Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
Контрольные задания к главе 1
Указание к решению. Использовать закон сохранения момента
количества движения, за точку отсчета взять центр одной из частиц или точку касания.
Задание 2
Написать программу для численного моделирования движения
частиц газа в закрытой сфере радиуса 20,7 нм. Считать, что внутри сферы находится 1000 частиц, половина из которых – молекулы кислорода (радиус 0,3 нм, масса в условных единицах 32),
а другая половина – молекулы водорода (радиус 0,25 нм, масса в
условных единицах 2). Скорости частиц имеют величины порядка 200 м/с. Оценить соотношение времени расчета к модельному
времени. Оценить, какое влияние на скорости расчета оказывают
размер области, количество частиц и их средняя (начальная) скорость.
Указания к решению. Воспользоваться алгоритмом из пункта
«Численное моделирование». При расчете времени до столкновения представить координаты частиц в параметрическом виде через время, получить квадратное уравнение из условия, что расстояние между частицами равно сумме их радиусов. При обсчете
единичного столкновения проектировать скорости на направление от центра одной частицы к центру другой, для проекций применять (1.1) с поправкой на произвольное направление скоростей
(влияет на знаки v11 и v20).
Задание 3
При помощи программы из задания 2 исследовать перераспре-
деление кинетической энергии между частицами. Для этого в начальных условиях задать неравномерное по отношению к типам
частиц распределение кинетических энергий и отслеживать изменение их усредненных по частицам одного типа значений.
Задание 4
При помощи программы из задания 2 исследовать перераспре-
деление частиц в объеме. Для этого в начальных условиях задать
неравномерное распределение типов частиц в пространстве (на-
21
Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория
пример, частицы первого типа в одной половине сферы, частицы
другого типа – в другой) и отслеживать изменение их усредненных по частицам одного типа распределений (положение центра
масс для частиц каждого типа и среднеквадратичное отклонение
от него).
Задание 5
При помощи программы из задания 2 исследовать перераспределение скоростей частиц в объеме. Отслеживать количество
частиц, скорость которых более чем в полтора раза отличается от
средней скорости частиц этого типа (отдельно количество более
медленных и более быстрых частиц).
ГЛАВА 2.
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ОСНОВНЫХ МОДЕЛЕЙ
В гидродинамике наиболее широко используются четыре моде-
ли: модель идеальной жидкости, модель вязкой жидкости, модель
идеального газа и модель вязкого газа. Различие между ними состоит в том, учитывается ли сжимаемость среды (газы сжимаемы,
жидкости – нет) и эффекты вязкости (в идеальных моделях они не
учитываются). В двух моделях для жидкости внутренняя энергия
исключается из рассмотрения, как и связь между давлением, плотностью и температурой через уравнение состояния (что означает
меньшее количество уравнений). Отметим, что при численном решении добавление вязких слагаемых практически не влияет на
сложность задачи, поэтому в программных пакетах для численных
расчетов могут вообще отсутствовать модели без вязкости. В то же
время присутствие вязких слагаемых практически исключает возможность нахождения аналитического решения задачи (для сравнения, обе «идеальные» модели могут быть частично интегрированы, более того, при использовании модели идеальной жидкости
возможна суперпозиция элементарных решений).
Кроме того, к двум моделям для жидкости может добавляться
уравнение теплопроводности, для учета динамики изменения температуры. Однако это уравнение может решаться отдельно от системы, так как находимая из него температура не входит в остальные уравнения (кроме случая, когда для модели вязкой жидкости
вязкость считается зависящей от температуры).
Помимо этого, к «вязким» моделям могут добавляться допол-
нительные уравнения для моделирования турбулентности, что
позволяет частично компенсировать невозможность расчета течения на малых масштабах, но мы не будем рассматривать здесь
эту тему, поскольку существует большое количество моделей учета
турбулентности, каждая со своими допущениями и со своими областями применимости (определяемыми, по сути, эмпирически).
