Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
4.1. Идеальный газ
С учетом свойств логарифма, это уравнение можно упростить до
следующего вида:
dp
dt
.
0
Поскольку производная в данном случае используется полная
(то есть в нее входят и проекции скорости), мы не можем просто
проинтегрировать полученное выражение, но можно переписать
его в следующем виде:
pC
,
dC
dt
0
,
где C – некоторая неизвестная функция, производная которой
вдоль траекторий частиц жидкости равна нулю (иными словами,
значение C сохраняется для каждой частицы жидкости в процессе ее движения). В общем случае это мало чем может нам помочь в
исследовании течения, но в большинстве ситуаций возможно рассмотрение более простого случая C = const. Логика при этом такова: пусть в некоторый момент весь объем газа находится в покое и
имеет всюду одинаковые давление p0 и плотность 0. Тогда и значение C также будет одинаково во всем объеме и равно p0/
. Если
0
после этого в течении возникают какие-то факторы, приводящие
к возникновению поля скоростей, то значения C для частиц жидкости все равно будут сохраняться (кроме случая, когда в объем
поступает газ откуда-то извне с другим значением C) и вместо неизвестной функции координат достаточно ввести одну константу,
общую для всего объема и не меняющуюся со временем. Если при
этом течение также является установившимся, то есть
vvF p
1
и сила F является потенциальной (то есть F = –V), то мы можем
получить аналог интеграла Бернулли для сжимаемого газа. Выполним несложные преобразования, имеющие целью внести плотность под знак градиента:
91
Глава 4.Течения сжимаемого газа
CC p
11
vv V
11
.
Если мы скалярно умножим это векторное уравнение на вектор скорости, то получим и слева, и справа конвективные производные для квадрата скорости, и отношения давления к плотности
соответственно (выражение для потенциала выглядит так же, но
физически имеет смысл удельной работы приложенных сил в единицу времени):
1
2
vvvV v
21
p
.
Для установившегося течения конвективная и полная производные совпадают, а значит, в итоге получаем, что вдоль траекторий
частиц выполняется следующее соотношение:
12
const
V
.
2
pv
Константа в правой части, вообще говоря, может быть своя для
каждой траектории, но, как правило, постановка задачи позволяет
определить единую константу для всей области. Так, для задач обтекания можно ее определить из условий на бесконечности, после
чего выражение принимает следующий вид (без учета сил, которые в задачах обтекания обычно не рассматриваются):
2
pv
12 1 2
2
pv
00
0
. (4.1)
Полученное выражение заметно отличается от формулы для
несжимаемой жидкости. Покажем, что при достаточно малых перепадах давления (и, как следствие, плотности) обе формулы дают
одинаковые результаты. Зададим для давления малое приращение p, тогда согласно связи между давлением и плотностью
.
0
00 0
1ppC C
Воспользуемся малостью приращения плотности, тогда
92
4.1. Идеальный газ
00 00
1ppC pp
00
,
что можно записать как
pp
.
00
Используя это равенство, мы можем выполнить серию преобра-
зований (выполняемых с отбрасыванием слагаемых с высоким порядком малости):
pp
pp
p
11 1
ppp
000
11
111
000 0 00
0
0
p
0
1
1
00000
11
pp p
pp p
p
0
1
00
00
2
0
2
pp
pp
p
.
Подставляя полученное выражение в исходное соотношение,
получим
2
v
p
00
22
2
v
0
,
или, возвращаясь к полному давлению,
2
v
pp
000
22
2
v
0
,
что совпадает с видом интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости.
Важно понимать, что полученные выражения лишь отражают
связь между давлением и плотностью в жидкости и полем скоростей в ней, но практически не облегчают задачу нахождения самого поля скоростей. Продемонстрируем это, получив уравнения, которым должна удовлетворять скорость в газе. Удобно это сделать
93
Глава 4.Течения сжимаемого газа
через температуру, ранее исключенную из уравнений. С использованием уравнения состояния p = RT выражение (4.1) можно переписать как
Rv R
2
TT
12 1 2
2
v
0
,
0
или
2
2
v
v
CT CT
PP
0
0
.
22
Вспомним, как выглядит исходное уравнение баланса энергии
идеального газа (с поправкой на установившееся течение):
CvT p v
V
.
Исключив из уравнения плотность и давление с помощью уравнения состояния
1vT vT
и подставив в него выражение для температуры
22
vv
vvCT
1
222
2
v
0
0
P
,
получим в итоге скалярное уравнение, в котором нет других гидродинамических функций помимо скорости. Видно, что полученное
уравнение существенно нелинейное и имеет довольно сложный
вид, а значит, нахождение поля скоростей, ему удовлетворяющего, – весьма нетривиальная задача. На самом же деле сложность
этой задачи даже выше, поскольку помимо этого уравнения скорость должна удовлетворять уравнению вихрей, вывод которого
для случая идеального газа практически не отличается от аналогичного вывода для идеальной жидкости и для установившего течения приводит к следующему соотношению:
0vv
.
