Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
3.2. Уравнение вихрей
говое давление, которое будет включать гидростатический довесок
V. Сама же система принимает следующий вид:
,
0v
vv p
t
1v
.
3.2. Уравнение вихрей
Вспомним, что физический смысл уравнения движения состо-
ит в том, какие факторы влияют на динамику изменения скорости
жидкости в точке, то есть на ее производную по времени. Однако
ключевой фактор такой динамики – давление – является неизвестной функцией. И для ее нахождения у нас есть только уравнение
неразрывности, в которое давление не входит вовсе. Это делает задачу численного решения таких уравнений весьма нетривиальной. Существует несколько подходов к решению данной задачи.
Для начала, получим условие, что поле давлений вообще может
существовать. Для этого применим необходимое условие существования достаточно гладкой функции p – условие равенства смешан-
ных производных:
22
pp
Уравнение движение – векторное, и в каждую из его проек-
ций входит по одной производной давления. Мы можем составить
три уравнения для равенства всех возможных смешанных производных давления, но, поскольку они будут отличаться только индексами и переменными дифференцирования, ограничимся парой
x, y. Выражая производные давления из соответствующих уравнений, получаем
v
yt xt
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и сгруппи-
руем:
xx xx
ij ji
x
vv vv
xy
.
v
y
.
51
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
vv
ty x y x y x
vv
xx
vv
yy
vvv
xy
Введем в рассмотрение вектор вихря скорости Ω:
v
vv
vvvv
yy
zxzx
yzzxxy
,,
Тогда уравнение может быть переписано как
0
.
.
z
vvv
tyx
vv
zx y
0
.
С помощью несложных преобразований можно показать, что
последние два слагаемых также представимы через компоненты
вихря скорости:
vv
vv
vvv v v
vvvvvvv
yyy y y
xzxxxzx
xx xy xz yx yy yz
vvv v
vv vvvv
yyy y
xx xzxz
xx y yx y yz xz
vvvv
xzxz
xyyzxz
vvvv
xzzz
zzy
xy xyxz
vvvv
xzzz
xy y xzy
yx
xy
vv
yy
zz
vv
vv
yy
v
yy
zy
vvv
zzz
zyx
zyx
52
vvv
zzz
zyx z
zyx
.
v
3.3. Безвихревые течения жидкости
Здесь в последней строчке мы воспользовались равенством
нулю дивергенции скорости вследствие несжимаемости жидкости.
При рассмотрении сжимаемого газа это слагаемое осталось бы в
итоговом выражении (впрочем, для сжимаемого газа формулировка уравнений через вихрь скорости используется редко). Таким образом, мы получили следующую формулировку для условия существования поля давления:
z
vv
t
zz
. (3.1)
0
Для двух оставшихся условий вывод делается аналогично и в
векторной форме искомое условие записывается как
t
. (3.2)
0vv
Полученное уравнение называется уравнением вихря для иде-
альной несжимаемой жидкости.
3.3. Безвихревые течения жидкости
Очевидно, что если вектор вихря скорости Ω тождественно ра-
вен нулю, то уравнение (3.2) автоматически выполняется. Более
того, если вектор вихря равен нулю во всем пространстве хотя бы в
один момент времени, то он и останется равным нулю в дальнейшем (поскольку в этом случае из уравнения вихря следует, что его
производная по времени также равна нулю). Такие течения жидкости носят название безвихревых. Важнейшей особенностью безвихревых течений является возможность представления вектора
скорости через градиент скалярной функции – потенциала скорости :
Подстановка этого представления скорости в уравнение нераз-
рывности дает нам уравнение Лапласа для потенциала скорости:
v
0
.
.
53
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
В этом случае уравнение движения становится интегрируемым.
Можно показать, что оно выполняется при следующем виде функции давления:
pp
0
2
t
,
2
v
где p0 – некоторая константа. Таким образом, вся задача сводится к нахождению такой гармонической (то есть лапласиан которой
равен нулю) функции потенциала, которая удовлетворяет условиям рассматриваемой задачи. При этом уравнение Лапласа является линейным (а значит, любая линейная комбинация его решений
также будет являться решением) и хорошо изученным. Для него
существует фундаментальное решение (более того, уравнение Лапласа является самым первым уравнением, для которого было получено фундаментальное решение), что предоставляет очень широкие возможности по «конструированию» решений с нужными
свойствами.
