Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

3.11. Течение Пуазейля





rCr















vCrC 

pFCzC  



Для нахождения неизвестных констант требуется задать неко-

торые граничные условия. Если мы рассматриваем течение в трубе, то два условия на скорость получаются естественным образом: одно – это условие прилипания, то есть скорость на стенке трубы должна быть равна нулю, и второе – это условие ограниченности скорости, то есть в области течения не должно быть точек, где скорость бесконечна. Из второго условия сразу следует, что C1 должно быть равно нулю, поскольку логарифм стремится к минус бесконечности при приближении к оси. Из первого, считая, что радиус трубы равен a, получаем условие





то есть

C 

а значит

var 



Для давления зададим его значение в двух точках z1 и z2:



Глава 3. Течения несжимаемой жидкости

Тогда получаем систему из двух уравнений для нахождения констант C и C

pFCzC  



113z

pFCzC  



223z

решением которой являются выражения:





 



pz pz

21 12







Тогда окончательно можем выписать решение в следующем виде:



vF ar

 







pp zz

 





Объемный расход жидкости в таком течении можно посчитать прямым интегрированием

QvdSrvrdr F rardr

  

zz z

 

()























Полученные формулы есть одна из вариаций закона Пуазейля, описывающего реально существующие течения жидкости. Поскольку при этом вязкость жидкости напрямую влияет на расход, который является наблюдаемой и легко измеримой величиной, такие течения могут использоваться для экспериментального определения вязкости жидкости. Однако, начиная с некоторой скорости движения жидкости, течение Пуазейля теряет устойчивость и становится турбулентным, после чего формулы для расхода перестают работать.

3.12. Безразмерная запись уравнений движения

Стоит отметить, что в рассмотренном течении закон Бернулли

не выполняется как в пределах отдельного сечения (давление везде в сечении одинаково, но скорость меняется), так и вдоль линий тока (скорость вдоль линии тока постоянна, но давление меняется). При этом если невыполнение в пределах сечения есть следствие ненулевой завихренности и имеет место также в рамках модели идеальной жидкости, то невыполнение вдоль линии тока есть следствие именно вязкости. В гидравлике вводится понятие

«напор», выражаемое следующим образом:

 



Если бы интеграл Бернулли (с учетом гидростатического дав-

ления) выполнялся, то напор сохранялся бы вдоль линий тока. Однако вязкие силы способны приводить к потерям напора, что становится важным при транспортировке жидкости или газа (для которых этот эффект также имеет место) на большие расстояния. Также к потерям напора могут приводить и резкие изменения структуры течения [4].

3.12. Безразмерная запись уравнений движения

В предыдущем разделе было упомянуто, что при росте скорости

потока с какого-то момента течение Пуазейля теряет устойчивость и становится турбулентным. Наступление этого момента, вообще говоря, можно оттянуть, если принять специальные меры к устранению всех неоднородностей в потоке, но в остальных случаях существует критическая величина скорости (которая может быть найдена из эксперимента), четко отграничивающая ламинарный режим течения от турбулентного. Однако выводить эмпирическое значение критической скорости для каждого варианта конфигурации трубы было бы проблематично. Попытаемся сделать некоторое обобщение, которое позволило бы нам применять полученные для конкретного случая результаты для более широкого класса задач. Выпишем для этого уравнения движения (2.12) в безразмерной форме. Для простоты будем считать, что из сил действует только сила тяжести. Выполним следующее преобразование:

Глава 3. Течения несжимаемой жидкости

,,,xLx yLy zLz tTt



vVv vVv vVv

xxyyzz



000

pPp



;

здесь штрихами помечены безразмерные координаты и функции,

L – характерный масштаб длины, T – характерный масштаб времени (не температура!), V0 – характерный масштаб скорости и P – характерный масштаб перепада давлений. Операции дифференцирования при этом преобразуются следующим образом:

1111





xLx yLy zLz tTt



,,,



Подставляя приведенные преобразования в систему (2.12), получаем

VV V





00 0



Tt L L



vvg p v

  

vL 





Размерности всех слагаемых в уравнениях движения сейчас <м/с2> и <1/c> в уравнении неразрывности. Добьемся их приведе-

