Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
21
1 1
k k
a a
a a
1 3
lim lim lim 1
2 1 3
1 3 2 1
2 1 3 4
1
2
З а ме ч ан и е 1. Признаки Коши и Даламбера
– применимы только для рядов с неотрицательными членами;
– являются достаточными и не являются необходимыми.
З а ме ч ан и е 2. Так как для частичных пределов последовательности
с положительными членами справедливо неравенство
k k
lim lim lim lim
k k
k k
a a
k k
k k
,
признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера, т. е. всякий раз, когда действует признак Даламбера, действует и признак Коши.
При этом существуют ряды, для которых действует признак Коши и не
действует признак Даламбера.
k
Например, для ряда
k n n
lim lim lim
k
a
1
k
a a
k
a a
1 2 1
k n
a a
k n
1
k
a
2 1 1
n n
2
n
2 1
n
2
k
имеем
1 3 2
2
2 1
n
2 1
n
n
2
,
n
,
следовательно, признак Даламбера не дает информации ни о сходимости,
ни о расходимости данного ряда, тогда как признак Коши доказывает
сходимость ряда, поскольку
k n
lim lim
a a
k n
k n
2
.
2
1.2.5. *Построение новых признаков сходимости
Малая чувствительность признака сходимости Даламбера объясняется
тем, что он основан на сравнении исследуемого ряда с таким резко расходящимся рядом, как арифметическая прогрессия, или же с таким быстро
сходящимся рядом, как геометрическая прогрессия. Поэтому естественно
попытаться построить признаки сходимости рядов, основанные на сравнении их членов с членами рядов, сходящихся или расходящихся медленнее, чем указанные ранее (доказательство существования таких рядов
приведено выше).
22
k
c
k
a
k
0
0
k
K
1
k k k
K c c
a
k
0
k
0
k
k
0
1
ka
1 1 1
0
k k k k k
k k
c a
1 1
c a c a
1 1 1 1
n n
c a c a
a
a
k
0
1 1
1/
k k
k k
a c
a c
k
c
a
K K
0K
a
0K
Теорема 1.17 (признак Куммера). Пусть даны расходящийся ряд
и последовательность
11k
через
величину
Тогда ряд
:
1kk
сходится, если
расходится, если
a
Пусть
венства на
K c c
k k k
, получим
k
a
k
c a c a a
Отсюда вытекает, что последовательность
следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена
снизу нулем).
Итак, ряд
членов
k
k k k k
1
имеет конечный предел. Но тогда из неравенства
(1.11) в силу теоремы сравнения следует, что сходится ряд
и исходный ряд
Пусть теперь
.
1kk
K c c
k k k
предположен расходящимся, то согласно теореме сравнения расхо-
11k
дится и ряд
.
1kk
Следствие (признак Куммера в предельной форме). Допустим, что
предел lim
k
k
. Тогда при
расходится.
K
1
, такие, что
a
k
a
1
k
k
.
K
1
;
. Умножив обе части этого нера-
,
a
k
. Обозначим
c
k
. (1.10)
. (1.11)
монотонно убывает и,
сходится, поскольку сумма его n первых
1kk
a
k
a
1
k
1
ряд
. Тогда
1kk
сходится, а при
1/
. Так как ряд
, а с ним
–
23
k
c
1
1 1
1
k
aDa
D D
lim 1
D
1D
0K
1D
0K
c k
1 1
1
R R
lim 1
K R
1R
0K
1R
0K
lnkc k k
k
c
k
K
ln 1 ln 1
1 1
ln 1 1 ln 1 ln 1 ,
ln 1 1 ln 1
B B
lim 1
K B
1B
0K
1B
0K
Признак Куммера можно рассматривать как общую схему для получения конкретных признаков. Выбирая различным образом расходящийся
ряд
монстрируем такой способ построения признаков на следующих примерах.
