Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2.5. Закон изменения энергии в дифференциальной форме

dU dU dU dU



Работа, совершаемая в единицу времени, есть мощность, ко-

торая может быть найдена как скалярное произведение силы на скорость. Для массовых сил, действующих внутри объема, в таком виде их вклад и остается после всех преобразований:

Давление применяется к границам объема и действует по нор-

мали, а значит, в скалярном умножении со скоростью можно оставить только нормальную проекцию скорости. Это приводит к такому же виду интегралов, как и для потока вещества в уравнении неразрывности, с заменой плотности на давление, соответственно и итоговый результат будет иметь такой же вид:

Наиболее громоздко находится вклад вязких слагаемых. Та

часть, которая содержит объемную вязкость, действует аналогично давлению, поэтому получается в той же форме, но для нахождения вклада от слагаемых со сдвиговой вязкостью требуется на каждой границе учитывать скалярное произведение всего вектора напряжений на полную скорость. Итоговый результат выглядит следующим образом:

или, разделяя слагаемое с объемной вязкостью на две части,

dU v v v v v v

Объединяя все воедино, получаем следующее выражение:





             

CvTvFp vv v







dU pv v p p v    

       

dU v v v v v





         







NFp

dU v F

  

 



 









 







 

  











qkTvFvppv          





vvv vv v

         







 



 

Глава 2. Вывод уравнений основных моделей

Видно, что часть слагаемых входит и в правую, и в левую часть уравнения. Сократим их:







или, после перегруппировки:

быть упрощены. Воспользуемся для этого способом записи, использующимся в тензорном анализе, в применении к декартовой системе координат. Тогда первое слагаемое можно преобразовать следующим образом:

где повторяющиеся индексы означают суммирование по всем возможным значениям (то есть 1…3). Аналогично, второе слагаемое представимо в виде

           

Два последних слагаемых в получившемся выражении могут

 

vvvve ee

CvTv vv







qkTpv     



vvv v

          





CvTpv vkTq







 



vvvv vv

       



         

vvv ve ee

 





xxxxxx

kjijji



     

 

   

ve e v

kk j j



 



 

 









ev e v

ki j i







 

vv v

ii i



  



 

xxx xxx

jji jji



 









 

 

xxx xxx

iji iji















 





   



 



 



   

 





 





   



 





 

















  





 

 





 



xxx







kk i j







 

kij



jji









 

 









2.5. Закон изменения энергии в дифференциальной форме

Видно, что после вычитания одного из другого выражение упро-

стится:



 



vvvv vv

      

дующую запись:

которую можем подставить в итоговое уравнение

             

CvTpv vkTq



 





 

Если суммирование выполнить в явном виде, то получаем сле-

    

     

     

 







           

CvTpv vkTq

 



В тензорной форме это можно переписать более компактно:













 



vvvv vv



 





 



vv v v v v

    

xx x z x z

 

xx x y x x z x

      





vvvv



 

yyyy



 



xyy yy yzy

  

 

 

vvv v vv

  



zxx z zz



xzz yzz zz

  



   



 

111

 

  

xy xz yz

222

 



   



 

111

 

  

xy xz yz

222

 



  

vv v v

  

xx z z





 



 





 



vvvv



xzxz





 



 





xyz

 



vvvv



xzxz





  





xyz

 





 



 





 







 













 





xxx

jji







 

 

 

 



Глава 2. Вывод уравнений основных моделей

где символ «:» означает двойное скалярное произведение тензоров, а ε – тензор скоростей деформации, компоненты которого имеют вид



В модели идеального газа эффектами вязкости пренебрегают, то есть слагаемые с  и  исключаются из уравнения. Эффекты теплопроводности и излучения/поглощения, вообще говоря, могут учитываться, но чаще также исключаются. Уравнение при этом принимает более простой вид:



В этом случае также может быть удобна формулировка через производную давления, а не температуры, поскольку позволяет не рассматривать температуру и уравнение состояния:

Это уравнение эквивалентно предыдущему в силу уравнений состояния (1.3) и неразрывности. С учетом того, что R = CP – CV, это можно записать как

где  = CP / CV (эта константа имеет название показателя адиабаты).

