Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
11
a
b
k
k k
a b
b
a
a
b
n
A
n
B
n n
A B
n
B
n
A
n
A
n
B
k k
a b
k k
cb
b
a
b
0, 0
c
0c
c
b
a
0c
b
a
0c
1.2.1. Признаки сравнения
Теорема 1.6 (первый признак сравнения). Пусть ряды
таковы, что
1) из сходимости ряда
2) из расходимости ряда
Пусть
. Следовательно, ограниченность
а неограниченность
теоремы 1.4 получаем требуемое утверждение.
Следствие. Теорема остается справедливой, если неравенство
заменить неравенством
Утверждение справедливо, так как ряды
расходятся одновременно.
Теорема 1.7 (второй признак сравнения). Пусть ряды
таковы, что
lim
Тогда, если:
1)
2)
3)
0
. Тогда:
следует сходимость ряда
1kk
следует расходимость ряда
1kk
и
– соответствующие n-е частичные суммы рядов, тогда
влечет ограниченность
влечет неограниченность
0
0 ,
a cb c
,
и
1kk
k a b
k k
, то из сходимости ряда
, то из расходимости ряда
и существует предел
a
k
k
,
b
k
следует сходимость ряда
1kk
следует расходимость ряда
1kk
.
, то оба ряда сходятся и расходятся одновременно.
. Отсюда с учетом
1kk
,
1kk
1kk
сходятся и
1kk
1kk
и
.
и
1kk
,
1kk
;
1kk
;
1kk
12
0c
b
kkk
adb
k
0
k
d
b
k k k
b d a
0c
b
a
kkk
bda
k
0
k k k
b a d
a
k k
a b
k
a
b
1
5 3 1
k
2 2
8
k k
2
k
2
k
1. Пусть
Очевидно, что
конечный предел c, а значит, ограничена. В силу теоремы 1.5 из сходимо-
сти ряда
следует сходимость ряда
1kk
2. Пусть
сходится. Тогда, введя в рассмотрение последовательность
1kk
(
1 1
k k
) и повторив рассуждения из пункта 1, получим, что ряд
d
k
сходится, а это противоречит условию. Следовательно, ряд
расходится.
1kk
3. Утверждение является следствием первых двух.
Следствие. Если
и расходятся одновременно1.
П р им е р 1.9. Исследуем на сходимость ряд
Ряд сходится в силу первого признака сравнения:
5 3 1
1)
0kk
2) ряд
18k
и согласно основному свойству рядов умножение на константу не влияет
на сходимость2.
d
и ряд
. По условию последовательность
k
сходится. Положим
1kk
1 1
k k
расходится. Предположим, что ряд
, то ряды
1
k
и ряд
при
1
1kk
,
сходится, так как сходится ряд
.
и
1kk
k
1kk
.
2
(см. пример 1.4)
11k
.
имеет
сходятся
Второй признак сравнения и его следствие часто называют предельным признаком сравнения.
1
На практике обычно под вторым признаком понимают это следствие, а не сам признак.
2
В дальнейшем оговаривать использование основных свойств рядов не будем
13
arctg
k
k
2 2
arctg 1
2
k k
2
k
2 2
arctg 1
2kk k
k
2
k
a
b
0, 0
1 1
k k
a b
a b
b
a
a
b
kkk
adb
k
k k
d d
k
d
k k k
a b d
П р им е р 1.10. Исследуем на сходимость ряд
k
1
С п ос о б 1 . Ряд сходится в силу первого признака сходимости:
k
k
и ряд
сходится (см. пример 1.4),
11k
С п о с о б 2 . Обосновать сходимость этого ряда можно и с помощью
второго признака:
при
и ряд
сходится (см. пример 1.4),
11k
Теорема 1.8 (третий признак сравнения). Пусть ряды
таковы, что
k a b
k k
и
k k
. Тогда:
.
2
и
1kk
1kk
1) из сходимости ряда
2) из расходимости ряда
следует сходимость ряда
1kk
– расходимость ряда
1kk
,
1kk
.
1kk
Утверждения 1 и 2 эквивалентны, поэтому докажем только первое.
Положим
Следовательно, последовательность
ченная, поэтому в силу теоремы 1.5 ряд
. Тогда из условия теоремы
a a
1
k k
0
1
b b
1
k k
k k
1 1
.
– невозрастающая, ограни-
сходится.
З а ме ч ан и е. На практике для исследования сходимости ряда обычно
применяют первый и второй признаки сходимости. Третий признак чаще
используется в доказательствах.
