Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
Министерство образования и науки России
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Казанский национальный исследовательский
технологический университет»
Г. А. Гадельшина, Ю. В. Хайрутдинова
ТЕОРИЯ РИСКА
Лабораторный практикум
Казань
Издательство КНИТУ
2016
2
УДК 519.83 (075)
ББК 22.193я7
Гадельшина Г. А.
Теория риска : лабораторный практикум / Г. А. Гадельшина,
Ю. В. Хайрутдинова; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед.
технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2016. 88 с.
ISBN 978-5-7882-1968-4
Изложены основные положения и сведения из теории игр,
подробно рассмотрены методы решения матричных игр в чистых и
смешанных стратегиях, а также графические методы решения
матричных игр, методы принятия решения в условиях риска,
неопределенности, частичной определенности, методы выбора
оптимальных стратегий поведения с помощью дерева решений и с
применением функции полезности. Все представленные методы
сопровождаются примерами.
Предназначено для студентов института управления
инновациями дневной и заочной форм обучения, изучающих
дисциплину «Теория риска и моделирование рисковых ситуаций».
Подготовлено на кафедре бизнес-статистики и математических
методов в экономике.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Казанского национального исследовательского технологического
университета
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики
и информатики КНИТУ им. А. Н. Туполева
Л. Е. Нестерова
канд. физ.-мат наук, доц. каф. правовой
информатики, информационного права и ЕНД
Российской академии правосудия
(Казанский филиал) Л. Р. Галяутдинова
ISBN 978-5-7882-1968-4 © Гадельшина Г. А., Хайрутдинова Ю. В., 2016
© Казанский национальный исследовательский
технологический университет, 2016
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................ 4
Лабораторная работа 1. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР
В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ.................................................................... 5
Лабораторная работа 2. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР
В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ ...................................................... 13
Лабораторная работа 3. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР 2ХN (MX2). .................................... 19
Лабораторная работа 4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР M×N ... 26
Лабораторная работа 5. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ ......................... 35
Лабораторная работа 6. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ....................... 46
Лабораторная работа 7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ РИСКА .......................................................................... 53
Лабораторная работа 8. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ ................................................ 60
Лабораторная работа 9. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
НЕЙМАНА‒МОРГЕНШТЕРНА ......................................................... 67
Лабораторная работа 10. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ
ПОЛЕЗНОСТИ ....................................................................................... 74
Лабораторная работа 11. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ................. 79
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................ 88
4
ВВЕДЕНИЕ
Большинство управленческих решений принимается в условиях
риска, что обусловлено рядом факторов: отсутствием полной
информации, наличием противоборствующих тенденций, элементами
случайности и многим другим.
Успех в бизнесе решающим образом зависит от правильности и
обоснованности выбранной стратегии хозяйственной и
предпринимательской деятельности. Для выживания в условиях
рыночной экономики предприниматель должен постоянно решаться на
внедрение технических новшеств и на смелые, нетривиальные
действия, что усиливает риск финансовых и иных потерь. Знание о
риске, о методах его оценки, избегания, снижения до оптимального
уровня является важным для любого бизнеса.
Авторы надеются, что данный практикум поможет
сформировать компетенции обучающихся в области использования
математических методов при принятии решений в условиях
неопределенности и риска, характерных для рыночной экономики, а
также овладеть необходимыми теоретическими навыками с
последующим применением их в экономике и бизнесе.
В качестве математических средств принятия решений в
условиях неопределенности и риска в представленной работе
используются: теория стратегических игр, математическая статистика,
теория статистических решений, теория полезности
Неймана‒Моргенштерна.
Теоретические сведения, содержащиеся в практикуме,
иллюстрируются конкретными примерами, облегчающими восприятие
материала и способствующими более продуктивной работе на
практических занятиях.
5
Лабораторная работа 1
mi ,1
nj ,1
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ
Цель работы: изучить способы построения матрицы игры,
освоить поиск решения матричных игр в чистых стратегиях.