23
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
2.1. Общая схема вывода
Как нетрудно понять, наиболее сложной моделью является модель вязкого газа, три другие могут быть получены из нее отбрасыванием части слагаемых и исключением уравнений. Поэтому
мы будем в основном ориентироваться именно на нее для демонстрации вывода уравнений модели в дифференциальной форме
(очевидно, что исторически сначала были получены системы уравнений для более простых моделей). Вывод каждого уравнения будем выполнять по единому алгоритму: 1) выбор некоторого малого
объема; 2) подсчет суммарного содержания в нем некоторой величины, к которой применим соответствующий закон сохранения
(масса, импульс, момент импульса, энергия); 3) рассмотрение изменения этой суммарной величины за бесконечно малый момент
времени с учетом всех действующих факторов; 4) переход к пределу при стремящемся к нулю размере объема.
2.2. Выбор малого объема
Рассмотрим случай декартовой системы координат. Тогда наш
малый объем можно брать в виде прямоугольного параллелепипеда, ориентированного по осям системы координат с центром в точке (x0,y0,z0) и с длинами сторон 2dx, 2dy, 2dz (можно было бы взять
и более простой куб, но рассмотрение объема с тремя разными размерами будет полезнее для понимания вывода в случае работы в
криволинейной системе координат).
Будем обозначать объем как V, а площади граней – с индексом, характеризующим ортогональную к грани ось и направление
(Sx+, Sy– и т. п.). При рассмотрении прямоугольного параллелепипеда в декартовой системе очевидно справедливы следующие соотношения:
8V dxdydz
,
24
S S dydz
xx
S S dxdz
yy
S S dxdy
zz
4
4
4
,
,
.
2.3. Закон сохранения массы в дифференциальной форме
Будем считать, что исследуемая физическая величина в этом
объеме является непрерывной интегрируемой функцией (условно
обозначим ее f), которая в силу малости объема может быть представлена в виде линейного разложения:
fff
(,,)( ) (,,)( ) (,,)( )
xyz x x xyz y y xyz z z
000 0 000 0 000 0
xyz
(,,) ( , , )fxyz fx y z
000
(2.1)
,
или, для краткости
(,,) ()()()
fxyz f f x x f y y f z z
00 0 0
xyz
. (2.2)
Выделим семь точек, которые нам нужно будет часто использо-
вать – центр объема (x0,y0,z0) и шесть центров граней (x0+dx/2,y0,z0),
(x0–dx/2,y0,z0), (x0,y0+dy/2,z0) и т. д. Будем обозначать индексом 0
значения функций в центре объема – f0, а значения функций, взятые в центрах граней, – через имя соответствующей оси и знак +/–
в зависимости от выбранной стороны (fx+, fy– и т. п.).
2.3. Закон сохранения массы
в дифференциальной форме
Масса, содержащаяся в объеме, может быть найдена как объем-
ный интеграл от плотности
mdV
.
V
Ввиду антисимметричности линейной части (2.1) значение ин-
теграла будет определяться только значением в центре, то есть 0:
8m dxdydz V
00
.
Множители dx, dy, dz являются малыми и вместе определяют
ту степень малости, слагаемые с которой нам следует удерживать
(в общем случае отбрасывание слагаемых с более высокими порядками малости происходит только на заключительном этапе, поскольку возможно взаимосокращение части слагаемых, но в данном случае мы можем быть заранее уверены, что ключевая часть
соотношения не сократится).
25
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
Отметим, что при использовании криволинейных координат
вклад линейной части, вообще говоря, не будет полностью сокращаться (из-за того, что рассматриваемый объем не будет симметричен относительно всех осей), однако остаток будет иметь более
высокий порядок малости (то есть дополнительные множители dx,
dy или dz) и в итоговом выражении все равно будет отбрасываться
при переходе к пределу.