Полученная формула для давления носит название интеграла
(закона) Бернулли. В ряде случаев использование этого интеграла
в сочетании с законом сохранения массы позволяет решить задачу без полного расчета течения, например для течений жидкости в
трубах, когда нас интересует только расход жидкости (закон сохранения энергии будет выполняться как следствие закона Бернулли,
закон же сохранения импульса при этом неприменим для нахождения скорости или давления в жидкости, так как неизвестно давление на стенках, способное передать произвольный импульс жидкости без совершения работы, хотя может быть использован при
необходимости это воздействие на стенки найти при известных параметрах течения на входе и выходе).
Отметив, что хотя, вообще говоря, приведенные выкладки справедливы как для модели идеальной, так и для модели вязкой жидкости, однако в задачах, где требуется учет вязкости, рассмотрение безвихревых течений, как правило, не имеет практического
смысла (а может быть и просто неприемлемым из-за невозможности удовлетворить поставленные граничные условия).
54
3.4. Плоские течения жидкости
3.4. Плоские течения жидкости
Под плоским мы будем понимать такое течение, в котором во
всех точках области (и для любого момента времени) равна нулю
проекция скорости жидкости на одну из координатных осей, а также производные всех функций по этому направлению. Для определенности, будем считать, что такой осью является ось OZ. Уравнение неразрывности тогда принимает следующий вид:
v
v
Уравнение для вихрей также упрощается. В плоском течении
может быть отлична от нуля только одна проекция вихря скорости,
в данном случае – z. По сути, это означает, что мы можем использовать (3.1) вместо (3.2). Кроме того, в нем обнуляется слагаемое,
содержащее vz. Итоговый вид тогда становится таким:
zzz
vv
xy
txy
Введем в рассмотрение функцию тока (t,x,y), такую что
y
x
xy
v
x
0
,
y
.
.
0
v
y
.
x
Видно, что для любой функции тока уравнение неразрывности
выполняется автоматически. Вихрь скорости при этом равен двумерному лапласиану от функции тока:
x
22
22
xy
.
v
v
y
z
xy
Это означает, что вся система может быть сведена к одному
уравнению для одной скалярной функции:
tyxxy
0
.
55
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
3.5. Плоские безвихревые течения жидкости
Для плоских безвихревых течений существует и потенциал скорости, и функция тока. При этом, очевидно, выполняется
xy
,
Эти равенства называются условиями Коши – Римана, выполнение которых означает, что если ввести комплексную величину
w = + i, то она будет представима как функция комплексной переменной z = x + iy (не путать с обозначением координаты z, которая в плоском случае не используется), несмотря на то, что у и
аргументы x и y независимы:
Тогда можно ввести комплексную скорость V = vx + ivy, причем
или эквивалентно
где чертой обозначен знак комплексного сопряжения. Таким образом, получаем уже третий способ представления скорости в плоском безвихревом движении (через потенциал скорости, через
функцию тока и через комплексный потенциал). Возникает резонный вопрос – зачем же это нужно? Использование комплексных переменных позволяет упростить некоторые выкладки, но
главное преимущество состоит вовсе не в этом. Ключевое свойство
комплексного потенциала состоит в том, что любая функция комплексной переменной z дает некоторое решение уравнений движе-
ния жидкости. Действительно, несложно показать, что лапласиан
комплексного потенциала равен нулю:
Vv iv i
xy
yx
() , ,wz x y i x y
xxxzxz
wi
V
.
w
,
z
.
wwzw
,
,
56
3.5. Плоские безвихревые течения жидкости
22 2 2 2 2
ww wz wz w w
wi
22
xy
2 2 22 22
wzwz ww ww
2 2 22 22
xy
z z zz zz
xz x yz y xz yz
ii
2
0
,
а значит, и лапласианы вещественнозначных потенциала и
функции тока также равны нулю. То есть для любой функции z
можно построить поле скоростей, в котором равны нулю дивергенция (значит, выполняется уравнение неразрывности) и вихрь скорости (значит, из уравнений движения можно восстановить поле
давления). Помимо прочего, это означает, что если у нас есть некоторый известный потенциал w(z), то решением будет и w((z)),
где – некоторое отображение из комплексной плоскости в комплексную плоскость (потому что получившаяся сложная функция
все равно в итоге является функцией z).