Общие сведения из теории игр
Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций,
т.е. таких ситуаций, в которых сталкиваются интересы двух или более
сторон, преследующих различные цели.
Игра – упрощенная формализованная модель реальной
конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что
выработаны определенные правила действия сторон в процессе
игры:
‒ варианты действия сторон;
‒ исход игры при данном варианте действия;
‒ объем информации каждой стороны о поведении всех других
сторон.
Игра называется парной, если в ней участвуют только две
стороны (два игрока).
Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма
платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен
выигрышу второго.
Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие
случаи в теории игр не рассматриваются.
Игрок – одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока –
его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры.
Существуют игровые системы управления, если процесс управления в
них рассматривается как игра.
Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры)
включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1
имеет m стратегий Аi, а игрок 2 ‒ n стратегий Вj (
Игра может быть названа игрой mхn. Представим матрицу
эффективности игры двух лиц с нулевой суммой:
,
).
6
n
mmnmmm
n
n
n
aaaA
aaaA
aaaA
BBB
11
21
2222212
1112111
21
...
...............
...
...
...
mia
i
,1,
njj,1,
ij
nj
mi
i
mi
a
,1
,1,1
minmaxmax
ij
mi
nj
j
nj
a
,1
,1,1
maxminmin
В данной матрице элементы аij - значения выигрышей игрока 1.
Но они могут означать и математическое ожидание выигрыша
(среднее значение), если выигрыш является случайной величиной.
Выигрыш одного игрока осуществляется за счет проигрыша другого.
Поэтому при анализе игры можно рассматривать выигрыши только
одного из игроков. Величины
и
‒
соответственно минимальные значения элементов по строкам и
максимальные - по столбцам.
Решением игры называется нахождение оптимальных стратегий
обоих игроков и определение цены игры: ожидаемого выигрыша или
проигрыша игроков. Стратегия игрока является оптимальной, если
применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший
гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.
Решение игры может быть найдено либо в чистых стратегиях,
когда игрок должен следовать одной единственной стратегии, либо в
смешанных, когда игрок должен с определенными вероятностями
применять две чистые стратегии или более. Последние в этом случае
называются активными.
Вектор, каждая из компонент которого показывает частоту
использования игроком соответствующей чистой стратегии,
называется смешанной стратегией одного игрока.
Число
называется нижней ценой игры или макcимином, а соответствующая
ему стратегия (строка) ‒ макcиминной.
или минимакcом, а соответствующая ему стратегия игрока (столбец) –
Число
называется верхней ценой игры,
7
минимакcной. Нижняя цена игры всегда не превосходит верхней цены
Bj Ai
B1
B2
A1
-1
1
A2
1
-1
игры, т.е. α ≤ β. Основная теорема теории матричных игр: каждая
конечная игра имеет по крайней мере одно решение, возможно, в
области смешанных стратегий.
Игры с седловой точкой. Решение в чистых стратегиях
Игра, для которой α = β, называется игрой с седловой точкой.
Для игр с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе
максиминной и минимаксной стратегий, которые являются
оптимальными.
Общее значение нижней и верхней цены игры α = β = ν
называется чистой ценой игры.
Пример 1. Игра «Поиск»
Задание: для приведенной задачи построить матрицу игры.
Имеется два игрока А и В; игрок А прячется, а В – его ищет. В
распоряжении А имеются два убежища (I и II), любое из которых он
может выбрать по своему усмотрению. Условия игры таковы: если В
найдет А в том убежище, где А спрятался, то А платит ему штраф 1
руб; если В не найдет А (т.е. будет искать в другом убежище), то он
сам должен заплатить А такой же штраф. Требуется построить
платежную матрицу.
Решение. Игра состоит всего из двух ходов, оба – личные. У А
две стратегии: А1 – прятаться в убежище I, А2 – прятаться в убежище II.
У противника (В) тоже две стратегии: В1 – искать в убежище I, В2 –
искать в убежище II.
