Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие
.pdf
4.5. Численные методы в газовой динамике
Tvv
R
jjj
tC x
T
0
V
1
.
Как и ранее, предположим зависимость от времени в форме экс-
поненты (только множителем при ней будут уже не неизвестные
функции x, а постоянные коэффициенты). Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений.
vv
1
jj
j
0
,
x
RT
jj j j
vR
j
0
TT
j
xx
0
R
Cx
V
TT
11
vv
1
jj
0
,
.
Полученная система является однородной, а значит, имеет не-
нулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. При этом в ячейках матрицы системы находятся известные значения, а также неизвестное значение . Раскрытие
определителя даст нам многочлен порядка 3·N, где N – количество
точек разбиения. Корни этого многочлена соответствуют значениям , при которых существуют выражаемые через экспоненту малые возмущения. Если хотя бы один из корней имеет вещественную часть большую нуля, то существует неограниченно растущее
со временем возмущение. Несложно убедиться, что такие корни в
нашей задаче находятся, а значит, неустойчивость кроется именно
в используемой расчетной схеме.
На самом деле, помимо расходимости, есть еще одна проблема
при проведении расчета по данной схеме – если мы посчитаем полное содержание массы в рассматриваемой области, то обнаружим,
что оно не сохраняется с ходом расчета, хотя по условиям мы не
вводили каких-то источников или поглотителей газа. Это связано с
тем, что производные в конвективных слагаемых берутся односторонние и из-за этого поток вещества не согласован между соседними элементами. Данную проблему можно решить, если составить
111
Глава 4.Течения сжимаемого газа
уравнения модели не переходом к конечным разностям в дифференциальных уравнениях, а через применение законов об изменении массы, импульса и энергии и аккуратного рассмотрения
потоков этих величин между соседними элементами разбиения.
Проблема расходимости, однако, все равно останется (хотя рост
возмущений станет более медленным), если только не взят очень
малый шаг по времени, с которым выполнение расчета сильно замедлится (причем его величину еще потребуется подбирать). В такой ситуации часто бывает более выгодно использовать обратную
конечно-разностную схему. Отличие ее от прямой схемы заключается в том, что при нахождении значения функций на следующем
шаге по времени, все слагаемые, которые не являются производными по времени, берутся не на предыдущем шаге, а на новом (то
есть их значения неизвестны). Это означает, что нахождение этих
новых величин в общем случае требует решения системы алгебраических уравнений на каждом шаге по времени, размер которой
тем больше, чем больше элементов разбиения рассматривается
(хотя в некоторых случаях данная задача может быть упрощена). Не останавливаясь на методах решения таких систем, рассмотрим причину, по которой использование обратных схем позволяет
устранить расходимость расчета. Для этого рассмотрим предельно
упрощенную абстрактную задачу.
Итак, пусть имеется некоторая величина f, являющаяся малым
возмущением некоторого абстрактного же решения (это может
быть давление, плотность, скорость или какая-то комбинация этих
величин). Пусть также исходное решение является устойчивым,
и в присутствии малого возмущения возникает некоторая возвращающая сила, пропорциональная его величине, стремящаяся вернуть систему в исходное состояние. Математически это можно записать как
df
kf
, (4.2)
dt
где k – некоторый положительный коэффициент. Очевидно, что у
такого уравнения есть точное решение f(t) = f(0)e
–kt
, соответствую-
щее экспоненциальному затуханию возмущения, и для правильно
работающей дискретной схемы это свойство должно сохраняться.
112
4.5. Численные методы в газовой динамике
Прямая конечно-разностная схема для такой задачи даст нам следующее соотношение:
ff
1
ii
t
kf
,
1
i
или
1
fktf
ii
,
1
в то время как для обратной схемы получим
ff
1ii
t
,
kf
i
или
1
ff
ii
1
kt
.
1
Если t достаточно мало, то обе схемы будут давать схожие ре-
зультаты, однако с увеличением этой величины станут видны различия. Если для обратной схемы увеличение шага по времени будет приводить к все более замедленному затуханию начального
возмущения, то для прямой схемы это затухание будет происходить все быстрее. Само по себе это не определяет какого-то преимущества одной из схем, а лишь определяет какую форму принимают погрешности вычислений. Качественное различие появляется
после того, как величина шага по времени пересекает сначала порог 1/k, после чего затухание в прямой схеме начинает сопровождаться изменением знака f на каждом шаге по времени, а затем,
что критичнее, пересекает порог 2/k, после чего затухание сменяет-
ся экспоненциальным ростом (с сохраняющимся изменением знака на каждом шаге). В то же время для обратной схемы нет такой
проблемы, шаг по времени может быть сколь угодно большим без
возникновения расходимости (хотя и, разумеется, с падением точности расчета). Поскольку для произвольной задачи вместо одной
величины и одной возвращающей силы будет большое количество
находящихся в равновесии величин и факторов, аналитическое
определение критической величины шага по времени для использования прямой схемы в общем случае невозможно, поиск же нужного значения путем подбора, как правило, приводит к непрактич-
113
Глава 4.Течения сжимаемого газа
но малым для численного расчета значениям. С другой стороны,
использование обратной схемы гарантирует отсутствие расходимости такого рода для любой величины шага по времени, но требует
нахождения решения алгебраической системы уравнений на каждом шаге (подробнее об использовании обратных схем, в том числе для нелинейных задач, см. в [18]).