Признак Даламбера. Положив в формуле (1.10)
Если lim
Куммера ряд расходится; если же
Признак Раабе. Положив в формуле (1.10)
Если lim
Куммера ряд расходится; если же
Признак Бертрана. Положим в формуле (1.10)
ряда
Выражение для
Если lim
Куммера ряд расходится; если же
, мы будем получать различные признаки сходимости. Проде-
11k
, получим
c
k
a
K
, то
k
k
K k k R
k k
, то
k
k
k
k
a D
k k
K
k
a
k
a
1
k
k
1
k
k
1
1
. При
. При
,
, то
, то
,
k
R k
k
имеем
k
.
имеем
и ряд сходится.
, получим
k
a
k
a
1
k
и ряд сходится.
и по признаку
.
и по признаку
. Расходимость
вытекает из интегрального признака Коши – Маклорена.
11k
в этом случае примет вид
a
K k k k k
k
a
k k B
k
k
k
a k k
1
k
B k k k R
k k
, то
k
k
a
1
k
1 1
a
k
a
1
k
k
. При
, то
k k
k
.
имеем
и ряд сходится.
и по признаку
24
1
k
a
a
21k k
a k k
k
1
1, 1
a
1
1, 1
1
1
1
1
k
k
R
1
1
1
1
k k
k
k
lim 0
k
lim 0
k
a
1r
1r
1 1 1
k k k
Докажем теперь несколько признаков, основанных на тех, что построены ранее.
Более чувствительным, чем признак Раабе, и более практичным, чем
признак Бертрана, является признак Гаусса.
Признак Гаусса. Допустим, что соотношение
, то
a
R
k
и
k
, где и – постоянные, а
или
, то он расходится.
приводят к признаку Даламбера, так как
lim
k
kD
и
, а значит, случаи
ставлено в виде
ченная величина. Тогда, если
если
или
Случаи
Если
.
может быть пред-
k
, то ряд
1kk
и
– ограни-
сходится;
пываются признаком Раабе.
, то
B
и
kB
k
, так как
ограничена и
k
Если
ln
k
,
. Следовательно, по признаку Бертрана ряд расходится.
ln
Логарифмический признак. Если существует конечный или бесконеч-
ный предел
a
то ряд
сходится, если
1kk
lim ln ,
k
k
k r r
a
1
k
, и расходится, если
,
.
Доказательство основано на использовании неравенств
исчер-
k
ln 1
1
. (1.12)
25
1r
1
r
a k
1
a k
1
1
k
1
p
k
1
a
1r
0 0
k k k
ln 1
1 1
1
1
k
a k
1
1
1
k
k
2 1 !!
2 !!
1
2 2 1
1 1 1
2 1 2 1 2
1. Пусть
,
– фиксировано. По определению предела
последовательности
a
k
k k k k
0 0
ln
a
или
1
k
ln
a
k
1
k
Учитывая (1.12), из (1.13) получаем
a
k
a
k
ln ln 1
1
k
k
a k
k
Так как обобщенный гармонический ряд
1
a
1
k
a
k
.
сходится при
1
k
по третьему признаку сравнения сходится и исходный ряд
2. Если
, то по определению предела последовательности
a
k
k
a
.
1
k
Учитывая (1.12), получаем
a
k
ln ln 1
a k k
1
k
a
k
1
k
a
. (1.13)
1
k
1
.
1kk
1
k
a
k
.
,
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.
П р им е р 1.17. Исследуем сходимость ряда
a
2 1
k
1
k
Так как
2 2
a k
k
признак Даламбера неприменим для реше-
k
ния вопроса о сходимости данного ряда. Воспользуемся в данном случае
признаком Раабе:
a
R k k
k
k
a k k
1
k
следовательно, ряд расходится.
k k
k
k
.
