Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
2.4. Закон изменения количества движения в дифференциальной форме
Забегая вперед, отметим, что первые два слагаемых правой ча-
сти уравнения содержат те же составляющие, что входят в уравнение неразрывности (2.3), и будут в дальнейшем сокращаться.
Последним в очереди остается рассмотрение поверхностных
сил, то есть учет влияния соседних объемов жидкости друг на друга. Это наиболее сложная часть вывода модели, так как здесь должен учитываться и суммарный вклад от хаотических процессов перемещения и перемешивания отдельных частиц. Рассмотрим три
случая, в порядке их усложнения.
1. Случай идеальной жидкости или газа.
При рассмотрении идеальной жидкости или газа мы, по сути,
полностью пренебрегаем вкладом от процессов взаимопроникновения частиц между соседними объемами жидкости. В этом случае
взаимодействие на границе объемов имеет характер, не отличающийся от характера взаимодействия газа или жидкости с твердой стенкой (с поправкой на то, что граница может двигаться). Это
означает, что на каждую грань действует сила давления, направленная по нормали к грани и стремящаяся «оттолкнуть» соседние
объемы друг от друга. Обозначим вклад сил давления в изменение
импульса как dKs. Для каждой отдельно взятой пары противопоставленных граней мы можем выразить этот вклад следующим образом:
dK t pdS t pdS
px
ydyzdz
00
t pxdxyzpxdxyzdzdy
ydyzdz
00
SS
xx
,, ,,
00
,
или, с учетом (2.2)
ydyzdz
00
dK t p dx dzdy p dxdydz t p V t
px x x x
ydyzdz
00
28
.
Суммируя вклад по всем трем парам граней, получаем
dK p i p j p k V t
pxyz
.
Давление является одним из главных определяющих факто-
ров, формирующих течения жидкостей и газов, и входит в уравнения движения всех моделей. Для моделей идеальной жидкости и
31
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
идеального газа силы давления – единственный фактор, действующий на границах объемов, то есть при их рассмотрении выполняется
Если мы теперь, как и ранее, перейдем к пределу (объем и t
стремятся к нулю), то, с учетом (2.5) и (2.4), получим
что в векторной форме можно записать следующим образом:
Выполним небольшую перегруппировку слагаемых:
после которой становится видно, что вторая группа слагаемых в
левой части может быть сокращена согласно ранее полученному
уравнению неразрывности:
В такой форме уравнение движения входит в модели идеальной жидкости и идеального газа. При этом, однако, плотность в модели идеальной жидкости является константой, в модели же идеального газа – одной из неизвестных функций.
2. Случай вязкой несжимаемой жидкости.
При рассмотрении вязкой несжимаемой жидкости к вкладу от
давления добавляется вклад от вязких сил, то есть
t
v
tt
vF vvvv
txyz
vv
xz
xyz x y z
vFv v vvvvp
vv v vv F p
dK dK
sp
.
xyz
v
y
vv v v
pp p
ijk
xyz
v
vv F p
t
dK dK dK
sp
vvv
xyz
,
.
.
.
,
32
2.4. Закон изменения количества движения в дифференциальной форме
Представим его в следующем виде:
dK dK i dK j dK k
,, ,xx xy xz
dK i dK j dK k
,, ,yx yy yz
dK i dK j dK k
,, ,zx zy zz
.
Здесь первый индекс после запятой указывает на нормаль к
грани, а второй означает проекцию на указанную ось. Так, dK
,xy
имеет смысл проекции вклада вязких сил на паре граней, расположенных по оси OX, в проекцию импульса на ось OY. Как показали еще опыты Ньютона по движению над слоем жидкости, сила
трения (порождаемая вязкими силами) пропорциональна перепаду скоростей и обратно пропорциональна толщине слоя жидкости.
Это вполне согласуется с представлениями молекулярно-кинетической теории. Если в соседних объемах, граничащих с некоторой
поверхностью, средняя скорость в направлении, касательном к поверхности, различается, то поперечный перенос импульса за счет
хаотичного движения молекул будет стремиться выровнять этот перепад в процессе перемешивания. Эффект будет тем значительнее,
чем большую величину имеет начальный перепад, и тем меньше,
чем большее расстояние требуется преодолеть частицам. Несколько менее очевидно, почему перенос нормальной составляющей импульса при этом происходит по такому же закону. Действительно,
если частица пересекает границу в одном направлении, то, очевидно, она не может переносить импульс, противоположный этому
направлению, как может требовать существующий перепад. Ответ
состоит в том, что поскольку скорость собственного движения молекул значительно больше средней скорости в среде, то перенос всегда происходит в обоих направлениях, но разная средняя скорость
может вносить дисбаланс в интенсивность потоков с одной и другой
стороны, не давая им взаимокомпенсироваться.
