью соответствует формулам механики, выражающим
мощность через произведение силы на скорость движения. Это
также дает объяснение, за счет какого именно механизма газ на-
11 1
22 2
EvpSvF
120 20
244
ȟȞ 20 1 ȟȞ
(2 )Evmv'
2
,
,
.
17
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
гревается при сжатии (когда v
отрицательно, то есть направлено
20
в сторону газа) и охлаждается при расширении (когда v20 положительно, то есть направлено в сторону от газа).
1.6. Численное моделирование
Сразу скажем, что молекулярно-кинетическая теория мало подходит для численного моделирования течений газа. Казалось бы,
алгоритм расчета для системы материальных точек, к которым не
приложены постоянно действующие силы (кроме, возможно, силы
тяжести), должен быть намного проще, чем численное решение нестационарной системы дифференциальных уравнений в частных
производных (что обычно делается при решении задач механики
жидкостей и газов). Действительно, если все точки двигаются равномерно и прямолинейно (либо по параболической траектории при
учете силы тяжести) до момента очередного столкновения, то вывести аналитическую зависимость их координат от времени не составляет труда, рассчитать момент столкновения для любой пары
частиц (или показать, что эти частицы не столкнутся при движении
по их текущим траекториям) также можно аналитически (эта задача сводится к нахождению точек пересечения сферы и прямой, которые находятся из квадратного уравнения), состояние частиц после
столкновения однозначно определяется выведенными ранее формулами. Тогда алгоритм расчета можно было бы описать следующими пунктами: 1) построение списка будущих столкновений между частицами, 2) нахождение ближайшего момента столкновения,
3) обновление для этого момента координаты всех частиц, 4) вычисление новых скоростей столкнувшихся частиц, 5) пересчет части
списка столкновений (пересчитать требуется только столкновения
двух соударившихся частиц и тех, которые должны были столкнуться с ними в будущем), 6) повторение начиная с пункта 2. Данный
алгоритм прост для понимания и реализации, не является итерационным, может быть частично распараллелен. Однако все это перечеркивается одним простым фактом – рассчитать какое-либо реальное течение таким способом абсолютно нереально.
Напомним, при нормальных условиях один моль любого газа
будет занимать объем приближенно в 22,414 литров, это означа-
18
1.6. Численное моделирование
ет, что в одном литре любого газа содержится 2,686776461·10
22
мо-
лекул. Даже просто хранение информации о текущем состоянии
такой системы (то есть о положении и скорости каждой частицы)
далеко превышает возможности современных компьютеров. Действительно, если считать, что компоненты скорости и координаты
хранятся в формате 32-битного числа с плавающей точкой (вообще говоря, недостаточного для задания координат молекул), то
на
описание системы потребуется 6,44·1023 байт, что превосходит суммарную емкость всех информационных носителей на планете.
Ситуация только ухудшается, если рассмотреть вычислительную сложность собственно расчетов. Даже расчет столкновений
для одной частицы не такая уж простая задача – каждая молекула
воздуха совершает несколько миллиардов столкновений каждую
секунду. С увеличением же количества частиц n количество операций, необходимых для выполнения расчета, растет как n2 (вычислительная сложность O(n2)) – как за счет увеличения количества
столкновений пропорционально числу частиц, так и за счет увеличения количества возможных кандидатов для столкновения при
каждом пересчете (если количество частиц увеличивается без увеличения объема, то количество операций растет еще быстрее – как
n3, за счет большей вероятности столкновений). Количество частиц
в любом гидродинамическом расчете будет очень большим, алгоритм с квадратичным (а то и кубическим) ростом количества операций для решения такой задачи не пригоден совершенно (требуется хотя бы O(n log n)).
На практике возможности современных ЭВМ позволяют рассматривать системы, состоящие лишь из нескольких миллионов
атомов или молекул, на временах порядка нескольких пикосекунд.
В то же время современные численные методы достаточно успешно справляются с расчетами, не требующими высокой точности на
малых масштабах в сочетании с большими размерами рассматриваемой области. Как же получается, что методы, работающие с конечным числом частиц, оказываются менее эффективны, чем методы, работающие с непрерывными функциями? Дело в том, что
современные численные методы расчета течений жидкостей и газов и не имеют дело с непрерывными функциями, а только с их
каким-либо дискретным представлением. При этом данное дис-
19
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
кретное представление может выбрано с любым масштабом, бла-
годаря формулировке законов движения в интегральной форме.
Это означает, что мы можем сколь угодно сильно сократить слож-
ность представления рассматриваемого течения, расплачиваясь за
это снижением точности из-за отсутствия учета процессов на мел-
ких масштабах (что частично компенсируется применением раз-
личных моделей турбулентности). Выполнить такое же снижение
сложности с системой частиц весьма затруднительно – действи-
тельно, если увеличить размер частиц в миллион раз (увеличив
их массу соответственно в 1018 раз и пропорционально уменьшив
общее количество), то мы облегчим себе расчет, но вряд ли можно
утверждать, что получившийся набор частиц размерами с песчин-
ку будет адекватно описывать течение воздуха (расстояние меж-
ду частицами в этом случае будет в среднем около 3 мм и сильно
варьироваться в ходе хаотичного движения). Кроме того, молеку-
лярно-кинетическая теория принципиально не представляет воз-
можностей моделирования установившихся течений, так как для
системы движущихся частиц состояние постоянно меняется с тече-
нием времени, в отличие от полей скоростей и давлений, распреде-
ление которых в пространстве может не зависеть от времени.
С другой стороны, при рассмотрении очень малых объемов,
очень низких плотностей и/или температур (при низкой температуре уменьшается скорость частиц и как следствие – количество
столкновений) использование прямого расчета методами молекулярно-кинетической теории становится вполне возможным и, более того, целесообразным, поскольку стандартные модели динамики жидкостей и газов перестают корректно работать в таких
условиях.
Контрольные задания к главе 1
Задание 1
Доказать, что при нелобовом ударе формулы (1.1) справедливы
для проекций скоростей на линию, соединяющую центры частиц
(и точку касания), тогда как остальные проекции скорости остаются неизменными.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]