Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

4.3. Вязкий газ

усредненное значение исходя из баланса тепла, то есть приравняв среднее количество тепла, получаемое в единицу времени поверхностью Земли от солнечного излучения, к тепловому потоку, соответствующего градиенту температуры . Приток тепла, получаемого поверхностью Земли от Солнца, достигает 3,8·1015 кДж на площадь 30 × 30 км в год [13], или 133,8857884 Вт/м2. Тепловой поток выражается формулой





  



Для воздуха значения констант, входящих в это уравнение, сле-

дующие: коэффициент теплопроводности при постоянном давлении Cp = 1001 Дж/(кг∙град), коэффициент динамической вязкости

 = 1,8∙10–5 кг/(м∙с) и безразмерное число Прандтля 0,7. Получаем

0,02574

t .

Приравнивая это выражение к значению 133,8857884 Вт/м2, по-

лучаем, что  должно быть равно 5201,468081 град/м. Даже с учетом того, что часть получаемого тепла может отражаться поверхностью Земли без перехода в тепловую энергию, порядок получившегося результата абсурден. Реальное убывание температуры с высотой в атмосфере составляет в среднем 0,0065 град/м. Объясняется это тем, что, начиная с некоторой величины вертикального градиента температуры, покоящийся воздух становится неустойчивым. Это можно доказать с помощью полноценного исследования устойчивости (с методикой таких исследований можно ознакомиться в [9]), но в данном конкретном случае можно поступить проще. Рассмотрим малый объем газа, находящийся на произвольной высоте. Для удобства свяжем с ним систему координат, чтобы его положение соответствовало координате z = 0. Приведенные выше формулы остаются справедливы, с поправкой на то, что теперь T0, p0, 0 – значения не на уровне Земли, а на уровне начального положения выбранного объема. Дадим теперь этому объему малое смещение z, причем сдела- ем это достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь вязкие силы, но достаточно быстро, чтобы не нужно было учитывать теплообмен нашего малого объема с окружающим газом. В новом положении давление и плотность окружающего газа с учетом малости смещения можно выразить так:

101

Глава 4.Течения сжимаемого газа



pp z p gz

10 00

     

 

10 0



 

 







TR TR









 

На границе малого объема с внешней средой должно выполняться условие равенства давлений, а значит, новое давление внутри объема будет равно p1. Новую же плотность ч мы найдем, воспользовавшись формулами для идеального газа (для этого и была сделана оговорка о пренебрежении вязкими силами и теплопроводностью):

pC p

ȥ 0

§·

¨¸

©¹

или, с учетом малости изменения давления и плотности,

1/ 1/

ȥ 1

' ' '

UJJ

00 0 0 0

§· § ·

¨¸ ¨ ¸

pp pRT

©¹ © ¹

111

zzz

Выразим ч через 1:

UU U

            

U U ' U E'  '

ȥ 01

ggC

  



00 0 0



RT T C C T C T



00 0 0

00 0

pTRRT

zz zz



§·

zzz

¨¸

00 0

©¹

§· ¨¸

©¹





PV P

 

 

        

00 0

zz z

CT T T C

00 0PP







Таким образом, если  < g / Cp, то при смещении объема вверх (z > 0) плотность газа внутри малого объема будет больше, чем

в окружающей среде, а значит, на объем будет действовать возвращающая сила, направленная вниз. Если же  > g / Cp, то газ внутри частицы станет легче окружающего, и под действием силы Архимеда будет выталкиваться дальше вверх. Это неустойчивое состояние – малое смещение каждой частицы приводит к ее дальнейшему движению в том же направлении, что приводит к интен-

102

4.4. Аэродинамическое подобие

сивному перемешиванию газа. Перемешивание происходит до тех пор, пока за счет него градиент температуры не уменьшится до предельного значения g / Cp, соответствующего для воздуха падению температуры на 9,8 градусов на километр высоты и называемого сухоадиабатическим градиентом температуры (за счет присутствия водяного пара потеря устойчивости происходит при еще меньших значениях градиента, что является интересным примером, когда присутствие в газе малой примеси существенно меняет характер происходящих процессов, подробней об этом см., например, [15; 16]). Таким образом, хотя состояние воздуха в атмосфере кажется подчиняющимся формулам приведенного выше решения (а температура в атмосфере действительно падает с высотой приблизительно линейно до высоты 11 км), суть происходящих процессов совершенно иная.