k
1
k
,
26
k
0
1
1
2
1 / 1
a k k k k k k
k
1
1
1
2 !! 2 1
k k
2 2 !! 2 3 2 1 !! 2 2 2 3
4 10 6 3
lim ln lim 1 lim 1 1
4 4 1 2
a
2
k
a
2
k
a
П р и м ер 1.18. Исследуем сходимость ряда
Так как
1
k
a
k
a k
1
k
1 2
1
1
решения вопроса о сходимости данного ряда, признак Раабе не решает
вопрос при
a
k
1
k
. Воспользуемся признаком Гаусса:
k k
1 1 1
1 1 1
Таким образом, ряд сходится при
П р и м ер 1.19. Исследуем сходимость ряда
Для доказательства сходимости ряда воспользуемся логарифмическим признаком:
a
a k k k
k
k k k
k k k
a a k k
k k k k k
k
2 1 !! 2 !! 2 1
1
a a
k k
1 1
k k
1.2.6. Отсутствие универсального ряда сравнения
Признаки Коши и Раабе сильнее признака Даламбера. Признак Бертрана сильнее признака Раабе. Эта цепь все более и более чувствительных
(но и более сложных) признаков может быть неограничено продолжена.
Возникает вопрос: существует ли сходящийся (или расходящийся) ряд,
сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или
расходимости) любого заданного знакопостоянного ряда? Ответ на этот
вопрос «нет», так как для произвольного сходящегося (расходящегося)
знакопостоянного ряда
1kk
ряд
k
(мажорируемый им расходящийся ряд
1
!
k
k
, признак Даламбера неприменим для
k
,
.
O
и расходится при
2 1 !!
k
1
k
2 1
k
2
k k
2
при
2
.
.
.
,
.
существует мажорирующий его сходящийся
).
1
k
27
a
a
lim 0
lim 0
n
r
n
r
и
n n
S S
a
k k k
a r r
n k
r a
a
n n n n n n
r r r r r r
lim lim 0
a
1 1
n k
S a
a
n n n n
S S S S S S S
lim lim 0
Ряд
ряд
1kk
где
и
Теорема 1.18. Для каждого сходящегося (расходящегося) ряда существует ряд, сходящийся (расходящийся) медленнее этого ряда.
1. Пусть
сходится медленнее, чем ряд
называется сходящимся (расходящимся) медленнее, чем
1kk
, если
r
n
n
соответственно их n-е остатки (частичные суммы).
r
n
S
n
n
S
,
n
– сходящийся ряд, Тогда ряд
1kk
1 1
k k
1
,
(1.14)
1
k n
, так как
1kk
а значит,
2. Пусть
n n
r
n
r
n
r
1 1 2
.
n
– расходящийся ряд, Тогда ряд
1kk
a a S S
k k k
1 2
k k
расходится медленнее, чем ряд
1kk
а значит,
1 2 1 1
S
n
n n
S
n
1
.
S
n
, так как
...
...
,
,
n
(1.15)
1
k
,
28
a
a
A
k n
A a
1 ... ...
k
A
n
S
a
n
S
A
1 2 1 1
S A a a a a a a S
n
S
n
S
n
S
1
S S
a
A
1
S S
n
S
A
a
1.3. РЯДЫ ОБЩЕГО ВИДА
В этой главе мы откажемся от введенного ранее условия знакопостоянности ряда и будем рассматривать как знакопостоянные, так и знакопеременные ряды.
1.3.1. Группировка членов ряда
Пусть дан ряд
вместо ряда
т. е.
для каждого k есть сумма k-й группы (скобки) членов ряда.
Теорема 1.19. В сходящемся ряде допустима произвольная расстановка
скобок. Полученный ряд будет сходиться к сумме исходного ряда.
Пусть
ряда
т. е.
. Для конечных сумм раскрытие скобок законно, поэтому
1kk
n
n k k k k N N
1 1
k k k N k N
– подпоследовательность последовательности
Если последовательность
ность, в том числе и
димость ряда
рядов равны.
З а ме ч ан и е. Сходимость подпоследовательности
говоря, не влечет сходимости последовательности
мости ряда
. Сгруппировать члены этого ряда – это значит
1kk
рассмотреть ряд
1kk
1
N
k
n N
1
k
1kk
,
N N N
– частичные суммы ряда
1 1
N N
1 2
N
n
0 1
1
, где
1kk
k
и
... ...
