Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
31
2
2
k N k N
a S a a a S
n N
2
k
a a
0
n N
0
N
N p
2
Докажем, что
n
Исходя из абсолютной сходимости ряда (1.18)
Выберем N так, чтобы
n n
k k k k
Покажем, что при
Для этого рассмотрим разность
сумму
членов ряда (1.18) с номерами, большими
так, чтобы номер
Из неравенств (1.21) – (1.23) получаем
(1.19) сходится и имеет сумму, равную S.
0
N n N a S
0
N p a
N
0
1
k
k k
1 1 1 1
n
1 1
k k
превосходил все эти номера, получаем
0
n
1 1 1
k k k N
N N p
a a a
k
1
k
N p
0
0
k N
0
a S
k
0
N N
N
0
a a
k
n
k
1 1
k k
0 0
k k
1
. (1.21)
0 0
k k
k
0
k
k
.
, (1.20)
. Тогда
. (1.22)
.
N
0
, представляющую собой
. Выбирая p
. (1.23)
n
k
1
a S
k
, а значит, ряд
З а ме ч ан и е. Эта теорема часто используется в одной из следующих
формулировок: «при любой перестановке абсолютно сходящегося ряда
сумма полученного ряда равна сумме исходного» или «сумма абсолютно
сходящегося ряда не зависит от порядка его членов». Последняя формулировка удобна, если речь идет о сумме некоторого счетного множества
чисел, нумерация которого еще не установлена или устанавливается произвольно.
32
a
a
a
a
, , , ...
1 2 3
, , , ...
n
P
n
Q
n
S
n n n
S P Q
P Q S
p
q
0
E N
m p E
m q E
Теорема 1.23 (Коши об абсолютно сходящемся ряде). Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного ряда посредством
некоторой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же
сумму, что и данный ряд.
*Для доказательства абсолютной сходимости ряда
ченного перестановкой членов исходного ряда, достаточно применить
теорему 1.22 к рядам
1kk
и
.
1kk
Теорема 1.24 (Римана об условно сходящемся ряде). Если ряд схо-
дится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число L (конечное
или бесконечное), можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L.
*Пусть ряд
(1.24)
1kk
сходится условно. В этом случае можно утверждать, что он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов (иначе,
отбрасывая конечное число членов ряда, мы бы получили знакопостоянный
ряд, который сходится абсолютно). Пусть
а
q q q
– отрицательные члены ряда (1.24), выписанные в таком
p p p
1 2 3
порядке, в каком они стоят в этом ряду.
Пусть
и
– соответствующие суммы всех положительных и отрицательных членов ряда (1.24), составляющие его частичную сумму
Очевидно, что
. Так как ряд (1.24) сходится условно, то
lim
n
lim
n
n n
P Q
n n
, (1.25)
. (1.26)
Сопоставляя (1.25) и (1.26), получаем, что
т. е. ряды
lim
и
1kk
nP
расходятся, следовательно,
1kk
1
N m
k N
, lim
n
nQ
1
1
и
k
,
n
N m
2
2
k N
k
1
, полу-
1kk
– положительные,
.
.
33
S L
1
, ...,np p
k
2
, ...,nq q
k k
p q
1 3
, ...,
n n
p p
k k
p q
S L
lim 0
lim 0
L
n
L
k
L
Пусть
lim
n
. Для этого сначала выберем из ряда ровно столько положитель-
n
ных членов
ровно столько отрицательных членов
n n
1 2
1 1
k k
члены
. Переставим члены ряда (1.24) таким образом, чтобы
L
n
1
, чтобы их сумма
1
превзошла L. Затем добавим
1
kp
1
, чтобы общая сумма
стала меньше L. После этого снова добавим положительные
n
1
так, чтобы сумма
3
k k
1 1
n
2
оказалась больше L.
Продолжив аналогичные рассуждения, мы получим ряд, в состав которого
войдут все члены исходного ряда (1.24).
Докажем, что полученный ряд сходится к L. Для этого достаточно заме-
тить, что величина
не превосходит модуля последнего члена
n
последней полностью завершенной группы членов полученного ряда одного
знака, а исходя из сходимости ряда (1.24)
S L
n
n
Если
тельность чисел
, что и требовалось доказать.
, то, взяв бесконечно большую возрастающую последова-
, перегруппируем члены ряда так, чтобы после каж-
ka
. Таким образом,
k
дой группы положительных чисел следовало ровно одно отрицательное
число, причем k-я группа положительных чисел заканчивалось, когда
частичная сумма ряда превысит
. При этом получится ряд, сумма кото-
рого равна . Аналогично можно получить и ряд с суммой .
З а ме ч ан и е 1 . Из теоремы Римана следует, что если ряд сходится
условно, то он сходится «небезусловно» (случай бесконечного L). Далее,
если ряд сходится неабсолютно, то он сходится условно (согласно определению). Следовательно, из неабсолютной сходимости ряда вытекает его
«небезусловная» сходимость. Теорема Коши при этом утверждает, что
из абсолютной сходимости ряда следует его безусловная сходимость.
