Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория рядов. Учебное пособие-1
.pdf
71
u x
S x
S x
S x u x u x
lim
x x
0,1
1x
1x
1 1 1
0,1
1x
r x
n
x
1x
u x
,
a b
,
a b
S x
,
a b
,
a b
II. Предельный переход
Теорема 4.5. Пусть a – произвольная предельная точка множества A.
Если ФР
у всех членов этого ряда существует в точке a конечное предельное зна-
чение, то сумма ряда
т.е. символ
местами (или, как говорят, к пределу можно переходить почленно).
III. Непрерывность суммы ряда
Сумма конечного числа непрерывных функций непрерывна. Для беско-
нечного количества слагаемых это утверждение не всегда выполняется.
П р им е р 4.9. Рассмотрим ряд
члены ряда, а с ними и сумма ряда обращаются в 0; при
прогрессию, получаем
Хотя члены ряда непрерывны на сегменте
так как остаток ряда
мерно (см. пример 3.2).
Теорема 4.6. Если все члены ФР
сходится равномерно на
непрерывна на
сходится равномерно на множестве A к сумме
1kk
и
имеет в точке a предельное значение, причем
lim lim lim
x a x a x a
k k
1 1
k k
,
предела и символ суммирования можно переставлять
1
n
n
1
1
,
x
. При
все
, суммируя
1
n n
x x x x
1 0
n n
.
, но сумма ряда в точке
терпит разрыв! Отметим, что сходимость ряда здесь неравномерна,
n
, равный
к своей сумме
(для
1kk
), стремится к 0 неравно-
непрерывны на
, то эта сумма будет
и ряд
.
З а ме ч ан и е 1 . В теореме 4.6 вместо сегмента
вал, полуинтервал, луч или всю вещественную прямую.
можно взять интер-
72
ln
x
k
k
S x
ln
x
k
k
1x
k
k
S x
S x
1x
1
1
ln
q
k
k
1
2
ln
x
k
k
S x
0
x
S x
1
З а ме ч ан и е 2. Теорема 4.6 может быть использована для доказатель-
ства неравномерности сходимости. Если рассматривается сходящийся ФР,
члены которого непрерывны на множестве A, но сумма ряда является разрывной, то ФР сходится неравномерно на множестве A.
З а ме ч ан и е 3 . Требование равномерной сходимости в тексте теоремы не может быть опущено, доказательством этому может служить предыдущий пример. Однако равномерная сходимость фигурирует в теореме
лишь как достаточное условие непрерывности предельной функции.
П р им е р 4.10. Покажем, что на множестве
неравномерно, и при этом его
непрерывна.
Ранее (см. пример 1.14) было показано, что ряд
. Так как члены ряда суть непрерывные функции, то в силу следствия
из теоремы 4.2 и с учетом расходимости ряда
ходный ряд сходится на
неравномерно. Таким образом, на осно-
1,
вании теоремы 4.6 сделать вывод о непрерывности суммы ряда нельзя.
Докажем непрерывность другим способом. Обозначим через
ряд
1,
1
k
сходится
сходится при
1
k
получаем, что ис-
1lnk
сумму ряда. Функция
рывна в каждой точке
Пусть
x
. Рассмотрим ряд
0
непрерывна на луче
x
.
0
1
k
, где
1
q
ряд сходится и мажорирует исходный ряд на луче
согласно признаку Вейерштрасса сходится равномерно на луче
1
k
,q
, и с учетом непрерывности членов ряда получаем непрерывность
функции
В силу произвольности выбора точки
непрерывна в каждой точке
на луче
, а значит, и в точке
,q
x
.
0
мы доказали, что
, если она непре-
x
0
. Этот числовой
,q
. Поэтому ряд
.
,x q
0
73
,
a b
,
a b
,
a b
2 2
k x
[ 1,1]
x
lim lim 0
S x
1
u x u e
[ 1,1]
[ 1,1]
S x
[ 1,1]
S x
[ 1,1]
S x
[ 1,1]
2 2
k x
[ 1,1]
S x
[ 1,1]
Теорема 4.7 (признак Дини для ФР). Если все члены ФР непрерывны
и неотрицательны на отрезке
и сумма этого ряда также непрерывна
на
, то указанный ряд сходится к своей сумме равномерно на
.
Неотрицательность членов ряда обеспечивает монотонность последовательности частичных сумм. Далее, применяя признак Дини для ФП
(теорема 3.6), получим требуемое утверждение.
З а ме ч ан и е. Теорема 4.7 может быть использована для доказательства
разрывности суммы ФР: если ФР, члены которого непрерывны и неотрицательны на замкнутом множестве A, сходится неравномерно, то его
сумма ФР является разрывной.
2 2
П р им е р 4.11. Покажем, что ряд
k
k x e
1
сходится на отрезке
, причем к разрывной на этом отрезке функции.