1 1
n
сходится, то любая ее подпоследователь-
n N
влечет сходимость ряда
1kk
, сходится к тому же пределу. Значит, схо-
n
, причем суммы обоих
1kk
в общем случае не следует сходимость ряда
1kk
,
– частичные суммы
n n
,
.
n N
, вообще
n
, поэтому из сходи-
.
1kk
29
k
a
lim 0
0
0
1
a
1
S a
0
0
1 2 3 4 5 2
k n
a a a a a a a
k n n
a a a a a a a
0
2 1
1
a
S S
S S a S a S S
S S
1
r a
10n n
r a
1.3.2. Ряды лейбницевского типа
Ряд
1)
2)
k
ka
1
1
k
1
k
k a a
k k
называется рядом лейбницевского типа, если:
;
(или
1
k a a
k k
).
1
Теорема 1.20 (признак Лейбница). Ряд лейбницевского типа сходится,
причем его сумма S не превышает
Рассмотрим случай
k a a
k k
0
, т. е.
. Частичные суммы четного по-
1
(или
a S
1
).
рядка для данного ряда можно записать в виде
2
n
k
1
1
k
1 ...
(1.16)
или
2
n
k
1
С учетом условия
последовательность частичных сумм возрастает, т. е.
следует ее ограниченность сверху числом
тельность сходится. Пусть
lim lim lim lim 0
n n n n
Таким образом,
1
k
1 ...
1 2 3 4 2 1 2
a a
k k
из (1.17) следует, что рассматриваемая
1
. Значит, данная последова-
lim
n
2 1 2 2 1 2 2 1
n n n n n
lim
n
, т. е. ряд лейбницевского типа сходится.
n
2
n
. Тогда
S S
2
n
. (1.17)
, а из (1.16)
n
.
Следствие. Для остатка ряда лейбницевского типа справедливы неравенства
n n
и
r a
,
10n n
т. е. остаток ряда не превосходит по абсолютной величине значения первого отбрасываемого слагаемого и совпадает с ним по знаку.
Остаток ряда лейбницевского типа также является рядом лейбницевского типа, поэтому:
1) если
2) если
, то
10na
a r
, то
10na
10n n
,
.
30
a
a
a
a
a
n n n p n n n p
a a a a a a
a
k
a
a
a
a
1.3.3. Абсолютная и условная сходимость
Ряд
Если ряд
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
1kk
сходится, а ряд
1kk
расходится, то ряд
1kk
1kk
условно сходящимся.
З а ме ч ан и е 1. Из определения видно, что если знакопостоянный ряд
сходится, то он сходится абсолютно, поэтому понятия «абсолютно сходящийся ряд» и «условно сходящийся ряд» имеют смысл только для знакочередующихся рядов.
З а ме ч ан и е 2 . Согласно определению, если знакопеременный ряд
сходится, то он сходится либо абсолютно, либо условно.
З а ме ч ан и е 3. Для исследования абсолютной сходимости ряда могут
быть применены все признаки сходимости рядов с неотрицательными
членами.
Теорема 1.21. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Утверждение теоремы следует из критерия Коши и неравенства
Ряд
становки
1 2 1 2
называется безусловно сходящимся, если для любой пере-
1kk
натурального ряда ( есть биекция на ) ряд
... ...
.
сходится. В дальнейшем будет показано, что понятия абсолютной и безусловной сходимости ряда эквивалентны.
Теорема 1.22. Если ряд
сходится абсолютно, то он сходится без-
1kk
условно, причем его сумма при перестановке членов не меняется.
*Пусть ряд
(1.18)
1kk
сходится абсолютно и сумма этого ряда равна S, а ряд
(1.19)
1kk
получен из ряда (1.18) с помощью перестановки .
1kk
называется
1kk
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]