Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра
Применяя закон Бернулли, можем получить выражение для
давления на поверхности цилиндра:
2
v
pp p v
0
1 2 cos2 cos 2 sin 2 1 cos 2
000
2
22 2
22
00 0
cos2pv v
.
Теперь можем получить суммарное влияние сил давления на
обтекаемый цилиндр. Для этого мы должны найти интеграл по
поверхности цилиндра от давления, умноженного на внутреннюю
нормаль (что отражает направление действия сил давления). Отметим, что в получившемся выражении только последнее слагаемое зависит от . Можно показать, что суммарное влияние сил
давления на полностью погруженное в жидкость тело всегда равно
нулю, если давление жидкости везде на его поверхности одинаково. Это означает, что мы можем отбросить константную часть давления и интегрировать только слагаемое, зависящее от .
22
F pndl nad a v d
TT U TTTT
³³ ³
l
SS
cos2 cos2 cos , sin
00
2
0
.
Для обеих проекций силы получающиеся интегралы легко бе-
рутся:
2
2
Fav d
x
Fav d
y
cos2 cos 0
0
0
2
2
cos2 sin 0
0
0
,
,
и мы в итоге получаем так называемый парадокс Д’Аламбера в
применении к обтеканию цилиндра – на обтекаемое идеальной
жидкостью тело не действуют никакие силы. Разумеется, реальные жидкости отличаются от идеальной модели, и некоторое сопротивление всегда присутствует, хотя бы от вязкого трения. Помимо сопротивления, отсутствует в этом случае и подъемная сила
(направленная поперек потока), что в данном случае действительно так, в отличие от следующего.
71
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
3.8. Циркуляционное обтекание цилиндра
Добавим к рассмотренному потенциалу еще потенциал вихря,
совмещенного с диполем (рис. 3.6):
2
a
wvzv z
00
ln
2
zi
.
Рис. 3.6. Картина течения, формируемая диполем и вихрем в набегающем потоке
(соответствует циркуляционному обтеканию круглого цилиндра). В нижней части
рисунка происходит ускорение потока жидкости, обтекающей цилиндр, в верхней
части – замедление
72
3.8. Циркуляционное обтекание цилиндра
Картина обтекания при этом искажается, но форма окружности
у критической линии тока останется неизменной, поскольку поле
скоростей от вихря будет изменять только касательную скорость на
ней. Положение критических точек на окружности, однако, изменится (при достаточно большой интенсивности вихря критические
точки могут и вовсе пропасть с окружности). Проекции скорости в
этом случае имеют следующий вид:
22
yx y
vvva
x
vva
y
2
00
xy
2
2
0
22
xy
222
22
xy x
2
222
2
xy
xy
,
.
Снова выпишем вид скорости на поверхности цилиндра через
полярный угол :
vv
1cos2 sin
0
x
a
2
,
vv
y
sin2 cos
0
2
.
a
Для давления также выполним выкладки, аналогичные пре-
дыдущему пункту:
2
v
22
pv v
00 0
pp
vv
00
22
8
1 cos 2 sin sin 2 cos
22
aa
2
a
pv v
00 0
0
22cos2
0
2
v
cos2 sin sin 2 cos cos2 sin
22
22
8
0
2
a
2
cos2 2sin
a
22
8
v
2
2
a
0
a
.
Как и раньше, константную часть давления можно отбросить
при нахождении проекций сил, тогда получаем
73
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
2
Fvav d
x
Fvav dv
y
00
2
00 0
0
cos2 sin cos 0
0
cos2 sin sin
,
.
Сила сопротивления при циркуляционном обтекании цилиндра
по-прежнему равна нулю, но зато появляется сила, направленная
поперек набегающего потока. Хотя рассмотренное течение нельзя
прямо интерпретировать, как обтекание вращающегося цилиндра
(распределение скорости по его поверхности не соответствует закону вращения твердого тела, поэтому граничные условия для скорости не будут выполнены), связь вращения с циркуляцией, тем
не менее, хорошо известна, и вращающиеся тела действительно
испытывают действие силы, перпендикулярной набегающему потоку, это явление называют эффектом Магнуса. Циркуляция, однако, может возникать и без вращения, и полученное выражение
является частным случаем общей теоремы Жуковского, справедливой для обтекания любых контуров.