В предельном случае это означает, что поток импульса через
границу можно выразить через производную скорости на ней с некоторым коэффициентом. Однако, согласно (2.2), производная скорости будет получаться в виде не зависящей от координат константы, что будет приводить к полному сокращению вклада каждой
пары противоположно лежащих граней. Если бы скорость действи-
33
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
тельно имела чисто линейное распределение, то это был бы правильный результат, описывающий процесс переноса импульса через жидкость, как в опытах Ньютона (при равномерном движении
на пластину действуют силы трения, но сама жидкость двигается
без ускорения). Однако скорость в жидкости не всегда подчиняется
линейному распределению. Это означает, что для скорости линейное представление (2.2) в данном случае недостаточно. Перейдем
к квадратичному представлению:
,, ()()()
vxyz v v x x v y y v z z
x x xx xy xz
,0,0,0,0
(2.6)
111
vxx v yy vzz
() () ()
,0 ,0 ,0
xxx xyy xzz
222
()()()()()()
vxxyy vyyzz vxxzz
,00, 00,00
xxy xyz xxz
,, ()()()
vxyz v v x x v y y v z z
y y yx y y yz
()()()()()()
vxxyy vyyzz vxxzz
,00, 00,00
yxy yyz yxz
vxyz v v x x v y y v z z
z z zx zy zz
()()()()()()
vxxyy vyyzz vxxzz
,00,00,00
zxy zyz zxz
111
vxx v yy vzz
() () ()
,0 ,0 ,0
yxx yyy yzz
222
,, ()()()
111
vxx vyy vzz
() () ()
,0 ,0 ,0
zxx zyy zzz
222
222
,
,0,0,0,0
222
,
,0,0,0,0
222
,
где индекс перед запятой обозначает проекцию, а индексы после
запятой соответствуют производным скорости. Тогда мы можем
выписать компоненты вклада вязких сил в следующем виде (для
краткости ограничимся слагаемыми dK
,xx
и dK
, остальные полу-
,xy
чаются аналогично):
vv
txdxyzxdxyzdzdy
dK t dS t dS
ydyzdz
00
ydyzdz
00
xx
,
vv
xx
xx
xx
xx
SS
xx
,, ,,
00
,
34
2.4. Закон изменения количества движения в дифференциальной форме
vv
dK t dS t dS
xy
,
ydyzdz
00
txdxyzxdxyzdzdy
ydyzdz
00
vv
yy
xx
yy
xx
SS
xx
,, ,,
00
,
где – коэффициент сдвиговой вязкости, значение которого определяется параметрами жидкости. С учетом (2.6) выписанные интегралы берутся в явном виде:
dK dxdydz t v V t v
8
,,,
xx x xx x xx
,
dK dxdydz t v V t v
8
,,,
xy y xx y xx
.
Тогда полный вклад вязких сил выглядит следующим образом:
dK V t v i v j v k
,, ,x xx y xx z xx
viv jvk
,, ,x yy y yy z yy
viv jvk
,, ,xzz yzz zzz
,
или, эквивалентно
dKVtvvvi
Vtvvvj
Vtvvvk
,,,xxx x yy xzz
,,,yxx yyy yzz
,,,zxx zyy zzz
.
Подставляя в общее уравнение и переходя к пределу при объе-
ме и t, стремящихся к нулю, приходим к следующему виду:
v
vv F p i
t
222
vvv
yyy
222 222
xyz xyz
222
vvv
xxx
222
xyz
222
vvv
jk
zzz
,
или, в векторной форме
v
vv F p v
t
.