Если ограничиться рассмотрением безвихревых течений и ввести при этом потенциал скорости, то от уравнения вихрей можно
избавиться, но в то же время мы еще более усложним поиск решений уравнения для скорости (поскольку сильно сузим простран-
94
4.1. Идеальный газ
ство рассматриваемых функций). В некоторых простых частных
случаях, однако, решение может быть найдено. Рассмотрим, например, течение с одной компонентой скорости vx(x,y,z). В этом случае уравнение для скорости принимает следующий вид:
0
22
0
22
.
vvvv
2
xx x
vCT
xP
1
xx
Нетрудно заметить, что это уравнение выполняется для лю-
бой функции vx, производная которой по x равна нулю, то есть для
vx(y,z). Рассмотрим теперь уравнение для вихрей. Вектор вихря в
этом случае имеет вид
vv
xx
0, ,
zy
,
что после подстановки в уравнение вихрей дает нам
vv v v
vjk vi vi
xxx
xx x x
xz y zy yz
.
0
Два последних слагаемых сокращаются, остальное можно пере-
группировать в виде
vv
xx
vj vk
zx yx
xx
,
0
после чего становится ясно, что эти слагаемые равны нулю, так как
vx не зависит от x. Таким образом, в выбранных предположениях,
любой, даже самый причудливый профиль скорости будет удовлетворять уравнениям. Это может показаться неестественным,
но в отсутствие вязких сил нечему «сгладить» такое распределение скорости и привести его к более привычному нам виду (в модели идеальной жидкости такое решение также существует). Вообще говоря, распределение скорости в этом случае может даже не
быть непрерывным, а иметь конечное количество линий разрыва,
на которых значение скорости терпит скачок. В реальности такие
разрывы «размазываются» вязкими силами, но если поток является ламинарным (то есть отсутствует турбулентность), то это может происходить довольно медленно, за счет малости вязких сил
(в частности, вода и воздух являются маловязкими средами). Это
95
Глава 4.Течения сжимаемого газа
позволяет использовать такие разрывные поля скоростей при моделировании некоторых течений.
Отметим, что вышесказанное относилось к течениям со скачками только касательной по отношению к линии разрыва скорости, но модель идеального газа позволяет работать также и с течениями, в которых при переходе через разрыв скачок имеет место
для всех гидродинамических функций жидкости, включая и нормальную скорость (более того, можно даже показать образование
скачков уплотнения в изначально непрерывном течении, см. [11]).
В таких случаях на линии разрыва невозможно использовать дифференциальные уравнения, но законы сохранения массы, импульса и энергии продолжают работать. С их помощью можно вывести
уравнения, описывающие распространение ударных волн в газе.
4.2. Скорость звука
Выведем скорость распространения малых возмущений в газе.
Возьмем для этого тривиальное решение исходной системы (силу
тяжести, приток тепла и иные возможные внешние воздействия
при этом учитывать не будем), описывающее покоящийся однородный безграничный объем газа:
pRT RT p
TT
0V
,
,
0
,
0
00 0
,
и наложим на такое течение малые возмущения следующим образом:
VV
TT T
pp p
,
1
01
01
01
,
,
,
где – малый параметр. Выполняя стандартную процедуру линеаризации, приравниваем нулю коэффициенты при первой степени :
96
4.2. Скорость звука
1
,
01
t
V
1
01
t
T
1
CpV
,
001V
t
0V
p
,
pRT T
11001
.
Из первого, третьего и четвертого уравнения получившейся си-
стемы следует, что
CC
1
V
111
tptpCt
00 0
Tp
0
VV
P
.
Применяя операцию дивергенции ко второму (векторному)
уравнению системы и пользуясь только что полученным равенством, получаем
2
C
pC
0
0VP
p
1
2
t
.
p
1
Введем обозначение c следующим образом:
pC p
00
c
C
00
P
V
,
или, с учетом уравнения состояния,
cRT
.
0
Константа c имеет размерность <м/с> и называется скоростью
звука. В некоторых случаях используется также запись
dp
2
cd
,
работающая и для других форм уравнения состояния, отличных от
p = RT. Так или иначе, с этим обозначением уравнение для дав-
ления принимает вид
2
p
1
1
22
ct
.
p
1
97
Глава 4.Течения сжимаемого газа
Рассмотрим для простоты распространение одномерного возмущения p
= p1(x,t). В этом случае уравнение упрощается до следу-
1
ющего вида:
22
pp
1
11
22 2
ct x
.