3.9. Прочие формы применения теории потенциалов
Конформные отображения
Вспомним, что решением уравнений является любая функция
z. Это означает, что мы не только можем составлять линейные комбинации из известных решений, но и преобразовывать их, получая композицию функций (то есть если f(z) является решением, то
и f((z)), и (f(z)) также будут решениями). Более того, существует класс преобразований, при которых некоторые характеристики исходного течения сохраняются и у преобразованного. Такие
преобразования называются конформными отображениями и характеризуются тем, что сохраняют углы между пересекающимися
кривыми. Если является конформным отображением, то у нового решения будет сохраняться циркуляция скорости по замкнутому контуру, являющаяся важным параметром при обтекании
тел жидкостью, поскольку определяет подъемную силу. В начале
ХХ века это позволило получить формулы для крыловых профи-
74
3.9. Прочие формы применения теории потенциалов
лей Жуковского – Чаплыгина, обтекание которых можно с помощью определенного типа конформных отображений свести к задаче циркуляционного обтекания круглого цилиндра [2; 11], что
было существенным подспорьем для развития авиации.
Распределенные особенности
Особенности типа вихрей, источников и диполей могут вносить-
ся в течение не только точечно, но и в форме непрерывного распределения по некоторой кривой. Эта кривая не может лежать внутри
области течения, поскольку, хотя создаваемая распределенными
особенностями скорость часто не принимает бесконечно больших
значений, но при переходе через линию распределения терпит
разрыв. Такие кривые, однако, могут быть расположены на границе области или моделировать обтекаемые бесконечно тонкие тела
(в обоих случаях нормальная проекция скорости жидкости на кривой распределения должна быть равна нулю для выполнения условия непроницаемости).
Трехмерные источники
При рассмотрении трехмерных течений существует только по-
тенциал скорости, но не функция тока и комплексный потенциал. Это ограничивает применимость метода потенциалов в данном
случае (исключая в том числе применение конформных отображений), но все же оставляет довольно существенные возможности по
моделированию течений. Существуют трехмерные версии многих
базовых потенциалов, так, например, выглядит трехмерный потенциал источника с расходом Q в сферических координатах:
4Qr
.
Существует и потенциал для трехмерного диполя, причем, как
и в случае его плоского аналога, он может быть использован для
построения картины обтекания сферы набегающим потоком. Парадокс Д’Аламбера в этом случае также сохраняется.
Важно отметить, что не существует потенциала для трехмерно-
го точечного вихря. Циркуляцию жидкости в этом случае создают
вихревые линии (которые, вообще говоря, могут быть и криволи-
75
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
нейными, но нахождение поля скоростей такой вихревой линии
представляет собой нетривиальную задачу) и вихревые кольца
(подробнее об этом см., например, [7]).
3.10. Вязкая жидкость
Вообще говоря, если рассматривается безвихревое течение жидкости, то все выкладки, сделанные при рассмотрении идеальной
жидкости, будут справедливы и для вязкой. Действительно, если
компоненты скорости выражаются как производные функции потенциала, лапласиан которой равен нулю (в силу уравнения неразрывности), то и лапласианы самих этих компонент скорости
будут равны нулю, а различие между уравнениями для вязкой и
идеальной жидкости только и заключается в добавлении слагаемого v. Однако если уж мы используем модель вязкой жидкости, то скорее всего нас интересуют эффекты, связанные с вязкостью, что полностью обессмысливает рассмотрение безвихревых
течений. И наоборот, если уж мы рассматриваем вихревое течение, то в большинстве случаев нет особого смысла использовать
модель идеальной жидкости, поскольку в этом случае уравнения с
математической точки зрения будут иметь практически такую же
сложность, как и уравнения для вязкой жидкости (хотя тут могут
быть исключения, связанные с постановкой граничных условий, а
также с рассмотрением безвихревых процессов на фоне некоторого
заранее известного простого вихревого течения). Само уравнение
для вихрей в вязкой жидкости выводится совершенно аналогично
тому, как это делалось для идеальной жидкости, и выглядит следующим образом:
При формулировке уравнений через вихрь, можно не заботиться о существовании функции давления, однако имеется сложность –
как из поля вихрей восстановить поле скоростей? Чтобы ответить на
этот вопрос, применим к вихрю скорости операцию ротор:
76
t
vvv
0vv
.
.
3.10. Вязкая жидкость
Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, дивер-
генция скорости в полученном выражении равняется нулю и у нас,
фактически, получилось уравнение Пуассона для скорости:
v
.
