Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
С. Х. Рояк
Теория рядов
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2022
УДК 517.52 (075.8)
Р 816
Рецензенты:
д-р техн. наук, доцент Е. В. Чимитова
канд. техн. наук И. М. Ступаков
Работа подготовлена на кафедре прикладной математики
Рояк С. Х.
Р 816 Теория рядов: учебное пособие / С. Х. Рояк. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2022. – 116 с.
ISBN 978-5-7782-4626-3
В настоящем учебном пособии излагаются основные разделы теории рядов.
Пособие содержит большое количество примеров и может быть рекомендовано
как для самостоятельного изучения курса, так и в качестве расширенного конспекта лекций.
Для студентов I и II курса всех специальностей факультета прикладной
математики и информатики.
УДК 517.52 (075.8)
ISBN 978-5-7782-4626-3 Рояк С. Х., 2022
Новосибирский государственный
технический университет, 2022
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................................................................................................. 4
Глава 1. Числовые ряды ............................................................................................................. 5
1.1. Основные определения ................................................................................................. 5
1.2. Ряды с неотрицательными членами ........................................................................... 10
1.2.1. Признаки сравнения ............................................................................................ 11
1.2.2. Интегральный признак Коши – Маклорена ....................................................... 14
1.2.3. Обобщенный гармонический ряд ....................................................................... 16
1.2.4. Признаки Даламбера и Коши .............................................................................. 18
1.2.5*. Построение новых признаков сходимости ...................................................... 21
1.2.6. Отсутствие универсального ряда сравнения ...................................................... 26
1.3. Ряды общего вида ....................................................................................................... 28
1.3.1. Группировка членов ряда .................................................................................... 28
1.3.2. Ряды лейбницевского типа .................................................................................. 29
1.3.3. Абсолютная и условная сходимость ................................................................... 30
Глава 2*. Бесконечные произведения ..................................................................................... 41
Глава 3. Функциональные последовательности ..................................................................... 49
3.1. Основные определения ............................................................................................... 49
3.2. Равномерная сходимость ............................................................................................ 50
3.3. Свойства равномерно сходящихся последовательностей ......................................... 54
3.4. Сходимость в среднем ................................................................................................ 58
Глава 4. Функциональные ряды ............................................................................................... 61
4.1. Основные определения ............................................................................................... 61
4.2. Равномерная сходимость ............................................................................................ 62
4.3. Свойства равномерно сходящихся рядов ................................................................... 70
Глава 5. Степенные ряды ........................................................................................................ 76
5.1. Сходимость степенного ряда ...................................................................................... 76
5.2. Свойства степенного ряда .......................................................................................... 82
5.3. Разложение в степенной ряд ....................................................................................... 83
5.4. Равномерное приближение непрерывной функции многочленами .......................... 92
Глава 6. Тригонометрические ряды Фурье ............................................................................. 96
6.1. Периодические функции и их свойства ..................................................................... 96
6.2. Разложение в ряд Фурье ............................................................................................. 97
6.3. Сходимость ряда Фурье ............................................................................................. 100
6.3.1. Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье ........................... 100
6.3.2. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке..................................... 103
6.3.3. Характер сходимости рядов Фурье ................................................................... 106
6.4. Операции над рядами Фурье ..................................................................................... 110
Библиографический список ................................................................................................... 113
Предметный указатель ........................................................................................................... 114
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие создано на базе учебного пособия «Элементы теории рядов» (2006 год) и курса лекций по математическому анализу, читаемых автором на факультете прикладной математики и информатики НГТУ. Основой для изложения теоретического материала послужили следующие издания: «Курс дифференциального и интегрального
исчисления» Г.М. Фихтенгольца, «Основы математического анализа»
В.А. Ильина и Э.Г. Позняка, «Курс математического анализа» Л.Д. Кудрявцева и «Задачи и упражнения по математическому анализу» И.А. Виноградовой.
Пособие охватывает основные разделы теории числовых и функциональных рядов. Оно содержит все необходимые для изучения курса определения и теоремы и может быть использовано как для самостоятельного
изучения курса, так и в качестве расширенного конспекта лекций.
Весь теоретический материал проиллюстрирован примерами, раскрывающими его суть и облегчающими восприятие курса в целом. Изложение
математического анализа ведётся на уровне, доступном широкому кругу
студентов. Материал, помеченный знаком «*», является в некотором роде
дополнительным и предназначен для более глубокого изучения. Как правило, это разделы математического анализа, не обязательные для базового
курса. При первом (ознакомительном) прочтении глав пособия указанные
разделы рекомендуется пропускать и возвращаться к ним только после
разбора основной части материала по данной теме.