4.4. Аэродинамическое подобие

Как уже стало ясно из предыдущих разделов, для большинства

задач газовой динамики не имеется точного решения, сколько-нибудь подходящего к рассматриваемой геометрии. В таких случаях приходится прибегать к эксперименту, натурному или численному. Разумеется, наибольшей степенью достоверности обладает натурный эксперимент с точным воспроизведением всех условий. Однако далеко не всегда этот вариант является доступным как по стоимости изготовления полноразмерной модели, так и по требованиям к экспериментальному оборудованию. Если нам необходимо, к примеру, выполнить расчет аэродинамики самолета при различных режимах, то потребуется не только макет с сопоставимыми механическими свойствами, но еще и аэродинамический стенд соответствующих размеров и мощностей. Ясно, что такой подход не является экономически целесообразным. К счастью, существует возможность проведения экспериментов с моделями значительно меньших размеров, при соблюдении некоторых условий. Дело в том, что задачи моделирования течений разного масштаба, но с геометрическим подобием, могут быть сведены к решению одной и той же системы при переходе к безразмерной форме записи. Приведем пример, как это может делаться.

103

Глава 4.Течения сжимаемого газа

Рассмотрим установившееся обтекание самолета набегающим потоком воздуха без учета внешних сил. При этом будем учитывать вязкие силы, но пренебрегать теплопроводностью и выделением тепла от трения, то есть возьмем систему уравнений модели вязкого газа (2.13) (считая, что вторая вязкость равна нулю), но заменим уравнение баланса энергии аналогичным уравнением модели идеального газа (2.11), взяв его формулировку через давление. Перейдем к безразмерным переменным аналогично тому, как это делалось в предыдущей главе для вязкой жидкости, при этом, поскольку условие задачи не устанавливает какого-то конкретного перепада давления, зададим характерный масштаб давления так, чтобы число Эйлера равнялось единице. Несложно убедиться, что в отсутствие производных по времени в уравнении неразрывности и в уравнении для давления все характерные масштабы длины, скорости и других величин полностью сокращаются, а значит, эти уравнения выглядят одинаково для любой конфигурации задачи:



0vv   

Для уравнения же движения получаем такую форму записи:

в которой коэффициент  / V0L0 есть не что иное, как альтернативная запись для 1/Re. Таким образом, мы снова получили зависимость модели от единственного параметра – числа Рейнольдса. Если мы сможем добиться того, чтобы число Рейнольдса в малоразмерном эксперименте было такое же, как для обтекания реального самолета, то можем рассчитывать на соответствие между характеристиками этих двух течений.

считан на скорость 100 м/с, что мы и возьмем за характерный размер L и скорость V0. С учетом того, что динамическая вязкость воздуха  равна 1,8∙10–5 кг/(м∙с), а характерная плотность 0 = 1,185 кг/м3, нетрудно посчитать, что число Рейнольдса в этом случае равно округленно 108. Если мы просто возьмем малораз-

104

    

vv p v v vI

        

Допустим, интересующий нас самолет имеет длину 15 м и рас-

11 2



vp p v   

  











 





4.4. Аэродинамическое подобие

мерную модель самолета размером, например, 1,5 м, то изменится и число Рейнольдса, а значит, обтекание модели будет описываться собственной системой уравнений, решение которой никак не связано с решением исходной задачи. Но если одновременно с уменьшением размера модели мы пропорционально увеличим скорость набегающего потока, то число Рейнольдса сохранит свое значение, а значит, решения двух задач будут подобны (то есть из одного можно будет получить другое путем пересчета размерных коэффициентов). Обдувание модели набегающим потоком со скоростью 1000 м/с, впрочем, тоже не очень практично, однако в формулу для числа Рейнольдса входят еще и параметры вещества. Кроме того, ранее мы выяснили, что до некоторого предела сжимаемостью воздуха можно пренебречь (при скорости 100 м/с можно ожидать различий порядка 2 % в распределении давления). В этом случае мы можем заменить обтекание потоком воздуха на обтекание потоком воды, кинематическая вязкость которой  = / имеет величину 10–6 м2/с. Тогда, чтобы обеспечить сохранение числа Рейнольдса для модели размером 1,5 м, потребуется скорость потока лишь 66,(6) м/c, а такая задача уже является вполне технически осуществимой.

Покажем, как производится пересчет результатов такого экспе-

римента. Пусть при обдувании малоразмерной модели была получена аэродинамическая сила Fэ. Мы знаем, что эта сила может быть вычислена как интеграл по поверхности тела от давления, умноженного на внутреннюю нормаль:

FpndS

Если перейти к безразмерным величинам, то можно переписать

это равенство как

FPpnLdS

ȫȫȫ

где Pэ – характерное давление в эксперименте, Lэ – характерный размер в эксперименте. Поскольку в нашем случае число Эйлера равно единице, мы можем выразить характерное давление через плотность и характерную скорость. Тогда выражение для силы можно переписать как

105

Глава 4.Течения сжимаемого газа

ccc

pndS F

ȫ 0ȫȫ

С другой стороны, для реального самолета можно аналогично записать

c 22



c0cc



pndS F







и тогда окончательно получаем связь между искомым и экспериментально полученным значением силы:

U U

ȟ 0 ȟȟ

ȫ 0 ȫȫ

ȟȫ

В прикладной аэродинамике широко распространено использование коэффициентов подъемной силы и сопротивления для крыловых профилей. Графики/таблицы для таких коэффициентов получаются экспериментально для какого-то конкретного случая обтекания, но могут быть использованы для любых конфигураций, использующих такую форму профиля, при условии, что значение числа Рейнольдса такое же или близкое к тому, для которого проводились измерения.