Покажем еще одно полезное свойство плоских безвихревых те-
чений – любое такое безвихревое решение может быть скомбинировано с решением, имеющим ненулевой вектор завихренности,
везде направленный перпендикулярно плоскости течения OXY и
не зависящий от x, y.
vv v
12
, (3.3)
v v xyt v xyt
11 1
v
(,,), (,,),0,
xy
0,0, ( , )zzt
22
Подставляя в (3.2), получим
2
12 2 2 12
t
или, перегруппировав слагаемые,
2
22221221
t
0v
,
1
,
22
,
,
0vv vv
.
0vvvv
57
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
Выражение в скобках равно нулю, поскольку v
и Ω2 являются
2
решением. Оставшиеся два слагаемых в проекциях на декартовы
координаты дают следующее:
221
vv
xy z
11 2
xy z
v
0
. (3.4)
Производные вектора завихренности по x, y равны нулю по исходным допущениям, производная скорости по z равна нулю, так
как является решением плоской задачи. Таким образом, сумма
скоростей для двух этих решений также является решением уравнений движения несжимаемой жидкости. Наиболее значимым
следствием этого является возможность комбинировать любое безвихревое решение с полем скоростей, соответствующим сдвиговому потоку,
vCy
x
v
,
,
0
y
и с полем скоростей, соответствующему вращению по закону твердого тела,
vy
x
vx
y
,
,
которые оба имеют равномерно распределенную ненулевую завихренность (см. также [1], где рассматриваются некоторые простые
вихревые течения идеальной жидкости).
3.6. Примеры комплексных потенциалов
для плоских течений
Приведем выражения для некоторых наиболее востребованных
комплексных потенциалов.
1. Линейная функция
где a – комплекснозначная константа, очевидно, равная значению
комплексной скорости везде в потоке
58
waz
,
3.6. Примеры комплексных потенциалов для плоских течений
w
viv a
xy
.
z
Данный потенциал используется для моделирования равно-
мерного набегающего потока воздуха. Перепишем его в виде
wvz
.
0
2. Логарифмическая функция
ln( )wA zz
,
0
где A – комплекснозначная константа. Для упрощения выкладок,
будем их проводить в системе координат, центр которой соответствует точке z0 на комплексной плоскости. Тогда
.
lnwAz
Комплексная скорость в этом случае равна
Ax iy
wA A
viv
xy
zzxiy
xy
22
.
Вещественнозначная интенсивность
Если A – вещественное, то проекции скорости выражаются сле-
дующим образом:
vA
x
x
,
22
xy
vA
y
y
,
22
xy
или, в векторной форме (в вещественной плоскости):
vr
Ar
,
2
что соответствует радиально направленным линиям тока, по которым частицы жидкости либо стекаются в центр (при отрицательном A), либо растекаются из центра со скоростью обратно пропорциональной расстоянию до центра (в исходной системе координат,
очевидно, жидкость втекает либо вытекает из точки z0). Такой потенциал называют потенциалом стока или источника. Жидкость в
59
Глава 3. Течения несжимаемой жидкости
таких течениях изымается либо добавляется в поток с объемным
расходом Q, который можно выразить формулой
lim
Qvndl
³
0
R
o
l
,
где l – замкнутый контур в форме окружности радиуса R, n – его
внешняя нормаль. Переходя к интегралу по углу обхода контура,
можно легко вычислить:
2
lim cos sin lim2 2
QA A RdAA
0 0
R R
cos sin
RR
0
22
RR
.
Таким образом, для вещественных значений A справедливо ра-
венство
A
Q
.
2
Потенциал скорости и функция тока для источников и стоков
выглядят следующим образом:
Q
2
Q
2
ln
arg
22
xy
xiy
,
,
где arg – функция аргумента комплексного числа, равная углу от
вещественной оси до вектора, указывающего на точку, соответствующую числу на комплексной плоскости (встречается еще запись
через двухаргументный арктангенс arctan2(y,x)). Следует отметить, что эта функция терпит разрыв в 2 при переходе через вещественную ось OX, что обычно не создает проблем, поскольку в
выражения для реальных гидродинамических величин функция
тока всегда входит через свои производные по координатам, которые разрыва в этом месте не имеют (это, однако, может в некоторых случаях быть источником путаницы при численном построении картины линий тока).
Потенциалы источников и стоков могут моделировать реально
заданные по условиям решаемой задачи источники жидкости, но
могут присутствовать и в отсутствие таковых. В последнем случае
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]