Автор выражает глубокую благодарность А.Н. Игнатьеву и Д.В. Шилаку, которые в 2006 году, будучи студентами, оказали неоценимую помощь в создании учебного пособия «Элементы теории рядов», которое
послужило основой данной книги.
5
1 2
, , , ,
k
k k
a a a a
n
S
n k
S a
n n k k
r a a
a
n
S
S a
lim
n
S S
n
S
n n
S S r
n
r
n
S
Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть задана некоторая числовая последовательность
Формально образованное из элементов этой последовательности выражение вида
называют числовым рядом, а входящие в него слагаемые – членами
числового ряда.
Сумму первых n членов этого ряда называют частичной суммой ряда
и обозначают
:
а ряд
1 1
k k n
Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность
тичных сумм этого ряда имеет конечный предел S, при этом S называют
суммой данного ряда. Таким образом, для сходящегося ряда формально
можно записать
где
.
n
Если последовательность
называется расходящимся.
З а ме ч ан и е 1. Понятие «сумма ряда» определено только для сходящегося ряда и в отличие от понятия «частичная сумма ряда» вводится
посредством предельного перехода.
З а ме ч ан и е 2. Если ряд (1.1) имеет сумму S, то верно равенство
, из которого следует, что остаток сходящегося ряда
погрешности замены суммы ряда S частичной суммой
a a a
... ...
1 2
n
k
(1.1)
1
k
,
1
называют n-м остатком ряда
,
1kk
частичных сумм ряда расходится, то ряд
.
1kk
час-
равен
.
6
n
S
1 1 1
, 1 .
a S k a S S
11k
q
1
q
1
q
m
n
S
n
1
n
S
n
qSq
1
1
q
1
11k
q
1
11q
1
q
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 4 1
k k n
lim 1
Изучение числовых рядов есть новая форма изучения числовых последовательностей, так как:
1) каждому ряду однозначно соответствует последовательность его
частичных сумм;
2) каждой последовательности
для которого эта последовательность является последовательностью частичных сумм:
Следующие примеры показывают взаимосвязь понятий ряда и последовательности, суммы ряда и предела последовательности.
П р им е р 1.1. Исследуем сходимость геометрического ряда
1. При
2. При
не имеет предела при
3. При
очевидно, что lim
2 11mS
частичная сумма
q
nS
,
S
20m
.
суммы членов геометрической прогрессии:
n
однозначно соответствует ряд,
k k k
.
k
n
.
, поэтому последовательность
этого ряда вычисляется по формуле
1
.
1
Следовательно, при
Таким образом, ряд
1
k
q
k
1
, а при
1
lim
q
q
S
n
k
– расходится.
n
при
1
П р им е р 1.2. Исследуем сходимость ряда
Вычислим частичную сумму этого ряда:
n
S
Так как
n
1
k
, данный ряд сходится к 1.
n
nS
, а при
q
q
сходится к числу
1
k k
1
k
lim
nS
n
.
... 1
.
, т. е.
.
7
n
S
n
S
n
S
n
r
a
k n p n
a S S
k
1
2
1 1 1
2 2
В приведенных примерах последовательность
частичных сумм
соответствующего ряда выражалась достаточно просто, так что существование и величина предела
но такой анализ последовательности
устанавливались непосредственно. Обыч-
невозможен, поэтому основ-
ными задачами в теории числовых рядов являются установление сходимости или расходимости ряда без вычисления его частичных сумм
и оценка зависимости величины остатка
от номера n (скорость схо-
димости ряда).
Критерий Коши сходимости ряда
Так как вопрос о сходимости ряда по определению эквивалентен
вопросу о сходимости последовательности его частичных сумм, можно
получить необходимое и достаточное условие сходимости ряда, сформулировав критерий сходимости Коши для последовательности его частичных сумм.
Теорема 1.1 (критерий Коши). Для того чтобы ряд
сходился,
1kk
необходимо и достаточно, чтобы
n p
0
n n n p a
0 0
k n
.
k
1
Для доказательства достаточно заметить, что
n p
k n
1
.
З а ме ч ан и е. Критерий сходимости Коши представляет в основном
теоретический интерес и редко используется для доказательства сходимости конкретных рядов из-за технических трудностей.
П р им е р 1.3. Пользуясь критерием Коши, докажем расходимость
гармонического ряда
n n n p n n
. Ряд расходится, так как
11k
2
n
0 0
k n
k n
1
.