14
0
x m
f k
f x dx
1
k m
1,
x k k
1
f x
1,
k k
1,
k k
1 1
1, 2, ,
k m m n
f k f x dx f k
S f k
a f x dx
1
n n n
S f m a S
f x dx
n
a
f k
n
S
0
n
a
n
S
n
a
n
S
1.2.2. Интегральный признак Коши – Маклорена
Теорема 1.9 (интегральный признак Коши – Маклорена). Пусть
f x
мости числового ряда
и не возрастает всюду на полупрямой
k m
несобственного интеграла
Пусть
,
необходимо и достаточно сходимости
.
m
. Тогда
. Тогда для сходи-
Так как функция
рируема на
f k f k dx f x dx f k dx f k
k k k
1 1 1
k k k
f k f x f k
на
ограничена и не возрастает, то она интег-
. Учитывая свойства интегралов, из (1.3) получим
Сложив эти неравенства для
n
m
n
,
n
m
Обозначим
n n
1
k m k m
n
n
k m
Отметим, что сходимость интеграла
последовательности
димости последовательности
По условию
f x
, а сходимость ряда
.
, поэтому последовательности
m
. (1.3)
.
, получим
1
. (1.4)
. Тогда (1.4) примет вид
. (1.5)
эквивалентна сходимости
эквивалентна схо-
k m
,
не убы-
вают, а значит, для их сходимости необходимо и достаточно их ограниченности. Из неравенств (1.5) вытекает, что последовательность
чена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность
ограни-
.
15
f x
g x
,
n n
2
1
n
1n
1
0
0
1
0
1
2
1
x
2
1
k
f x dx g x dx dx
1 1
dx
2
1
k
f x dx g x dx dx
dx
f x
f k
f x dx r f x dx
r f k
f k f x dx f k f x dx
n
1
З а ме ч ан и е. Условие невозрастания функции
существенно [2].
*Определим функцию
на отрезках
как линейную, для которой
g n
,
g n
1
,
2
n
а в остальных точках положим
g
1
Тогда
g x
2
f x g x
.
3
x
4
g
1
1
положительная и непрерывная на
функция, для которой:
f k
1 1
k k
1 1 1
2 2
k x
1
k
1
1
– расходится,
1
2
x
– сходится.
1 1
k k
1 1 1
1
2
n
g n
,
g x
2
1
f k
1 1
k
1
k x
2
1
в теореме (1.9)
,
,n n
1
g n
n
,
2
.
x
3
4
1,
– сходится,
1
2
x
– расходится
,
Следствие. Пусть
сходится, тогда остаток ряда можно оценить по формуле
k m
1nn n
0 0
удовлетворяет условиям теоремы 1.9, а ряд
0
Неравенство (1.4) можно записать в виде
n n
2 1
k n k n
0 0
n n
1
n n
0 0
Переходя к пределу при
,
0
0
1
1
.
1nk n
.
, получаем требуемую формулу.
16
k
1
1
1
x
dx
1
1
4
k
210
4 3
1
3
x n
2
10
4n
4 4 4
1 1 1
2 3 4
exp 1
0
3kk
k
2 2 5/3
2 2 1
k k k
k
5 3
1.2.3. Обобщенный гармонический ряд
Теорема 1.10. Обобщенный гармонический ряд
сходится при
Функция
и расходится при
f x
убывает и положительна на
(1.6)
11k
.
1,
, поэтому
в силу признака Коши – Маклорена вопрос о сходимости ряда (1.6) экви-
валентен вопросу о сходимости несобственного интеграла
рый сходится при
П р им е р 1.11. Найдем сумму ряда
и расходится при
11k
.
с точностью до
1
, кото-
x
1
.
Задача корректна, так как данный ряд сходится, поэтому согласно
следствию из интегрального признака Коши получим
Так как
r
n
при
ностью достаточно взять
r S S
n n
, для вычисления ряда с заданной погреш-
1
S
4
dx
n
.
.
Обобщенный гармонический ряд часто используется при исследовании сходимости рядов с помощью теорем сравнения.
3
2
k
2
3
k
.
.
П р им е р 1.12. Исследуем сходимость ряда
3
2
Так как
2
exp 1
при
3 3
k k
3 3
, то
1
k
при
В силу второго признака сравнения с учетом сходимости обобщенного
гармонического ряда при
получаем сходимость исходного ряда.
17
x
e
ln
x
x
0
x
x
x o e
x o x
k e
0
/2
k
6
/2
/2
0 6
k e
, 0
1
q
0 1
q
1
q
k o k
k
0
ln 1
k k
1
k
1
q
1
q
12q
ln
q
k
k
3k
ln 1
q q
k k
0 1
q
Элементарные функции – показательная
при
а именно для любого
не являются бесконечно большими степенного порядка,
при
и
справедливы соотношения
ln
и логарифмическая
.
–
Иногда можно получить оценку общего члена такого ряда через степенную функцию и, пользуясь теоремой сравнения, сделать вывод о поведении этого ряда.
2
П р и м ер 1.13. Исследуем сходимость ряда
k
e o k
при
. Если
.
1kk
, то ряд
0
2
0
k
1k
сходится, а значит, в силу теоремы сравнения сходится и исходный ряд.
k
e o k
З а м е ч а н и е . Оценка
оценка неинформативна в вопросе о сходимости ряда
П р и м ер 1.14*. Покажем, что ряд
и расходится при
Пусть
. Так как
Обобщенный гармонический ряд
выбирая для каждого фиксированного значения
верна и для
ln
k
q
k
1
k
.