Поскольку
n
n x e n x e
n n
2 2 2
2 2
n x nx
ряд сходится в силу признака Коши и его сумма
2 2
n n
,
всюду определена
на . Так как
1
на отрезке
sup
n n
1,1
x
не выполнено необходимое условие равномерной схо-
n
,
димости ряда. Следовательно, рассматриваемый ряд сходится неравномерно на
и его сумма
не обязана быть непрерывной на
.
Покажем разрывность
сматриваемом ряде члены непрерывны и неотрицательны на
бы функция
была непрерывной на этом отрезке, то согласно при-
знаку Дини ряд сходился бы на
2 2
ряд
k
рывна на
k x e
1
сходится неравномерно на
.
на этом отрезке. Действительно, в рас-
; если
равномерно. Но было показано, что
, а значит,
раз-
74
u x
,
a b
u x
,
a b
u x dx
,
x a b
,
a b
u t dt u t dt
u x
3 2 1
2
k
x
1, 1
2
1
1x
, , 0 1
q q q
1,1
t dt t dt
2 1
2 1
x
1 3
3 2 1 2 1 6
IV. Почленное интегрирование
Теорема 4.8. Если ФР
а каждая из функций
где
0
, сходится равномерно на
т. е. ряд
1kk
можно интегрировать почленно.
интегрируема на
k
x x
1 1
k k
x x
0 0
сходится равномерно на
1kk
k k
и
,
, то ряд
k
,
x
,
k
1
x
0
П р им е р 4.12. Найдем сумму
Рассмотрим ряд
k
0
а его сумма равна
0
k
k
. Этот ряд сходится на интервале
1
. На отрезке
1
k
k
k
[4].
, ряд сходится рав-
номерно, а его члены – непрерывные функции. Интегрируя этот ряд почленно от 0 до x, где
x x x
dt
1
t
0 0 0
x
2
, получаем
k k
arctg
k
2 2
0 0
x
0
k
k
k
1
k
k
1
k
.
,
Таким образом,
2 1
k
1
k
1
k
0 0
k k
k
1
k k
3
3 3 arctg
3
.
,
u x
,
a b
u x
,
x a b
u x
,
a b
u x
,
a b
,
a b
u x u x
1
2
k
k
1,1
x
k
11k
x
,
q q
0 1
q
1
1
1, 1
1
x
f t dt f x f x x
ln 1 , 1,1
V. Почленное дифференцирование
Теорема 4.9. Если функции
сходится хотя бы в одной точке
1kk
равномерно на
, то ряд
сумма имеет производную на
1kk
имеют производные на
k
0
сходится равномерно на
, а ряд
, причем
, ряд
сходится
1kk
, его
1 1
k k
k k
.
(т. е. ряд можно почленно дифференцировать).
П р им е р 4.13. Найдем сумму ряда
k
Рассмотрим на множестве
f x
Члены ряда (4.8) – непрерывные функции. Ряд
.
1
ряд
. (4.8)
1kk
, составленный
k
из производных членов ряда (4.8), сходится равномерно на
, а его сумма равна
f xx
,
x
. Дифференцируя по-
членно ряд (4.8), получаем
1
k
1
k
dt
1
t
,
1
.
, а значит,
x x
0 0
Следовательно,
f x x
k
x
k
1
k
0 ln 1 ln 1
x x
,
n
a
n
a
0,1, 2,...
n
0x
n
a
0x
n
a x
n
a x
x x
x x
n
a x
n
a x
1
xCx
n
a x
n
a x
Глава 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Пусть
– последовательность действительных чисел,
x
. Сте-
0
пенным рядом (СР) называется функциональный ряд
Числа
a x x x
n
0
n
,
, называются коэффициентами степенного ряда.
n
,
0
. (5.1)
Поскольку исследование сходимости ряда (5.1) эквивалентно исследованию сходимости ряда
n
0
n
,
a x x
n
, (5.2)
в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (5.2).
Отметим, что частичные суммы СР являются многочленами.
5.1. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННОГО РЯДА
Любой степенной ряд (5.2) при
Лемма 5.1 (Абеля). Пусть
ограничена. Тогда ряд
n
n
0
Возьмем любое x, для которого
сходится абсолютно.
,
таковы, что последовательность
сходится абсолютно для
n
, и составим ряд
n
.
n
0
.
,
Так как
x
x
дится
n
0
n
n
x x
x x
n n
a x a x C C
n n
, то геометрический ряд
и, следовательно, ряд
n n
n n
n
0
n
76
.
сходится, а значит, схо-
0nn
сходится абсолютно.
n
0
: 1/
r
0r
0x
r
0r
x
x r
x
x r
0r
a
k
0x
1
x
1
x
0 0
x k k k
1
0
n
r
lim 0
0
lim 0
lim 0
12x
1
2
x
Теорема 5.1 (теорема Коши – Адамара). Положим
Тогда:
а) при
б) при
в) при
ходится для
ряд (5.2) расходится
ряд (5.2) сходится абсолютно;
n
: lim
na
,
;
;
ряд (5.2) сходится абсолютно для
.