CvTpv



 



 







 





vp p v



  

vp p v

 







. (2.9)



2.6. Итоговый вид уравнений четырех основных моделей

1. Модель идеальной несжимаемой жидкости.

где  – константа.



vvF p

 



, (2.10)

0v 

2.6. Итоговый вид уравнений четырех основных моделей

2. Модель идеального газа.

3. Модель вязкой несжимаемой жидкости.













vv F p









vp p v

 





, (2.12)

0v 

, (2.11)

0vv



vvF p v

где  – константа,  = / – кинематическая вязкость. Может быть дополнена уравнением теплопроводности (при этом поле температуры находится по найденному независимо от нее полю скоростей):



4. Модель вязкого газа.





            









             

CvTpv vkTq

 

Для решения конкретных задач эти уравнения должны быть дополнены начальными и/или граничными условиями, количество и тип которых зависят от выбранной модели.

Изложенный подход к выводу уравнений может быть применен не только для декартовых координат, но и для криволинейных.

CvTkTq

v v F p v v vI vI



 





 













pRT







 



, (2.13)

0vv

 



Глава 2. Вывод уравнений основных моделей

При этом площади границ объема будут выражаться более слож-

ным образом (и в итоговых уравнениях будут появляться отража-

ющие это слагаемые), но общий ход выкладок не изменится. Также

подобный подход может быть применен и к объему произвольной

формы в декартовых координатах, например к тетраэдру. Выклад-

ки для произвольного объема будут более громоздки, но легко ал-

горитмизируются. Если размер объема не устремляется к нулю, то

в качестве конечного результата можем получить не дифференци-

альные уравнения, а соотношения для отдельного элемента дис-

кретного разбиения области при численном расчете (на этом ос-

нован метод конечных объемов). Также этот подход может быть

востребован при изучении разрывных течений (например, удар-

ных волн).

Следует учитывать, что выведенные уравнения имеют определенные границы применимости, вне которых требуется учитывать дополнительные физические эффекты, такие как фазовые переходы, химические реакции, сверхтекучесть, релятивистские эффекты и другие (см., например, [8]).

Контрольные задания к главе 2

Задание 1

Вывести уравнение неразрывности в цилиндрических координатах.

Указания. Рассматривать малый объем, ограниченный плоскостями  = 1,  = 2, z = z1, z = z2 и цилиндрическими поверхностями

r = r1, r = r2 (во избежание появления особенностей под интегралом, r1 и r2 брать строго больше нуля). В отличие от объема в декарто-

вых координатах, не все противостоящие грани будут иметь одинаковую площадь, кроме того, при составлении интеграла добавляется якобиан.

Задание 2

Вывести уравнение неразрывности в сферических координатах.

Указания. Рассматривать малый объем, ограниченный плоскостями  = 1,  = 2, коническими поверхностями  = 1,  = 2 и сферическими поверхностями r = r1, r = r2 (во избежание появления

Контрольные задания к главе 2

особенностей под интегралом, r

и r2 брать строго больше нуля, по-

лярные углы  выбирать так, чтобы объем не касался и не включал в себя полярную ось).

Задание 3

Вывести формулы баланса массы для конечного объема в фор-

ме тетраэдра с вершинами в точках (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1). Считать, что заданы значения всех функций в вершинах, на гранях же их

значение изменяется линейно.

Указания. Представить все неизвестные функции в виде линей-

ных выражений от координат x, y, z с неизвестными коэффициентами, для нахождения коэффициентов составить систему из четырех уравнений, соответствующих вершинам тетраэдра. В отличие от предыдущих случаев, грани тетраэдра не являются парными, и одна из них расположена под углом к координатным плоскостям. При интегрировании по этой грани, использовать проекцию полной скорости на нормаль, составить двумерный интеграл по x, y, но учитывать якобиан (отражающий тот факт, что площадь грани больше, чем площадь ее проекции на плоскость OXY).