Контрольные задания к главе 4
Задание 1
Вывести уравнение вихрей для идеального газа из исходной системы.
Задание 2
Показать, что поле скоростей вида v = v(r), vz = 0, vr = 0 в цилиндрических координатах является решением для системы уравнений идеального газа.
Задание 3
Построить графики изменения давления воздуха по формуле
интеграла Бернулли для идеальной жидкости и ее аналогу для
идеального газа для диапазона скоростей 0…300 м/с.
Задание 4
Сравнить экспериментально значения скорости воздуха, получаемые с помощью интеграла Бернулли, со значениями, полученными с помощью анемометра.
Указание: порядок выполнения изложен в приложении 1, лабораторная работа 6.
Задание 5
Доказать, что при использовании уравнения состояния вида
dp/d = c2 (где p = p()) константа c также имеет смысл скорости
распространения малых возмущений.
Указание: исключить из рассмотрения уравнение для температуры/давления.
114
Контрольные задания к главе 4
Задание 6
Выполнить серию численных расчетов для моделирования
сверхзвукового обтекания конуса высотой 10 см с меняющимся
углом раствора набегающим потоком воздуха со скоростью 500 м/с.
Определить значение угла раствора, при котором образуется отсоединенная ударная волна.
Задание 7
Показать, что в отсутствие производных по времени в уравне-
нии неразрывности и в уравнении для давления модели идеального газа все характерные масштабы длины, скорости и других
величин полностью сокращаются при переходе к безразмерным
координатам.
Задание 8
Построить из эксперимента графики зависимости коэффициен-
та подъемной силы и сопротивления от угла атаки при обтекании
модельного симметричного крылового профиля для фиксированного числа Рейнольдса. Выполнить численный расчет для обтекания профиля той же формы, но с увеличенными в 5 раз линейными размерами, при сохранении значения числа Рейнольдса.
Сопоставить полученные результаты.
Указание: порядок выполнения эксперимента изложен в при-
ложении 1, лабораторная работа 7.
Задание 9
Для задачи (4.2) выполнить численный расчет с помощью пря-
мой и обратной конечно-разностной схем. Сравнить результаты
при различных значениях t.
115
ЛИТЕРАТУРА
1. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости: пер. с англ. – М.: Мир,
1973.
2. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. – СПб.: Изд-во
СПбГУ, 2005. – 304 с.
3. Ворович И. И. Лекции по динамике Ньютона. Современный взгляд
на механику Ньютона и ее развитие. – М.; Ижевск: ИКИ, 2004. – 680 с.
4. Емцев Б. Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение,
1987. – 440 с.
5. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидроаэромеханика. – Ч. 1. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы,
1963. – 584 с.
6. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидроаэромеханика. – Ч. 2. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы,
1963. – 728 с.
7. Ламб Г. Гидродинамика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 929 с.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. – М.: Гос.
изд-во технико-теоретической литературы, 1954. – 795 с.
9. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. – М.: Издво иностранной литературы, 1958. – 194 с.
10. Липман Г. В., Пакет А. Е. Введение в аэродинамику сжимаемой
жидкости. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. – 330 с.
11. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Гос. изд-во техни-
ко-теоретической литературы, 1957. – 784 с.
12. Лосев С. А., Уманский С. Я., Якубов И. Т. Физико-химические процес-
сы в газовой динамике. Справочник. – Т. 1: Динамика физико-химических процессов в газе и плазме. – М.: Изд-во МГУ, 1995.
13. Матвеев Л. Т. Физика атмосферы. – СПб.: Гидрометеоиздат, 2000. –
778 с.
14. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. – М.: Наука,
1981. – 447 с.
15. Седунов Ю. С., Авдюшин С. И., Борисенков Е. П. Атмосфера. Справочник (справочные данные, модели). – Л.: Гидрометеоиздат, 1991. –
510 с.
16. Семенченко Б. А. Физическая метеорология. – М.: Аспект Пресс,
2002. – 415 с.