Обозначим через m изменение содержащейся в объеме массы
за бесконечно малый период времени t и рассмотрим, какие факторы дают вклад в это изменение. Ввиду того, что вещество не может создаваться или уничтожаться внутри объема, очевидно, что
изменение полной массы может происходить только за счет выхода
части вещества за пределы объема или поступления его из внешней области (кроме задач с учетом химических реакций, в которых
одно вещество может переходить в другое внутри объема, что будет отражаться на выводе уравнений). Скорость поступления (или
убытия, в зависимости от знака) вещества (как и импульса, энергии и любой другой величины) через границу выражается как поверхностный интеграл от произведения плотности на нормальную
скорость (где направление нормали берется внутрь объема). Выпишем, какой вклад будет давать пара граней, соответствующих
оси x. При этом будем пренебрегать зависимостью всех величин
(кроме, разумеется, самой m) от времени ввиду малости t. Тогда,
обозначив через mx изменение полной массы за счет перемещения вещества только через две выбранные грани, получим следующее выражение:
m
x
t
vdS vdS
nn
SS
xx
vdS vdS
xx
SS
xx
.
Здесь использован тот факт, что внутренние нормали выбранных двух граней обе направлены вдоль оси x (а значит, вклад в
проекцию дает только vx), но в разных направлениях, что приводит
к появлению знака «минус» в выражении. Учитывая форму граней
26
2.3. Закон сохранения массы в дифференциальной форме
и их положение, это выражение можно переписать в декартовых
координатах как
ydyzdz
00
m
x
t
ydyzdz
00
xdxyzvxdxyz
xdxyzvxdxyzdzdy
00
,, ,,
,, ,,
00
x
x
.
Согласно (2.2) подынтегральное выражение можно представить
в следующем виде:
dx y y z z v v dx v y y v z z
0000 00
x y z x xx xy xz
0000 00
()() ()()
dx y y z z v v dx v y y v z z
x y z x xx xy xz
()() ()()
,
где у скорости первый индекс означает проекцию, а второй – производную по координате, как в (2.2). Нетрудно проверить, что при
раскрытии скобок большая часть слагаемых сократится, остаток
же будет иметь вид:
2()()
dx v v y y v z z
00 0
x x xy xz
2()()
vdx y y z z
00 0
xx y z
.
Интегралы от слагаемых, содержащих (y – y0) или (z – z0) будут
в данном случае равны нулю из-за их антисимметричности относительно центров соответствующих интервалов интегрирования. Таким образом, остается лишь
m
x
224
t
v dx v dx dydz
xx xx
00
.
Очевидно, вклад по двум другим направлениям будет выгля-
деть (для декартовой системы) аналогично и мы можем записать
уравнение полностью как
m
224
t
v dx v dx dydz
224
00
xx xx
v dy v dy dxdz
00
yy yy
224
v dz v dz dxdy
00
zz zz
.
27
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
Вспоминая, что m = 8
dxdydz, сокращая все выражение на
0
8dxdydz и перенося все слагаемые в левую часть, получим
0
vvvvvv
00 00 00
xx xx yy yy zz zz
t
.
0
Устремим к нулю t, первое слагаемое при этом превращается в
частную производную по времени. Также немного перегруппируем
оставшиеся слагаемые:
0
v v v vvv
0000
xx yy zz xx yy zz
t
.
0
Ввиду того, что (x0, y0, z0) это произвольно выбранная точка, полученное уравнение должно выполняться во всем объеме. Вспоминая, что один из индексов отвечает дифференцированию по пространственной координате, можем переписать его в виде
v
vv
vvv
xyz
txyz xyz
y
xz
0
. (2.3)
В итоге мы получили первое уравнение модели вязкого газа –
уравнение неразрывности. Аналогичным образом оно может быть
выведено и в других системах координат, в том числе и в общем
виде для криволинейных ортогональных координат ([5]). В векторной форме оно может быть записано как
t
.