8
2
k
n n n m
1 1 1 1 1
k k k k k k
a
n k
r a
lim
k n
S a S
lim lim lim 0
a
lim 0
lim
k n
S a S
1k
1
k k k
a S S
lim lim lim lim 0
k
sinkk
sinka k
k
11k
q
1
П р им е р 1.4*. Пользуясь критерием Коши, докажем сходимость ряда
. Ряд сходится, так как
11k
n m n m n m n m
1 1 1 1
k n k n k n k n
Теорема 1.2. Если ряд
ряда
k n
Пусть
будет бесконечно малой.
1
1
k
n n n
0 1
2 2
1 1 1m m n
n n m n n m n n m n
сходится, то последовательность остатков
1kk
. Тогда
n
r S S S S S S
n n n
1
0 0
1 1
.
.
Теорема 1.3 (необходимое условие сходимости ряда). Для сходи-
мости ряда
Пусть
необходимо, чтобы
1kk
. (1.2)
k
k
a S S S S S S
k k k k k
k k k k
n
1
ka
. Так как
1 1
, то
.
З а ме ч ан и е. Условие (1.2) не является достаточным для сходимости
ряда. Например, для гармонического ряда
условие (1.2) выполняется,
11k
но ряд расходится.
П р им е р 1.5. Ряд
расходится, так как предел
1
не существует, т. е. нарушено необходимое условие сходимости.
Доказанная ранее расходимость ряда
,
k
, также может быть
q
обоснована невыполнением необходимого условия сходимости.
при
9
0c
ca
a
k k
ca c a
a
b
k k
a b
k k k k
a b a b
a
b
k k
a b
a
b
k k
a b
3 5
20
k k
k
3
20
k
1
4
k
20 5
k k
k
k
1
4
k
k
1
1 1 1
1 1
k
1 1
k k
Основные свойства сходящихся рядов
1. Отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет
на сходимость ряда.
2. Если
сходится ряд
, то ряд
, причем в случае сходимости
1kk
3. Если ряды
1kk
1 1 1
k k k
рой расходится, то ряд
расходятся, то ряд
k
1
Доказательства этих свойств основаны на использовании соответствующих свойств числовых последовательностей.
сходится тогда и только тогда, когда
1kk
и
сходятся, то сходится ряд
1kk
. Если один из рядов
1
k
расходится. Если оба ряда
может как сходиться, так и расходиться.
1 1
k k
1kk
и
k
1
.
сходится, а вто-
1kk
1kk
, причем
и
1kk
П р и м ер 1.6. Ряд
k
1
и
П р и м ер 1.7. Ряд
дится, а ряд
П р и м ер 1.8. Ряд
и оба ряда
сходится, так как каждый из рядов
расходится, так как ряд
k
20
k
1
k
сходится (см. пример 1.1).
1
k
1
расходится (см. пример 1.3).
11k
11k
k
,
1 2
k k
1
k k
1
k k
сходится (см. пример 1.2), хотя
k k k k
1 1
расходятся.
1
k
схо-
1
10
a
k
0
k
0
0
0
a
k
d
n d L
k k
a d
k
d
0
a
0 0
n n n
L
З а ме ч ан и е. Согласно свойству 1 всюду в формулировках условий
сходимости или расходимости ряда можно требование «для всех членов
ряда» заменить требованием «для всех членов ряда, начиная с некоторого
номера». В дальнейшем такая замена будет подразумеваться без специальной оговорки.
1.2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Рассмотрим знакопостоянные ряды, т. е. ряды
или
a
k
.
a
k
С учетом свойства 2 сходящихся рядов можно ограничиться рассмотрением только рядов с неотрицательными членами. Те случаи, когда неравенство
необходимо заменить неравенством
a
k
вать особо.
Теорема 1.4 (основное свойство рядов с неотрицательными членами).
Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была
ограничена.
Очевидно, что последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами является неубывающей, а для неубывающей последовательности ее сходимость и ограниченность эквивалентны.
Теорема 1.5. Если знакопостоянный ряд
1kk
тельность
ограничена, т. е.
n
, то ряд
Для доказательства используем критерий Коши. Пусть последовательность
ряда
1kk
ограничена числом L. Пусть
n p
получим, что
n p n p n p n p
a d a d L a L a L
k k k k k k
1 1 1 1
k n k n k n k n
p a
k n
1
k
такие, что
1kk
, будем оговари-
a
k
сходится, а последова-
k
также сходится.
1
, тогда из сходимости
, следовательно,
.
L
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]