В результате можно считать доказанной эквивалентность понятий абсолютной и безусловной сходимости. На практике при исследовании сходимости обычно вместо термина «неабсолютная» используют термин
«условная», а вместо термина «безусловная» – термин «абсолютная».
34
1
1
k
0
0
0 1
1
k
1
1
n n
S a b a b a b
1 1
B b
2 1 2
B b b
...
n n
B b b b
1 1
b B
2 2 1
b B B
1
n n n
b B B
1 1 2 2 1 1
n n n n n
S a a B a a B a a B a B
k k k k k n n
a b a a B a B
З а ме ч ан и е 2 . Теоремы Римана и Коши подчеркивают тот факт, что
неабсолютная (условная) сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и потому
существенно зависит от порядка, в котором они следуют один за другим,
между тем как абсолютная сходимость основана на быстроте убывания
этих членов и от порядка их не зависит.
П р им е р 1.20. Найдем множества абсолютной и условной сходимо-
сти ряда (множества значений , при которых ряд сходится абсолютно и
условно)
При
ряд (1.27) расходится, так как не выполняется необходи-
мое условие сходимости.
При
при
монический ряд
данный ряд сходится в силу признака Лейбница, причем
– условно, а при
сходится при
11k
Преобразование Абеля для конечных сумм*
Пусть задана сумма
,
тогда
S a B a B B a B B
,
Раскрывая скобки и группируя по-новому члены, получаем равенство
1 2 1 2 3 2 1 1
Таким образом,
n n
k k
1 1
Преобразование конечных сумм (1.28) называют преобразованием
Абеля или дискретным преобразованием Абеля. Преобразование Абеля
является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.
1
k
1 1 2 2
, …,
1
. (1.27)
k
абсолютно, так как обобщенный гар-
и расходится при
...
. Положим
1 2
, …,
...
n n n
...
1
,
,
.
. (1.28)
.
.
0, 0
k k k
a a B
k k
a b
n n
a B
2
k
a k
2
k
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2
n
x
x
2
2x
2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2
n
-
1
1
B
1
B2
B
3
0 B
n-1
Bn
1
a2
a3
an-2
an-1
an
B
n-2
З а ме ч ан и е. Если
k a b
k k
, то преобразование Абеля имеет
геометрическую интерпретацию (см. рисунок). Каждое слагаемое вида
1
гаемые вида
соответствует площади прямоугольника со штриховкой. Сла-
соответствуют площадям без штриховки. Выражение
соответствует площади всего прямоугольника.
a
b3
b2 b
bn
b
n
П р им е р 1.21*. Вычислим сумму
kk
.
1
С п о с о б 1 . Воспользуемся преобразованием Абеля (1.28). Положив
k
k
n n n
k n n n
1 1 1
k k k
, получим
b
k
1 1
k k n k n
a a
11k k
1 1 1 1
n n n
С п о с о б 2 .Учитывая, что
n n
k x x x x x x x x
1 1
k k
При
k k
, получим
n
k n n n n
k n n
1
k
B
,
k
1
i
1 1
n n
n
1
k
1 1
1 1 1
1
k
x x
1
n n n
x x nx
x x x
1
k k
, получаем
1
, а значит,
.
1
1
1
.
n
x
.
x
35
36
0 0 , 1, 1
a a a a k n
... , 1,
b b B k n
1
a b B a
1
k k
a a
a b a a B a B
1 1
B a a a B a
k
a
n k
B b
k k
a b
n
B
B
n b B
1
n p
2
b B B B B B
0
lim 0
n n n
2
B
Неравенство Абеля*
Если
1 1
k k k k
, (1.29)
, (1.30)
1
k
то выполняется неравенство Абеля
n
k
Согласно условиям (1.29) все разности
k k
1
. (1.31)
– одного знака,
поэтому из (1.30) и (1.28) получим
n n
k k k k k n n
1 1
k k
1
1
1
n
k k n
1
k
.
Признаки сходимости знакопеременных числовых рядов
Теорема 1.25 (признак Дирихле). Если последовательность
монотонно сходится к нулю, а последовательность частичных сумм
n
ограничена, то ряд
1
k
*В силу ограниченности последовательности
k
1
сходится.
n
k
1
k
,
значит,
n p
Пусть задано
. Так как по условию
k n p n n p n
k n
1 1
ka
. (1.32)
, то
k
a
n
. (1.33)
37
k k
a b
n n
p
k k
a b
n
a
b
k k
a b
n
a
A
n a A
0
b
n
n n
p
A
n n
p
k k
a b
k
b
k
k
2 ,
k k
n p
Применив неравенство Абеля (1.31) к сумме
и (1.33) получим
n p
a b B a
k k n
k n
Отсюда согласно критерию Коши следует, что ряд
Теорема 1.26 (признак Абеля). Если последовательность
тонна и ограничена, а ряд
сходится, то сходится и ряд
1kk
*В силу ограниченности последовательности
k n
2
k
.
