Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
3.6. Примеры комплексных потенциалов для плоских течений
они, однако, должны быть расположены вне рассматриваемой области (или внутри обтекаемого тела), тогда влияние на течение
ими оказываться может, а точки с особенностями (бесконечное возрастание скорости при приближении к их центру) в рассматриваемую область не попадают (рис. 3.1, 3.2). В случаях, когда форма
обтекаемого тела заранее не задана, набор стоков и источников нулевой суммарной интенсивности может использоваться для моделирования его формы, поскольку в зависимости от расположения
между собой и по отношению к набегающему потоку могут формировать линии тока, отграничивающие область с особенностями от
Рис. 3.1. Картина обтекания эллипсоподобного тела,
формируемая парой источник-сток
61
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
окружающей жидкости, что в рамках модели идеальной жидкости
может интерпретироваться как твердая граница (в модели вязкой
жидкости на такой границе, вообще говоря, не будут выполняться
граничные условия для скорости).
Рис. 3.2. Картина нефизичного течения, формируемая смещенной парой источ-
ник-сток. Линии тока от набегающего потока попадают в точки с особенностями
Мнимая интенсивность
Если A – мнимое (запишем это как A = iB), то проекции скорости выражаются так:
vB
x
y
,
22
xy
62
3.6. Примеры комплексных потенциалов для плоских течений
x
vB
y
xy
,
22
откуда следует, что скорость v всегда перпендикулярна радиус-век-
тору r, а движение частиц жидкости происходит по окружностям
в направлении, определяемом знаком B. Величина скорости при
этом обратно пропорциональна расстоянию до центра. Такое течение называют потенциальным вихрем (несмотря на название, завихренность здесь по-прежнему равна нулю во всей
области, кроме
центральной точки, где она обращается в бесконечность). Можно
ввести циркуляцию как
lim
* W
vdl
³
0
R
o
l
,
где l – замкнутый контур в форме окружности радиуса R, τ – единичный вектор направляющей контура, имеющий проекции
(–sin , cos ). Тогда
2
lim sin cos lim2 2
R R
0 0
0
sin cos
RR
BBRdBB
22
RR
а значит, при мнимых значениях A выполняется
Ai
22
.
i
Потенциал скорости и функция тока для вихрей выглядят сле-
дующим образом:
arg2xiy
22
ln2xy
,
.
В этом случае разрыв при пересечении оси OX терпит уже потенциал скорости. В отличие от функции тока, потенциал тока входит в выражение для давления через свою производную по времени. Это означает, что в случае зависящей от времени циркуляции
вихря (производная такого потенциала по времени сохранит функцию arg), функция давления будет также иметь разрыв, что сразу
,
63
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
делает решение нефизичным (положение же центра вихря от вре-
мени зависеть может).
В отличие от стоков и источников, даже одиночные вихри создают в некоторой своей окрестности замкнутые линии тока, которые
могут быть заменены на твердую границу, кроме случаев, когда в
той же точке находится другая особенность течения (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Картина течения, формируемая вихрем в набегающем потоке. Может интерпретироваться как обтекание каплевидного тела, или как обтекание тела, соот-
ветствующего любому из внутренних замкнутых контуров
Комплексная интенсивность
Если A – комплексное, то течение представимо в виде наложения вихря на источник/сток и называется соответственно вихре-
64
3.6. Примеры комплексных потенциалов для плоских течений
источник или вихресток. Комплексный потенциал при этом можно
записать как
Qi
При этом скорость частиц жидкости, как и ранее, обратно про-
порциональна расстоянию до центра, траектории представляют
собой логарифмические спирали.
3. Обратная функция
где A – комплекснозначная константа. Как и ранее, для упрощения выкладок, будем их проводить в системе координат, центр
которой соответствует точке z0 на комплексной плоскости. Также
представим константу в виде A = a + ib. Тогда
Комплексная скорость в этом случае равна
waib aib
viv
Как видно, скорость в этом случае принимает довольно слож-
ный вид. Получить представление о характере течения будет проще с использованием функции тока:
Построим семейство кривых вида = C, где C – произвольная
константа.
xy
zxiy
w
Im( ) Im Im
Im ax by ibx iay
z
wz
2
w
zz
aib
w
22
aib
xiy
22 22
xy xy
bx ay
22
xy
.
ln
A
,
0
.
z
aibxiy
aibxiy
xy
bx ay
,
C
22
xy
22
.
2
.
65
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
или
22
Cx y bx ay
.
Выполним перегруппировку и переобозначим константу
= 1/(2C):
C
1
22
220xCbxyCax
11
.