35
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
Важным отличием вклада вязких сил от всех остальных факторов является тот факт, что касательные напряжения передают объему не только импульс, но и момент импульса. Для всех
остальных источников импульса несложно показать, что их вклад
в момент взаимокомпенсируется, если выполнено уравнение для
импульсов, однако для вязких сил легко предложить пример, в котором этого не происходит. В том же опыте Ньютона профиль скорости жидкости имеет вид Vx = Cy, что при рассмотрении малого
объема дает равные, но разнонаправленные напряжения на гранях, расположенных по оси OY, то есть классическую пару сил. Однако жидкость не может быть носителем внутреннего момента (по
крайней мере в классической теории, вообще говоря, такие жидкости существуют), поэтому считается, что этот эффект компенсируется другой парой напряжений на гранях, расположенных по оси
OX (на движение жидкости эти напряжения не оказывают влияния, так как суммарный поток импульса от них равен нулю). При
выводе уравнений через тензор напряжений это фактически означает требование его симметричности. Чтобы понять природу этих
дополнительных напряжений, представим, что бы происходило с
жидкостью в их отсутствие. Очевидно, что некомпенсированный
момент сил должен приводить рассматриваемый объем жидкости
во вращение. Такие же процессы будут происходить и в каждом соседнем объеме. Однако согласованно вращаться в одном направлении все объемы жидкости, очевидно, не могут (аналогично тому,
как не могут вращаться в одном направлении сцепленные шестеренки). Это означает, что будет происходить дополнительное перемешивание жидкости из-за того, что соседние объемы начинают
«цеплять» друг друга при вращении, в результате чего моменты соседних объемов будут взаимно гаситься. Эффект такого перемешивания и отражен вводом дополнительных напряжений.
При выводе предполагалось, что коэффициент сдвиговой вязкости является константой, если же в модели требуется учитывать
его зависимость от других гидродинамических функций, то итоговое уравнение будет выглядеть следующим образом:
v
vv F p v v
t
T
. (2.7)
36
2.4. Закон изменения количества движения в дифференциальной форме
В форме слагаемого с транспонированным тензором градиента
скорости здесь учтены дополнительные напряжения, компенсирующие момент вращения. Если является константой, то это слагаемое представимо в виде градиента от дивергенции скорости и,
следовательно, сокращается в силу равенства нулю дивергенции
скорости в несжимаемой жидкости.
3. Случай вязкого сжимаемого газа.
При рассмотрении вязкого газа к уже рассмотренному добавля-
ется вклад от эффектов, связанных с процессами расширения или
сжатия, который обозначим как dKζ:
Динамика таких процессов довольно слабо изучена; считается,
что вклад этих процессов дает поправку в величину эффективного давления, пропорциональную величине дивергенции скорости.
Поскольку для давления мы уже делали вывод, сразу выпишем
результат, добавив новые слагаемые в уравнение:
v
где – коэффициент объемной вязкости, а теперь не константа,
как было в (2.7), а неизвестная функция. Часто принимается, что
= –2/3 (гипотеза Стокса), при этом влияние суммарного вклада
вязких сил на объем сводится только к деформации без изменения
объема (или, при формулировке через тензоры, след тензора вязких напряжений равен нулю). Если такое упрощение не используется, то вводят величину второй вязкости как = + 2/3, после
чего уравнение может быть записано в следующем виде:
где I – единичный тензор. При этом скобка, имеющая множителем
, отвечает только за деформацию, а возможное изменение объема определяется слагаемым с . Использование второй вязкости,
однако, встречается нечасто. С одной стороны, исследования показывают, что у многих газов вторая вязкость не только не равна
нулю, но и может быть на два-три порядка больше первой (сдвиго-
v
t
vv F p v v v
t
v v F p v v vI vI
dK dK dK dK
sp
.
T
T
2
3
,
,
37
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
вой) вязкости, то есть предположение, что = –2/3, очевидно, неверно. С другой стороны, характер влияния на течение эффектов,
связанных со второй вязкостью, сходен с влиянием давления, но
при этом намного меньше по величине (иногда вводят в рассмотрение термодинамическое давление, объединяющее в себе обычное давление и эффекты объемной вязкости). Кроме того, течения,
для которых характерно резкое расширение или сжатие, обычно
бывают турбулентными, а турбулентность оказывает на течение
влияние, сходное с влиянием вязкости, но намного большее по величине (некоторые простые модели турбулентности, собственно, и
пытаются учитывать ее с помощью простого увеличения коэффициента вязкости по какому-либо закону). Поэтому в большинстве
случаев такой подход можно считать оправданным.