ния к безразмерной форме. В уравнении неразрывности для этого достаточно сократить общий множитель, уравнения же движения разделим на множитель при конвективной части:

0v 



Lv gL P



TV t V L



vv k p v

   

  





Введем новые обозначения для четырех безразмерных комплексов, входящих в уравнение движения:



3.12. Безразмерная запись уравнений движения



V



с использованием которых уравнение записывается как





   

Sh Eu

vv k p v

  



Fr Re

Таким образом, мы получили безразмерную форму записи урав-

нений модели вязкой жидкости. Введенные безразмерные обозначения имеют следующие названия: число Струхаля – Sh, число Фруда – Fr, число Эйлера – Eu и число Рейнольдса – Re. Значения этих чисел для конкретной задачи позволяют оценить величину вклада от разных типов сил (массовые, инерционные, вязкие, а также силы давления) в формирование течения. В полном составе они, однако, используются довольно редко (описание использования методов теории размерностей в применении к различным задачам можно найти в [14]). Если взять один из наиболее распространенных классов задач – стационарное течение в пренебрежении силой тяжести, то число Струхаля оказывается равно нулю, а число Фруда – бесконечности. Тогда уравнение движения принимает следующий вид:

vv p v     

  

Если в постановке задачи нет характерного перепада давления,

который мы могли бы взять для вычисления числа Эйлера, то мы можем просто задать его в виде

PV

что соответствует равенству числа Эйлера единице. Тогда в уравнении движения остается только один безразмерный параметр – число Рейнольдса:

vv p v    

  

Глава 3. Течения несжимаемой жидкости

Число Рейнольдса является очень важной характеристикой течения и позволяет делать оценки о турбулентном или ламинарном характере течения для широких классов задач. Чем это число больше, тем меньше относительный вклад вязких сил, стремящихся выравнивать градиенты скорости в потоке, и тем меньше препятствий для развития хаотического турбулентного течения. Само по себе большое значение числа Рейнольдса еще не гарантирует турбулентного характера течения и многое зависит от неоднородностей во входящем/набегающем потоке и на границах области/ обтекаемого тела. Дело в том, что вязкие силы подавляют развитие возмущений при неустойчивости, но если возмущений в потоке просто нет, то даже при полном отсутствии вязких сил переход в турбулентный режим не произойдет.

Контрольные задания к главе 3

Задание 1

Применить формулу гидростатического давления для расчета силы, необходимой для открытия погруженного в жидкость клапана. Провести эксперимент и сравнить значения, полученные по формуле и из эксперимента.

Указание: порядок выполнения изложен в приложении 1, лабораторная работа 1.

Задание 2

Резервуар с жидкостью в форме куба со стороной a вращается вокруг оси, проходящей через его центр и центр одной из граней с угловой скоростью . Вычислить силы, порождаемые давлением жидкости, действующие на его грани, не учитывая влияние силы тяжести.

Указания. Ввести в рассмотрение инерционную силу, соответствующую центростремительному ускорению, выразить ее через потенциал, давление в жидкости считать гидростатическим для этого потенциала. Силу вычислять для двух случаев – для одной грани, расположенной перпендикулярно оси вращения, и для одной грани, расположенной параллельно оси вращения.

Контрольные задания к главе 3

Задание 3

Имеется течение идеальной жидкости плотности  в трубе пере-

менного сечения. Площадь сечения в начале сегмента трубы равна S, в его конце – 2S, направление трубы не меняется, скорость на входе равна v. Считая, что в начале и в конце трубы скорость равномерно распределена по сечению и имеет только нормальную составляющую, найти силу, действующую на сегмент трубы со стороны жидкости.

Указания. Использовать закон сохранения массы для опреде-

ления скорости на выходе из сегмента, использовать закон Бернулли для нахождения разности давлений на входе и выходе, использовать закон об изменении импульса для составления баланса входящего и выходящего из объема импульса, сил давления на входе и выходе из сегмента, а также сил, действующих на жидкость со стороны стенок (поскольку действие равно противодействию, эти силы будут равны по величине силам, действующим на трубу со стороны жидкости, но противоположны по направлению).