Видно, что полученное выражение может быть представлено
через полные квадраты:
xCb yCa Ca b
22
111
22 2
,
что, очевидно, задает некоторую окружность в плоскости OXY. Можем заметить, что при любых значениях константы точка x = 0, y = 0
удовлетворяет этому уравнению, то есть все линии тока для такого
течения проходят через центр (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Картина течения, формируемая диполем (без набегающего потока)
66
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра
При этом центры окружностей выстраиваются на комплексной
плоскости по линии z = C
(–b + ia), или z = C1iA. При C = 0 (C1)
1
линия тока является прямой, проходящей через центр, а также через точку A на комплексной плоскости.
Потенциал диполя может быть получен как предельный слу-
чай пары источник-сток равных интенсивностей Q, если расстояние d между ними стремится к нулю, а интенсивность растет обратно пропорционально расстоянию с сохранением
произведения
m = Qd. В связи с этим используют запись
wz
m
,
2
где m называют моментом диполя. Также этот потенциал может
быть получен предельным переходом из пары вихрей противоположной интенсивности (при этом их расположение должно быть
перпендикулярно тому, которое используется при выводе через
сток и источник).
Если потенциалы вихрей и источников/стоков еще могут ис-
пользоваться для описания каких-то процессов непосредственно
в жидкости, то потенциалы диполей практически исключительно
применяются при моделировании формы обтекаемого тела, внешней границы и в других подобных ситуациях. В следующем разделе мы разберем такое применение на классическом примере задачи об обтекании цилиндра.
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра
Рассмотрим потенциал, получаемый объединением потенциа-
ла набегающего потока и диполя. При этом будем использовать
положительную вещественную константу v0 для линейной функции (что соответствует течению слева направо в комплексной плоскости) и положительный вещественный момент m у диполя (что
соответствует течению жидкости навстречу набегающему потоку в
секторах, направленных по вещественной оси) (рис. 3.5).
wvz
m
0
,
2
z
67
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
Im( ) Im Im
wv xiy
mxiy my
vy vy
00
Im
22
0
22 22
xy xy
m
2
1
xiy
.
Рис. 3.5. Картина течения, формируемая диполем в набегающем потоке (соответ-
ствует обтеканию круглого цилиндра)
Обращает на себя внимание одна самопересекающаяся линия
тока, выглядящая как перечеркнутая окружность. Поскольку касательная к линии тока определяет направление скорости, оче-
68
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра
видно, что самопересечение возможно только в случае, когда скорость в точке пересечения равна нулю.
22
0
mxy
2
x
my x
22
2
xy
2
22
xy
,
2
.
2
vv
x
y
v
y
Очевидно, что vy обращается в ноль только когда x = 0 либо y = 0.
Согласно полученной картине обтекания, выбираем случай y = 0.
Тогда выражение для vx принимает вид
2
mx m
vv v
x
0
y
00
42
22
xx
1
.
Приравнивая vx к нулю, получаем итоговое выражение для по-
ложения точки самопересечения (x0, y0):
xy
00
m
,0
v
2
0
и значение функции тока в этой точке
.
0
0
Найденная точка называется критической точкой потока, а
проходящая через нее линия тока – критической линией тока. Выпишем уравнение, описывающее данную конкретную линию тока:
my
vy
00
22
2
xy
,
0
или
vy
0
m
22
2
xy
1
0
.
Одно из решений этого уравнения y = 0 описывает прямую ли-
нию, которая нас мало интересует, поэтому сократим все выражение на y:
1
m
22
2
xy
.
v
0
69
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
Полученное выражение приводится к уравнению для правильной окружности:
22
xy
m
,
2
v
0
радиус a которой равен
m
av
.
2
0
Если, наоборот, выразить момент диполя через радиус цилиндра
2
2mva
0
и подставить в исходное выражение для комплексного потенциала, то получим простую запись
2
wvz
a
0
.
z
Напомним, что приведенные выкладки справедливы для вещественного v0, в общем же случае можно показать, что потенциал
будет иметь вид
2
wvzv
a
00
z
. (3.5)
Представим координаты x, y на поверхности цилиндра через
полярный угол :
cosxa
,
.
sinya
Тогда комплексная скорость принимает вид
2
viv v v
xy
1 cos sin 1 cos sin 2 cos sinviv i
00
z
11
00
22
z
2
wa
22
1
cos sin
i
Выпишем проекции скорости отдельно и перейдем к тригонометрическим функциям двойного аргумента:
vv
1 cos2
0
x
vv
y
sin2
0
,
.
70
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]