Уравнение Пуассона хорошо изучено и позволяет относительно
легко построить частное решение (с методами работы с уравнением Пуассона при численном расчете можно ознакомиться в [18]),
но при этом следует учитывать, что, хотя мы использовали равенство нулю дивергенции при выводе этого уравнения, его решение
не обязательно будет удовлетворять этому условию. В данном случае нам придется добавить безвихревую компоненту скорости следующим образом:
vv M
,
Ȑ
где – некоторая скалярная функция. Поскольку ротор от градиента равен нулю, уравнение для вихревой составляющей скорости
не изменится:
v' u:
Ȑ
,
а при применении дивергенции получим новое уравнение для
определения :
ȐȐ
,
0vv M 'M
которое также является уравнением Пуассона, если считать vв уже
найденной:
v'M
.
Ȑ
Таким образом, уравнение вихрей дает нам возможность полу-
чить вихревое поле на следующем шаге по времени, после чего мы
должны восстановить сначала вихревую составляющую скорости
путем решения векторного уравнения Пуассона, а затем – безвихревую, путем решения скалярного уравнения Пуассона.
Уравнение Пуассона линейное и имеет однородные решения,
поэтому без граничных условий для скорости результат будет получаться неоднозначно. Но граничные условия могут быть по условиям задачи заданы не для скорости, а для давления. В этом слу-
77
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
чае требуется другой подход. Применим к векторному уравнению
движения операцию дивергенции:
Переставив порядок применения операций, можем переписать
это уравнение в виде
В силу того, что жидкость несжимаема, дивергенция скорости
равна нулю. Производная по времени от дивергенции скорости
также должна быть равна нулю, чтобы это условие сохранялось
для каждого момента времени. Чтобы это выполнялось, давление
должно удовлетворять уравнению
Если поле скоростей на очередном шаге по времени уже найдено из исходных уравнений движения или начальных условий, то
для давления мы опять же получаем уравнение Пуассона, которое
мы можем решить при наличии граничных условий для давления.
В целом, такой подход более распространен, по сравнению с использованием уравнения для вихрей, в виду меньшей сложности.
Кроме упомянутых подходов, в плоских задачах, как и в случае идеальной жидкости, можно перейти к рассмотрению функции
тока:
но тот факт, что в этом случае производная по времени применяется не к самой функции, а к ее лапласиану, затрудняет решение.
Можно, однако, оставить в уравнении завихренность и применять
те же методы, что и для трехмерного течения, то есть получение
поля вихрей на новом шаге и восстановление функции тока через
уравнение Пуассона:
t
t
tyxxy
vv p v
v
zzz
tyxxy
vv p v
pvv
1v
1
.
z
.
.
0
,
,
0
78
3.11. Течение Пуазейля
.
z
При этом задача получается значительно более простая, чем в
трехмерном случае, – как счет уменьшенного количества уравнений, так и за счет автоматического выполнения уравнения неразрывности (то есть не требуется решать дополнительное уравнение
Пуассона).
Но, так или иначе, при работе с вязкой жидкостью нет каких-то
аналитических методов и приемов,
применимых в общем случае.
Тем не менее для некоторых простых постановок задачи могут
быть найдены точные частные решения, одно из которых мы рассмотрим ниже (с другими известными решениями можно ознакомиться в [2; 6]).
3.11. Течение Пуазейля
Рассмотрим течение жидкости в цилиндрической трубе постоянного сечения. Уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах выглядят следующим образом:
vv
vv
vvvvv
zzzz
tzrr z
vvvv
rrrr
tzrrr r
v v vvvvv
vv F
tzrr r r
z
zrr r
vv F
zr z
222
vv vv
vv F
222
vv vvv
rrzrr
zr
222
vv vvv
rrzrr
zz zz
2222
rrz
zr r
11 2
rr rrr
222222
rr
11 2
222222
rr
1
rr
,
0
11
rr
vv
2
r
1
p
,
p
1
v
,
1
p
v
r
.
79
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
Будем рассматривать течение жидкости при следующих допущениях: течение является установившимся, осесимметричным, радиальная и вращательная компоненты скорости равны нулю, радиальные и крутящие силы также равны нулю, проекция же силы на
ось OZ постоянна (либо, как частный случай константы, также 0).
t
vv
r
FF
r
,
0
,
0
,
0
Fz const.
Тогда система уравнений значительно упрощается:
vz
0
F
z
z
,
0
2
vv
11
p
zrr
zz
2
r
10pr
.
,
Из первого и третьего уравнений видно, что неизвестные функции давления и скорости зависят только от одной координаты –
vvr
zz
()
,
.
()ppz
Это означает, что в оставшемся уравнении часть слагаемых зависит только от z, а часть – только от r. Соответственно, уравнение
разбивается на две части:
2
vv
1
zz
2
rr
r
p
FC
z
z
,
C
,
здесь C – некоторая константа. Оба уравнения могут быть проинтегрированы:
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]