Задание 4

В пакете символьного программирования Maple или аналогич-

ном построить линии тока для комплексного потенциала вихреисточника с интенсивностью Q = 1 и циркуляцией  = 1.

Указание. Воспользоваться оператором построения графика

неявно заданной функции для выражения  = C, где  – выражение для функции тока, C – некоторая варьируемая константа, либо численным интегрированием траекторий точек с различными стартовыми положениями.

Задание 5

Из комплексного потенциала диполя вывести выражение для

потенциала скорости .

Задание 6

Выведите формулу (3.5) для набегающего потока, скорость кото-

рого имеет проекции на обе оси.

Глава 3. Течения несжимаемой жидкости

Задание 7

Докажите, что суммарное влияние сил давления на полностью погруженное в жидкость тело равно нулю, если давление жидкости везде на его поверхности одинаково.

Указание. Выписать суммарное влияние в виде интеграла по поверхности тела, воспользоваться формулами перехода от интеграла по замкнутой поверхности к интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью.

Задание 8

Показать, что решение с ненулевой завихренностью вида

v yF t xf t

() ()

vzftft



v 



() ()

где f1 и f2 – произвольные функции времени, а









()

Ft Ce



удовлетворяет (3.4), а значит, может быть скомбинировано с любым плоским безвихревым течением.

Задание 9

Вывести поле скоростей предыдущей задачи из (3.3).

Указания. Возможный ход вывода может выглядеть так:

1. Показать, что завихренность при таких допущениях может

зависеть только от t, но не от z.

2. Показать, что vx и vy не могут зависеть от z.

3. Показать, что vz не может зависеть от x, y.

4. Показать, что vz может зависеть от z только по линейному за-

кону.

5. Получить общие решения для vz и завихренности.

6. Найти частное решение для vx и vy (оно может отличаться от

приведенного, поскольку позволяет добавление любого плоского поля скоростей с нулевой завихренностью).

Контрольные задания к главе 3

Задание 10

Проверить, что формулы для течения Пуазейля удовлетворяют

уравнениям модели вязкой жидкости в декартовых координатах. Модифицировать их для течения в трубе эллиптического сечения.

Задание 11

Найти экспериментально величину динамической вязкости

воды, воспользовавшись формулами, полученными для течения Пуазейля.

Указание: порядок выполнения изложен в приложении 1, лабо-

раторная работа 2.

Задание 12

Найти экспериментально критическую величину числа Рей-

нольдса, при котором течение жидкости становится турбулентным.

Указание: порядок выполнения изложен в приложении 1, лабо-

раторная работа 3.

Задание 13

Найти экспериментально величину потерь напора при течении

в круглой трубе постоянного сечения.

Указание: порядок выполнения изложен в приложении 1, лабо-

раторная работа 4.

Задание 14

Найти экспериментально величину потерь напора при нали-

чии в круглой трубе внезапного расширения.

Указание: порядок выполнения изложен в приложении 1, лабо-

раторная работа 5.

Задание 15

Выполнить численное моделирование течения в круглой трубе

с внезапным расширением в ANSYS CFX. Сравнить результаты с результатами предыдущего задания.

ГЛАВА 4.

ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

Хотя газы обладают намного более выраженным свойством сжимаемости, чем жидкости, в ряде случаев изменение плотности в потоке все же достаточно мало, что позволяет использовать модель несжимаемой жидкости для таких течений. Этим объясняется тот факт, что развитие теории летательных аппаратов тяжелее воздуха начиналось с использования модели идеальной жидкости. В дальнейшем, по мере роста скорости движения самолетов, возникла необходимость в учете сжимаемости. Особенно важно это для расчета сверхзвуковых самолетов и реактивных двигателей.

4.1. Идеальный газ

В главе 2 мы приводили систему уравнений для модели идеального газа (2.11). Немного преобразуем первое и третье уравнения этой системы с целью исключить из них дивергенцию скорости:







 



lnvv





lnlnp





Тогда можем записать

или, с использованием обозначения для полной производной,





ln ln





   



vp v

 



ln ln

vp v



ln ln

dpdt 





















<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]