116
Литература
17. Сивухин Д. В. Термодинамика и молекулярная физика // Общий курс
физики: в 5 т. – М.: Физматлит, 2005. – Т. II. – 544 с.
18. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. – Т. 1. –
М.: Мир, 1991. – 504 с.
19. Черный Г. Г. Газовая динамика. – М.: Наука, 1988. – 424 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Описание лабораторных работ
Лабораторная работа № 1
Экспериментально определить силу тяги, открывающей наклонный клапан, и сравнить ее с теоретическим значением, вычисленным по формуле.
Принадлежности: резервуар с наклонным клапаном, механизм открывания, набор грузов известного веса.
Задаваемые значения: уровень наполнения резервуара водой.
Измеряемые значения: общий вес грузов, при котором происхо-
дит открытие клапана.
Вычисляемые значения: теоретическое значение веса, требующегося для открытия клапана.
Порядок выполнения задания:
Вывести формулу для теоретического значения требующегося
веса, исходя из законов гидростатики и заданной геометрии клапана и открывающего устройства.
Вычислить все значения, входящие в формулу, оставив только
зависимость от уровня воды в резервуаре.
Заполнить резервуар водой и измерить ее уровень.
Вычислить численное значение требующегося веса для открытия клапана при измеренном уровне воды по формуле.
Нагружать механизм грузами, пока не произойдет открытие
клапана. Устанавливать грузы аккуратно, избегая удара (при ударе клапан может открыться преждевременно). Ориентироваться
на теоретическое значение, уменьшая вес грузов при приближении к нему.
Повторить эксперимент для нескольких разных уровней наполнения резервуара.
Результаты экспериментов и вычислений занести в таблицу.
Вычислить относительную погрешность.
118
Описание лабораторных работ
Лабораторная работа № 2
По измеренному расходу жидкости, движущейся вдоль трубы
заданного диаметра, вычислить коэффициент вязкости воды.
Принадлежности: тонкая стеклянная трубка, воронка, мерный
стакан, секундомер.
Задаваемые значения: полный объем жидкости.
Измеряемые значения: время истечения жидкости по трубки.
Вычисляемые значения: динамический коэффициент вязкости.
Порядок выполнения задания:
Заполнить воронку необходимым объемом воды (50 или 100 мл),
предварительно закрыв нижнее отверстие трубки.
Открыть нижнее отверстие трубки, и после начала истечения
жидкости начать отсчет времени.
Вычислить секундный расход жидкости.
Вычислить динамическую вязкость.
Результаты эксперимента и вычислений занести в таблицу.
Повторить опыт не менее трех раз.
Вычислить среднее значение вязкости и сравнить его с таблич-
ным значением из справочника.
Лабораторная работа № 3
Экспериментально определить критическое число Рейнольдса
при течении жидкости в круглой трубе.
Принадлежности: стенд гидравлический, анилиновая краска,
модуль с прозрачной стеклянной трубкой.
Задаваемые значения: расход жидкости.
Измеряемые значения: критическое значение расхода.
Вычисляемые значения: критическое число Рейнольдса.
Порядок выполнения задания:
Установить минимальный расход воды через рабочий модуль.
Открыть кран от резервуара с краской.
Расход постепенно увеличивать, до тех пор пока не будет раз-
мываться окрашенная струйка в трубке.
Повторить опыт не менее трех раз.
119
Приложения
Вычислить критическое число Рейнольдса для каждого случая.
Результаты эксперимента и вычислений занести в таблицу.
Лабораторная работа № 4
Найти экспериментально величину потерь напора при течении
в круглой трубе постоянного сечения.
Принадлежности: стенд гидравлический, модуль с круглой
трубкой постоянного сечения со штуцерами в двух сечениях.
Задаваемые значения: расход жидкости.
Измеряемые значения: показания пьезометров.
Вычисляемые значения: потери напора между двумя точками
трубы.
Порядок выполнения задания:
Подключить гибкие трубки от пьезометров к штуцерам отверстий в стенке трубы в двух сечениях.
Установить минимальный расход воды через рабочий модуль.
Записать показания пьезометров.
Вычислить потерю напора как разность показаний пьезометров.
Повторить опыт не менее десяти раз, постепенно увеличивая
расход воды.
Результаты эксперимента и вычислений занести в таблицу.
Лабораторная работа № 5
Найти экспериментально величину потерь напора при наличии в круглой трубе внезапного расширения.
Принадлежности: стенд гидравлический, модуль с круглой
трубкой с внезапным расширением и со штуцерами в нескольких
сечениях.
Задаваемые значения: расход жидкости.
Измеряемые значения: показания пьезометров.
Вычисляемые значения: потери напора на внезапном расшире-
нии трубы.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]