4.5. Численные методы в газовой динамике

В отличие от модели несжимаемой жидкости, система уравнений для газа (хоть идеального, хоть сжимаемого) имеет канонический вид – пять неизвестных функций (три проекции скорости, плотность и давление/температура), по одному уравнению для каждой, только одна производная по времени первого порядка в каждом уравнении. Тем не менее, при попытке проведения прямого численного расчета каким-либо дискретным методом, можно столкнуться с рядом трудностей. Покажем это на примере простейшей одномерной задачи (нет проекций скорости на оси OY, OZ и нет производных по этим координатам) в рамках модели идеального газа. Система уравнений при этом сильно упрощается по сравнению с исходной:

106

4.5. Численные методы в газовой динамике

 



txx









tx x





Cv p

 



tx x

 





pRT.

Существует тривиальное точное решение, соответствующее по-

коящемуся газу –  = 0 = const, T = T0 = const, vx = 0. Попробуем воспроизвести его с помощью прямой конечно-разностной схемы. Для начала, исключим давление из уравнений и перенесем все слагаемые, кроме производных по времени, в правую часть. Также опустим индекс у проекции скорости, так как в данной задаче эта проекция единственная.

  

 

txx





tx xx



 

vRT T



  

TTRv

 

txCx

 

Заменим все производные на конечные разности простейшим

способом:

  

1, , , , 1 , , 1

i j ij ij ij ij ij

vv vv RT TT

1, , , ,1 , , ,1 , ,1

i j ij ij ij ij ij ij ij ij





txx





tx xx



 

TT TT vv

 

1, , , , 1 , , 1

i j ij ij ij ij ij



txCx

 



ij ij



ij ij

107

Глава 4.Течения сжимаемого газа

Здесь первый индекс имеет значение шага по времени, а второй – по координате, значения всех функций берутся в одних и тех же узлах. Зададим некоторое конечное число точек разбиения и поставим условие периодичности (в данном случае это означает, что в точке с максимальным индексом по j производная будет выражаться через значения в точке с минимальным индексом). В качестве начальных условий зададим для плотности и температуры значения из тривиального решения, а для скорости – малые случайные значения, имитирующие погрешности вычислений. После расчета относительно небольшого числа итераций, неожиданно получаем картину наподобие рис. 4.1.

Рис. 4.1. Пример распределения плотности в численном расчете с расходящейся схемой. На рисунке совмещены графики для нескольких последовательных шагов

по времени

108

4.5. Численные методы в газовой динамике

Такое распределение плотности не имеет ничего общего с реаль-

ными процессами в газе, особенно в ничем не возмущаемом газе. В чем же причина получения столь странного результата? Обычно таким образом проявляется некоторая неустойчивость. Проверим исходное решение на этот счет. Для этого наложим на него малое возмущение следующим образом:

 ,

vv,

TT T.

Подставим эти выражения в исходную систему и отбросим сла-

гаемые второго порядка малости. Получаем линейную систему для возмущений:







 









txx



  

 







tC x











Функции возмущений зависят как от координаты, так и от вре-

мени неизвестным образом. Введем следующее предположение о зависимости этих функций от времени:



,()

fxt efx









где под f понимается каждая из неизвестных функций ( при этом для них общее). После подстановки в систему, сокращения экспоненты и отбрасывания тильды (для удобства записи) получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

vx



  







  



 



 

109

Глава 4.Течения сжимаемого газа











Выражения для плотности и температуры из первого и третьего уравнения можно подставить во второе, получив в итоге одно уравнение второго порядка для одной неизвестной функции:

  











vTT





00 00



или









При вещественном значении  решениями этого уравнения являются экспоненты, неограниченно растущие в одном из направлений по оси OX, что не соответствует нашему предположению о малости возмущений. Значит,  мы можем брать только мнимые, что соответствует решениям в виде тригонометрических функций. Но тогда и множитель et преобразуется в тригонометрические функции, что означает отсутствие роста возмущений по величине с ходом времени, то есть устойчивость решения (в данном случае – нейтральную устойчивость, так как возмущения и не затухают). Значит, неустойчивость кроется не в самом течении, а в используемой численной схеме. Покажем это.

Заменим в численной схеме конечные разности для производных по времени (но не по координатам) обратно на производные. При этом у нас получится система обыкновенных дифференциальных уравнений для значений гидродинамических функций во всех точках разбиения. Одновременно применим предположение о малости возмущений и отбросим слагаемые со вторым порядком малости. Получаем следующую систему:





 

jjj



110

vTT



jjjjj

txx

 

 



<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]