Можно легко показать, что выражения вида f1(x + ct) и f2(x – ct)
являются точными решениями этого уравнения для любого вида
f1 и f2. Эти решения соответствуют распространению возмущений
вдоль оси OX в сторону уменьшения и увеличения x соответственно без изменения их формы и со скоростью c. Можно показать, что
и малые возмущения более сложного вида также распространяются со скоростью c (но необязательно с сохранением формы).
Модель идеального газа – единственная из моделей динамики жидкостей и газов, в которой скорость звука конечна и прямо
выводится из основных уравнений. Если рассматривать несжимаемую жидкость, то возмущение давления в одной точке мгновенно распространяется на всю область, что часто непринципиально
для задач обтекания тел или течений в трубах, но неприемлемо
при рассмотрении задач акустики. В этих случаях требуется искусственно вводить в уравнения зависимость между плотностью жидкости и давлением. Если же рассматривать вязкий газ, то хотя на
практике (то есть при численных расчетах) возмущения распространяются с конечной скоростью, но аналитическому рассмотрению этого процесса мешают вязкие слагаемые. Проблема с ними
состоит в том, что в присутствии вязких слагаемых возмущение в
произвольной точке будет мгновенно оказывать экспоненциально
затухающее с расстоянием малое влияние на все удаленные точки.
Это влияние пренебрежимо мало при проведении численных расчетов, но формально является ненулевым сразу во всей области.
С другой стороны, учет вязких сил требуется при рассмотрении затухания малых возмущений (в том числе звуковых волн) с пройденным расстоянием.
Следует отметить, что скорость звука важна не только при рассмотрении задач акустики. В аэродинамике эта величина разграничивает два режима течения с существенно различными
свойствами – дозвуковой и сверхзвуковой. Интересно, что хотя сме-
98
4.3. Вязкий газ
шанные процессы и переходные от дозвукового к сверхзвуковому
режиму процессы весьма сложны в рассмотрении, чисто сверхзвуковое течение часто может быть обсчитано намного проще, чем дозвуковое. Дело здесь вот в чем – если мы рассматриваем обтекание
какого-то тела сверхзвуковым потоком, то большинство возмущений от этого тела (если оно обладает сколь-нибудь обтекаемой формой) можно считать малыми по сравнению с набегающим потоком.
А это означает, что скорость распространения их влияния будет
меньше, чем скорость, с которой они сносятся вниз по потоку. То
есть на точки вверх по потоку никак не влияет ничего из расположенного ниже (кроме случая плохо обтекаемых тел, в этом случае
образуется так называемая отсоединенная ударная волна). Это
дает возможность выполнять численный расчет послойно, причем
для каждой точки в слое динамика изменения ее состояния определяется только точками в предыдущих слоях (уже посчитанных).
Более того, до появления вычислительной техники с помощью этого подхода сверхзвуковое течение можно было рассчитать вручную
(см. метод характеристик [10; 19]).
4.3. Вязкий газ
При работе с моделью вязкого газа точные решения уравнений
практически не используются. Одной из причин этого является
сложность модели, наибольшая из тех четырех основных моделей,
которые рассматриваются в данном пособии. Другой причиной является тот факт, что, даже если некоторое частное решение уравнений найдено, часто оказывается, что течение, описываемое этим
решением, неустойчиво. В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим покоящийся газ в атмосфере и попытаемся вывести описывающие зависимость его плотности, давления и температуры
от высоты. При этом будет считать, что теплопроводность не зависит от температуры и является константой, а также будем пренебрегать притоком/оттоком тепла за счет излучения. Тогда система
уравнений принимает следующий вид:
0dpg
,
dz
99
Глава 4.Течения сжимаемого газа
2
0dTkdz
,
2
pRT.
Из второго уравнения видно, что температура должна быть линейной функцией вертикальной координаты. Если температура
на поверхности Земли известна и равна T
TT z
0
, то можно записать
0
,
где – некоторая константа. В этом случае можно в явном виде
получить выражение для двух оставшихся функций. Для этого исключим плотность из первого уравнения с помощью уравнения состояния:
dp g
dz RT
p
,
или
dp gdz
pRTz
.
0
Это уравнение может быть проинтегрировано:
ln ln 1
g
pzC
RT
0
,
что с учетом граничных условий дает нам
g
R
pp z
1
0
T
,
0
где p0 – давление на поверхности Земли. После чего можем получить плотность из уравнения состояния:
g
1
R
1
0
z
T
0
.
В этих формулах остается одна пока не найденная константа –
. Ее физический смысл – скорость, с которой температура воздуха в атмосфере убывает с высотой. Эта величина может принимать
различные значения. Было бы логично попытаться вычислить ее
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]