. (5.3)
и рас-
*а)
lim
na
n
n
.
Следовательно, существует подпоследовательность
n
k
a
n
k
при
, т. е.
0
k k k k a
0 0 0
n
k
Пусть x – фиксировано. Поскольку по условию
n
но утверждать, что
n
поэтому
сходимости.
a x
n
б)
Так как
a
n
k k k a
0 0
0
при
n
n
na
, из равенства
0
Пусть x – фиксированно, тогда для
k
n
1
x
. Следовательно,
k
a x
n
k
, т. е. не выполняется необходимое условие
.
n
na
n n n n a
0 0 0
следует, что
n
n
можно утверждать, что
, для которой
n
k
.
n
k
, для
n
k
,
n
na
.
n
мож-
, т. е.
n
n n n a
0 0
n
n
77
.
1
2
n
1
2
n
n
a x
0r
x r
1
x
a
1k
1
0
n
x r
1
x
1
x
0 0
n n n
n n
1
n
a x
n
a x
r
x r
x r
r
,
r r
Следовательно,
0
x n x n n a x
0 0
n
n
.
Из признаков сравнения, учитывая сходимость геометрического ряда
, получаем абсолютную сходимость ряда
0
n
в)
Пусть
ность
n
k
, что
Таким образом,
Пусть теперь
Поскольку
0 lim
, т. е.
n
a x
n
, то
, т. е.
n
n
na
. Тогда существует такая подпоследователь-
n
k
a a x
n n
k k
,
.
n
a a x
n n
Отсюда, как и выше (учитывая, что
мость ряда
n
.
n
0
Следствие 1. Для каждого СР
такое что при
ряд сходится абсолютно, а при
.
1
x
. Рассмотрим такое, что
x
n
0
n
n
n
k
), получаем абсолютную сходи-
существует некоторое
Такое r называют радиусом сходимости СР. Если
называют интервалом сходимости СР.
.
n
0
.
x
.
– расходится.
, то интервал
.
,
Следствие 2. Так как согласно теореме множество сходимости СР
может отличаться от интервала сходимости СР лишь в граничных точках
последнего, то для нахождения промежутка сходимости СР достаточно
найти радиус сходимости СР и выяснить, сходится ли СР на границах
интервала сходимости.
78
n
a x
1
n
ara
n
a x
x
a r
n
a x
1
r
1
r
n
a x x
0
x
n
a
0
x
2
r
x r x r
k
x
1 1,5 5
1 2 / 1
1 1/ 5
З а ме ч ан и е 1 . Радиус сходимости СР
как по формуле (5.3), так и по следующей формуле:
n
n
0
может быть вычислен
По признаку Даламбера для ряда
a x
Таким образом, ряд
x
, и расходится при
lim lim
n n
0
n
x
З а ме ч ан и е 2. Для степенных рядов общего вида
сходимости не зависит от
lim
.
n
n
0
n
n
получим
n
1
.
n
1
n
1
n
n
a x
n
сходится абсолютно для всех x таких, что
n
a x
.
n
0
0
n
, его значение определяют коэффициенты
радиус
Интервалом сходимости СР общего вида будет интервал, симметричный
относительно
, длиной
:
,
0 0
.
П р им е р 5.1. Вычислим радиус и множество сходимости ряда
Ряд сходится на интервале
5 3
1
k
k
k
k
. (5.4)
1
, так как
.
a
n
lim lim
r
n n
a n
1
n
1 3 / 5
lim
n
5(1 3 3 /5 )
Для нахождения множества сходимости исследуем поведение ряда
на границах интервала сходимости.
n
5 3
n
79
n
1
n
n
1
n
5 3
n
n
2
1
n
.
1
5
1 3 / 5
k
1
1 1
k k
1
1kk
1
5
1 3 / 5
k k
1
1
k
3 / 5
1
k
1 1,5 5
1
k
1
n
a
a
n
lim lim 0
lim lim lim 3
При
который расходится, так как
При
получим числовой ряд
x
получим числовой ряд
x
1
k
1 3 / 5
1
k
1
k
k
и ряд
1
k
,
1
расходится.
,
который сходится, так как его можно представить в виде суммы сходя-
щихся рядов: ряда лейбницевского типа
признака Абеля ряда
k
1
.
k
k
Таким образом, СР (5.4) сходится на множестве
1
и сходящегося в силу
k
.
П р и м ер 5.2. Вычислим радиус и множество сходимости ряда
k
k
x
k
. (5.5)
2 1
k
1
Предел отношения
n
a k
2
k k
k
lim lim
k k
a k
2 1
k
a
2 1
k
a k
2
k
Поэтому радиус сходимости вычислим по теореме Коши –Адамара:
1 3
r n n
n
a
n
n n n
при
n
2
k
3 2 1
2 1 3
2 1
80
не существует, так как:
,
2
2
k
n
n
.
2
k
n
n
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]