1
, с учетом (1.32)
сходится.
моно-
.
1
k
Пусть задано
Следовательно,
. Из сходимости ряда
.
n
вытекает, что
1kk
n p
согласно неравенству Абеля (1.31)
b
k
k n
справедливо неравенство
n p
a b a
k n
а значит, согласно критерию Коши ряд
k k n
A
k
,
1
сходится.
З а ме ч ан и е. На практике в качестве последовательности
1
берется или последовательность
cos k
при данной функции
и
sin k
. Ограниченность последовательности
устанавливается непосредственно. Покажем огра-
ниченность последовательностей
B k
n
, или одна из последовательностей
n
cos
1
k
и
.
.
чаще всего
n
n
B k
n
k
sin
1
1
kk
1
при
38
sin sin sin sin sin ...
sin sin cos sin ,
2 2 2 2 2
n
2 ,
k k
1
sin22
2 ,
k k
1
sin22
k
k
k k
1 / 2
1
k
k
k
kak k
7 4
k
7 4
k
1 / 2
2/3
1
k
2/3
k
Так как
2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 5 3
B
n
2 1 1
n n
1
получаем, что
B
n
Точно так же получаем, что
B
n
2 1 2 1
1
n n
sin sin
2 2 2
1
n
cos sin
2 2
sin
1
n
sin sin
2 2
sin
n
n
.
.
П р им е р 1.22. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряды:
k k
1)
k
1
arctg
4
7
, 2)
3
k
1
1
2/3
k
1. Согласно первому признаку сравнения ряд
сходится абсолютно, так как
a
2. Ряд
k
1 1 1
k k k
a
k
1 1
k k
7
4
2 3
k k
k k
1
2/3
k
a
k
1 1
k k
не сходится абсолютно, так как
и ряд
2
и ряд
11k
, 3)
ln 1
1
k
1 1
k k
сходится.
k
12k
расходится.
3
2
2
arctg
4
.
7
3
39
2 3
1
k
1 2
1 / 2
2
t t O t
0t
k k
a b
4/3
C
0C
b
2
1
k
k
2
1
k
a
При этом он сходится по признаку Дирихле, так как последователь-
n
k kk
1
uk
ность
k
монотонно сходится к 0 при
Таким образом, ряд
k
1
, а
k k
1
k
сходится условно.
2/3
1 / 2
.
3. Используя асимптотическую формулу
ln 1
при
получаем
ln 1
bk
где
k
Ряд
,
.
сходится абсолютно, а ряд
1kk
признаку Лейбница, причем условно, так как ряд
Значит, ряд
сходится условно.
1kk
Множеством сходимости ряда
k k
1 1
2 2
3 3
2 2
k k
k
a
1kk
,
сходится согласно
3
1
2
k
1
расходится.
3
2
называют множество всех
значений параметра , при которых ряд сходится. Аналогично определяются понятия: множество абсолютной сходимости ряда, множество
условной сходимости ряда и множество расходимости ряда.
З а ме ч ан и е. Множества абсолютной и условной сходимости ряда
не пересекаются, а их объединение образует все множество схо-
a
1kk
димости ряда
. Таким образом, все множество допустимых значе-
a
1kk
ний параметра разбивается на три непересекающихся множества (некоторые могут быть пустыми): множество расходимости ряда, множество
условной сходимости ряда и множество абсолютной сходимости ряда.
,
sin /
k
k
k
2
k k
k
2
k
,
m m
k
k k
k k k
k
1
sin
12n
n
1
2kk
,
m m
k
2 ,
m m
k
,
m m
П р им е р 1.23. Найдем множества абсолютной и условной сходимости
рядов:
1)
sin
k
1
k
sinkk
k
1
k
сходится абсолютно
при
, 2)
sin
1
k
и ряд
k
.
, так как
1k
сходится.
2. При
ряд
a
1 1
k k
sin
k
сходится абсолютно, так
k
как все его члены ряда равны 0. Исследуем данный ряд на абсолютную
сходимость при остальных значениях .
Так как
Ряд
тельность
sin sin
cos 2
2
1
k
n
cos 2
1
kk
1 1 1
k k k
k
монотонно сходится к 0 при
2
, то
sin sin 1 cos 2
k k k
2
.
2
сходится по признаку Дирихле, так как последова-
ограничена числом
. Ряд
, а последовательность
расходится.
1
Так как ряд, являющийся суммой сходящегося и расходящегося ряда,
расходится, исследуемый ряд не сходится абсолютно при
Аналогично по признаку Дирихле можно доказать, что ряд
сходится при
Таким образом, ряд
k
.
sin
1
сходится абсолютно при
k
k
1
.
sin
k
а при остальных значениях сходится условно.
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]