0vv
В такой же форме это уравнение входит в модель идеального
газа. В моделях же идеальной и вязкой жидкости плотность является константой, и уравнение неразрывности сводится к равенству
нулю дивергенции скорости.
2.4. Закон изменения количества движения
в дифференциальной форме
Вектор суммарного количества движения, содержащегося в
объеме, может быть найден как объемный интеграл от произведения плотности на скорость газа:
28
2.4. Закон изменения количества движения в дифференциальной форме
KvdV
V
.
Ввиду антисимметричности линейной части плотности и скоро-
сти и симметричности самого объема относительно всех осей, можно показать, что и здесь значение интеграла будет определяться
только значением в центре с точностью до малых более высоких
порядков:
8K dxdydz v V v
00 00
.
В отличие от вещества, источники импульса могут присутство-
вать внутри малого объема в виде массовых сил (точнее, они присутствуют всегда, но не всегда учитываются при решении конкретной задачи). Чаще всего таким образом вводится сила тяжести, но
бывает, что используются (фиктивные) инерционные силы (центробежная, сила Кориолиса), а также электромагнитные силы (например, для ионизированного газа). Обозначим вклад массовых
сил в изменение полного импульса как dKf. Помимо этого, как и
для уравнения неразрывности, имеет место конвективный вклад –
перенос импульса через границы объема, который мы обозначим
dKc. И наконец, присутствуют внутренние силы, которые отражают влияние соседних объемов жидкости друг на друга, включая взаимопроникновение их частиц при хаотическом движении,
вклад которых назовем dKs.
KdK dK dK
fcs
.
Вклад массовых сил можно вычислить как
dK t FdV
f
V
,
где вектор F – сила, удельная к единице массы. Применяя линейное разложение и отбрасывая малые более высоких порядков,
можно получить
dK F V t
00f
. (2.4)
Вклад от конвективных процессов считается так же, как в слу-
чае с уравнением неразрывности, с поправкой на то, что с потоком
газа переносится не скалярная, а векторная величина. Скорость
при этом определяет как переносимую величину, так и скорость
29
Глава 2. Вывод уравнений основных моделей
переноса. Для пары граней, соответствующих оси x, это будет выглядеть так:
ydyzdz
00
t x dx y z v x dx y z v x dx y z
ydyzdz
00
xdxyzvxdxyzvxdxyzdzdy
dK v vdS v vdS
cx n n
SS
xx
,, ,, ,,
000
vvdS vvdS
xx
SS
xx
,, ,, ,,
000
x
x
.
Согласно (2.2) принимаем, что
xdxyz dx yy zz
v x dx y z v v dx v y y v z z
x x xx xy xz
v x dx y z v v dx v y y v z z
y y yx yy yz
v x dx y z v v dx v y y v z z
z z zx zy zz
,, ( ) ( )
00 00
,, ( ) ( )
00 00
,, ( ) ( )
00 00
,, ( ) ( )
00 00
xy z
,
,
,
,
где, как и ранее, у скорости первый индекс означает проекцию, а
второй имеет смысл производной. При подстановке в интеграл и
раскрытии скобок все слагаемые, не содержащие dx либо содержащие его вторую степень, сократятся.
dK v v dx v v dx v v i v j v k dx
222
cx x x xx x xx yx zx
00 0 0 0 0
v v i v j v k dx tdydz
xxx xx yx zx
3
4
.
Отбросим слагаемое, содержащее dx3, по причине его малости
по сравнению с остальными. Тогда
dK v v v v v v i v j v k V t
00 0 0 0 0cx x x xx x xx yx zx
.
Соберем вместе вклады для всех пар граней:
dK v v v v V t
0000cxxyyzz
(2.5)
30
vvvvVt
0000xx yy zz
vvivjvkVtvvivjvkVt
00 00x xx yx zx x xy yy zy
vvivjvkVt
00zxzyzzz
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]