2.5. Закон изменения энергии
в дифференциальной форме
Последнее оставшееся уравнение, которое завершает систему
для модели вязкого газа, – уравнение баланса энергии. Мы не будем приводить для него полноценные выкладки «с нуля», так как
все принципиальные приемы вывода уже рассмотрены при выводе
предыдущих уравнений. Вместо этого мы перечислим факторы, которые дают вклад в его формирование сразу в дифференциальной
форме (более подробно этот вывод можно найти, например, в [2]).
Сама полная энергия объема U складывается из внутренней
(тепловой) и кинетической энергии и может быть выражена следующим образом:
UEEEdVCTdV
где E – внутренняя энергия, CV – коэффициент теплоемкости при
постоянном объеме (вообще говоря, внутреннюю энергию может
потребоваться выражать по более сложной формуле, но сейчас это
не существенно). Переходя к пределу, получаем плотность энергии, или энергию единичного объема:
38
U U
ȜȏȨȓȚȎ Ȑț Ș
³³
VV
UCT
22
§· § ·
vv
¨¸ ¨ ¸
22
©¹ © ¹
2
v
V
. (2.8)
2
V
,
2.5. Закон изменения энергии в дифференциальной форме
Итак, изменение полной энергии в объеме складывается из
конвективной составляющей, оттока/притока тепла за счет излучения/поглощения, обмена с соседними объемами за счет теплопроводности, а также из мощности всех сил, приложенных к объему (понимая под словом «силы» любые источники импульса).
U
Начнем с рассмотрения конвективных слагаемых. Поскольку
энергия это скалярная величина, то ее конвективное слагаемое
выводится так же, как у плотности. Тогда, по аналогии с уравнением неразрывности, мы можем сразу записать:
или, с добавлением частной производной энергии по времени, учетом (2.8) и по правилам вычисления градиента от произведения:
UU v
В получившемся выражении первое и последнее слагаемые в
сумме равны нулю, согласно уравнению неразрывности. Тогда
Заметим, что последнее слагаемое здесь это фактически левая
часть векторного уравнения движения, умноженная скалярно на
вектор скорости. Мы можем заменить ее на правую часть того же
уравнения:
dU v U U v v C T
tt t
cV
Tv v
CvT vvCT v
VV
UT v
tt t
dU dU dU dU
t
tt
dU C v T v v v
cV
cqtN
dU v U U v
c
22
22
2
.
,
2
2
.
.
UT
vF p vv v
dU C v T
tt
cV
T
.
39
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
Благодаря выполненным преобразованиям, в оставшемся выражении не осталось «лишних» производных по времени, кроме
производной от температуры (в канонической форме каждое уравнение должно содержать только одну производную по времени от
соответствующей гидродинамической функции).
Учет излучения и поглощения тепла газом это одна из наиболее сложных частей модели, он требует отслеживания распространения электромагнитного (в основном инфракрасного) излучения
различных длин волн, учета различной интенсивности их поглощения отдельными компонентами газа и тому подобные эффекты.
В большинстве задач, однако, это не требуется, так как в стандартных условиях интенсивность излучения не слишком велика, и оно
практически полностью компенсируется поглощением, то есть газ
фактически находится в равновесии относительно процесса излучения/поглощения. В уравнениях приток (или излучение) тепла к
единице массы за счет излучения обозначается через q и применя-
ется ко всему малому объему, подобно массовым силам в уравнении для импульса:
dU q
.
q
Перенос энергии за счет теплопроводности, обозначаемый вектором t, происходит через границы малого объема и пропорционален производной температуры по нормали к границе, подобно
вязким силам в уравнении для импульса (что неудивительно, поскольку происходит это посредством того же процесса молекулярного перемешивания). Соответственно, его вклад в уравнение баланса энергии выглядит следующим образом:
dU t k T
t
.
Все оставшиеся слагаемые представляют собой работу, совершаемую в единицу времени всеми учтенными источниками импульса из правой части уравнения для импульса (конвективные
слагаемые из левой части тоже являются источниками импульса,
но они не совершают работу над малым объемом, а просто перемещают между соседними объемами вещество с сохранением его импульса и внутренней энергии). Разделим их на вклад от массовых
сил, давления и вязких сил:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]