Задание 4

Для случая идеального газа (вязкие силы отсутствуют) без уче-

та массовых сил показать, что при вычислении баланса моментов вклады от сил давления и конвективных слагаемых взаимокомпенсируются, если выполнено уравнение для импульсов. Давление, плотность и скорость считать зависящими от координат линейно.

Указание. Момент вычислять относительно центра объема.

Задание 5

Показать, что при учете сил Кориолиса (как массовых сил) их

вклад в баланс моментов может быть отброшен ввиду высокого порядка малости по сравнению с вязкими слагаемыми. Считать вектор угловой скорости вращения направленным вертикально вверх.

Указание. Рассмотреть плоский случай. Ускорение Кориолиса

равно 2ω  v, для представления в виде силы домножить также на плотность.

Глава 2. Вывод уравнений основных моделей

Задание 6

Показать, что уравнение (2.9) эквивалентно уравнению для температуры в силу уравнений состояния и неразрывности.

Указание. Выполнить прямую подстановку выражения давления из уравнения состояния, после чего выделить группу слагаемых, соответствующих уравнению неразрывности.

ГЛАВА 3.

ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Сразу отметим, что реальные жидкости никогда не являются

абсолютно несжимаемыми. Любая жидкость может быть сжата, однако величина давления, которая для этого требуется, часто выходит далеко за пределы достижимых значений в реальных течениях. Так, вода в океане на глубине 10 км (что соответствует величине давления примерно 1000 атмосфер) лишь на 5 % плотнее воды на поверхности (при давлении соответственно 1 атмосфера). Существуют модели, учитывающие для различных целей изменение плотности с глубиной или ее зависимость от давления, но мы ограничимся рассмотрением классического случая  = const. Кроме того, большую часть главы мы будем рассматривать течения идеальной жидкости, без учета вязких сил.

3.1. Гидростатика

Исторически первым разделом механики жидких сред была

гидростатика. Эта дисциплина имеет дело с такими состояниями жидкости, когда какое-либо движение отсутствует, то есть скорость везде равна нулю. Ясно, что в системе (2.10) уравнение неразрывности при этом выполняется автоматически, а уравнение движения упрощается до вида

pF

Если на жидкость действует только сила тяжести, то

Fgkgz  

и тогда уравнение для давления можно проинтегрировать, получив следующую формулу:

pp gz

Глава 3. Течения несжимаемой жидкости

Таким образом, для полного описания состояния жидкости, подлежит определению единственная неизвестная константа p

Значение этой константы определяется из граничных условий – на границе с внешней средой (если жидкость граничит с воздухом,

выражается через атмосферное давление) или на границе с

то p

непроницаемой стенкой, для которой известна действующая на нее сила (например, поршень, давящий на жидкость). Изменение давления/усилия на этой границе приводит к изменению давления во всем объеме жидкости. На этом основан принцип устройства гидравлического пресса, в котором создание усилия на одном поршне малого размера позволяет передать его через соединяющую их жидкость на поршень большего размера, при этом значительно усилив (давление на поршнях одинаково, но за счет разных площадей получается выигрыш в силе, по сути аналогичный выигрышу при использовании рычага).

Гидростатический вклад в давление имеет место и в течениях жидкости с ненулевым полем скоростей. При их рассмотрении далее в этой главе мы будем везде рассматривать только случаи, когда на жидкость не действуют никакие силы, либо когда все силы – потенциальны. С математической точки зрения эти два случая практически эквиваленты. Действительно, пусть силы, действующие на жидкость, являются потенциальными, то есть представимы в виде F = V, где V – потенциал. Тогда можно ввести некоторое p1 = p – V, при подстановке которого в уравнение движения идеальной жидкости получим



vvF p V

  





или, поскольку плотность – константа,



vvF p V

  



Видно, что сила сокращается, после чего оставшееся уравнение принимает такой же вид (с точностью до индекса у давления), как если бы силы отсутствовали. Мы можем опустить этот индекс, после чего единственное влияние силы F останется в граничных условиях на давление, если таковые у нас вообще есть, а также в ито-

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]