0 ln
при
K
k K
1
k
сходится при
q
1kk
q
. сходится при
k
q q
, но такая
0
2
.
, то
. (1.7)
, поэтому,
зависящее от него
значение
, получаем, что
k K
справедливо неравенство (1.7),
а значит, в силу теоремы сравнения 1.6 сходится и ряд
k
Так как
в силу теоремы сравнения при
исходный ряд расходится.
.
1
k
18
, 1
1
1
k
0
q
a
k
b q
1
q
1
1 1
a b
, 1
b q q
расходится
a
q
k
1
1
k
0
a
1
q
1
q
1
q
1.2.4. Признаки Даламбера и Коши
Эти признаки сходимости основаны на сравнении рассматриваемого
ряда с рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии,
а именно со сходящимся рядом
Теорема 1.11 (признак Даламбера). Если
a
11k
неравенство
Пусть
a
k
k
(
b
k
Из условия теоремы получим
a b
1 1
k k
Так как ряд
a b
k k
k
1 1
k k
на основании 3-го признака сравнения получаем, что неравенства (1.8)
гарантируют сходимость (расходимость) ряда
З а ме ч ан и е. Неравенство
a
11k
. Например, ряд
a
k
11k
Теорема 1.12 (признак Даламбера в предельной форме). Пусть
k
q q
1
k
a
11k
a
). Тогда
q
, то ряд
k
b
11k
b
k
k
, сходится
a
11k
a
k
расходится, хотя
или расходящимся рядом
a
и справедливо
k
сходится (расходится).
1kk
b
11k
a b
k k
1
k k
b
.
k
. (1.8)
b
1 1
k k
1
k
.
1kk
нельзя заменить неравенством
a
a k
k
1
k
k
.
.
k
,
Тогда ряд
1kk
может как сходиться, так и расходиться.
a
k
сходится при
a
1
k
и
lim
k
q
a
k
и расходится при
.
. При
ряд
19
1
q
0
1 2
q
1
q
0 0
k k k
a
1
q
0
1
q
1
q
0 0
k k k
1
k
aqa
a
2
k
k
1
q
k
0
lim 1
L
a
lim 1
L
a
2
2 !
!kk
k
2 1 !!
5 !
k
4
5 ! 2
5 1 ! 2 1 !! 5 1 5
Если
, то
и
. По определению
предела последовательности для указанного
a
11k
значит, ряд
Если
сходится (по признаку Даламбера).
1kk
, то
a
k
и
q
,
. По определению предела
последовательности для указанного
значит, ряд
1kk
Ряд
сходится, а гармонический ряд
11k
каждого из них
1
расходится (по признаку Даламбера).
.
k
,
расходится, хотя для
11k
Теорема 1.13 (обобщенный признак Даламбера). Пусть
Тогда, если:
сходится;
1kk
расходится.
1kk
1)
2)
a
1
k
k
a
k
a
1
k
k
a
k
, то ряд
, то ряд
П р им е р 1.15. Исследуем на сходимость ряды
1)
1
, 2)
k
k
.
k
1
Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме.
Первый ряд расходится, так как
2 1 !
k
a
1
k
a k
k
1 !
k
2
! 2 1 2 2
k k k
2 2
2 !
1
k
k
Второй ряд сходится, так как
2 1 1 !!
k
a
1
k
a k k k
k
1
k
k
k
2 3
k
k
.
.
.
a
k
20
k
0
1
a q
1
a
k
b q
1
1
a q
k k
a b
теорема сравнения
a
1
k k
a b
теорема сравнения
a
1
a q
1
k
1
1
k
k
0
a q
a
1
q
1
q
1
q
1kk
a
a
k
a
k
0
a
1
q
1
q
2
k
k
cos exp ln cos exp cos 1 1
Теорема 1.14 (радикальный признак Коши). Если
a
и спра-
k
ведливо неравенство
то ряд
Если положить
1.
2.
сходится (расходится).
1kk
k
k
k
k
a
k
З а ме ч ан и е. Неравенство
k
a
. Например, ряд
k
k
k
b
k
k
расходится, хотя
11k
k
a
, (1.9)
k
, то из неравенств (1.9) получим:
сходимость ряда
расходимость ряда
k
нельзя заменить неравенством
k
a
k
k
.
1kk
.
1kk
.
Теорема 1.15 (радикальный признак Коши в предельной форме).
1kk
сходится
Если
при
и существует предел
a
k
и расходится при
. При
k
lim
k
k
, то ряд
ряд может как сходиться, так
и расходиться.
Доказательство совпадает с доказательством признака Даламбера
в предельной форме, если в рассуждениях заменить
Теорема 1.16 (обобщенный радикальный признак Коши). Если
k
lim
k
a q
k
, то ряд
при
a
и
k
.
П р им е р 1.16. Исследуем на сходимость ряд
сходится при
1kk
k
1
Ряд сходится в силу предельного признака Коши, так как при
k
1 1 1
k
a k k e
k
k k k
cos
k
на
и расходится
1
.
k
.
1/2
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]