Перед нами – игра 22. Ее матрица имеет вид
Рассмотрим стратегию А1В1.
Игрок А спрятался в убежище I, а игрок В искал в убежище I и
нашел, следовательно, игрок А заплатит штраф 1 рубль, поэтому
заносим в матрицу -1 и т.д.
8
Пример 2. Игра «Три пальца»
Bj Ai
B1
B2
B3
A1 2 -3 4 A2
-3 4 -5
A3 4 -5
6
877
956
748
ij
nj
i
a
,1
min
Задание: для приведенной задачи построить платежную матрицу
игры.
Игроки А и В одновременно независимо друг от друга
показывают один, два или три пальца. Выигрыш или проигрыш
решает общее число показанных пальцев. Выигрыш (в рублях) равен
этому числу; если оно четное – выигрывает А, а В ему платит; если
нечетное – наоборот.
Решение. У каждого игрока по три стратегии: показывать один,
два или три пальца. Матрица игры 3×3 имеет вид
Проанализируем ситуацию. Очевидно, на любую нашу
стратегию противник может ответить наихудшим для нас образом.
Например, если мы выберем А1, он ответит нам В2, и мы проиграем
3 рубля.
На стратегию А2 он нам ответит В3, и мы проиграем 5 руб.; на
стратегию А3 – В
, и мы снова проиграем 5 руб. Очевидно, некоторое
2
преимущество имеет стратегия А1 (при ней проигрыш минимален), но
и она для нас явно невыгодна, так как всегда ведет к проигрышу.
Пример 3
Задание: найти решение в чистых стратегиях игры, заданной
матрицей
А=
Решение: определим верхнюю и нижнюю цену игры. Для этого
найдем минимальное из а
. В i-ой строке
ij
и максимальное
9
из чисел аij в j-м столбце
ij
mi
j
a
,1
max
i
j
978
7877
5956
4748
j
i
i
7max,1
imi
j
7min
,1jnj
21121
21111
11110
21122
А
21122
121121
121111
011110
121122
j
i
. Числа
(минимумы строк)
выпишем рядом с платежной матрицей справа в виде добавочного
столбца. Числа
(максимумы столбцов) выпишем под матрицей А в
виде добавочной строки:
Находим максимальное из чисел и минимальное из чисел
и минимальное из чисел
:
. α = β –
:
игра имеет седловую точку. Оптимальной стратегией для игрока А
является стратегия А3, а для игрока В – стратегия В2, чистая цена игры
ν = 7.
Пример 4
Задание. Задана платежная матрица.
Найти решение игры в чистых стратегиях.
10
Решение. α=β=ν=1. Игра имеет шесть седловых точек.
Оптимальными стратегиями будут: А1 и В3 или В4; А3 и В3 или В4; А4 и
В3 или В4.
Задачи для самостоятельного решения
Задание. Для приведенных задач построить матрицу игры.
1. Игра в монеты. Первый из двух участников игры накрывает
рукой монету, которая может быть гербом кверху или решкой. Второй
участник отгадывает, какой стороной кверху находится эта монета.
Если второй отгадал, то первый платит второму сумму, равную
единице. Если второй не отгадал, то он платит первому сумму, равную
единице.
2. Игра Мора (с двумя пальцами). Два человека одновременно
показывают один или два пальца и называют цифру 1 или 2, которая,
по их мнению, означает количество пальцев, показываемое вторым
человеком. После того, как пальцы показаны и названы числа,
происходит распределение выигрышей по следующим правилам: если
оба угадали, сколько пальцев показал каждый человек, то фиксируется
ничья – выигрыш – нуль у каждого человека; если оба не угадали,
сколько пальцев показал каждый человек, то также фиксируется
ничья; если только один человек угадал, сколько пальцев показал
второй человек, то он (угадавший) получает выигрыш за счет второго
(неугадавшего) в виде денег или очков пропорционально сумме
пальцев, показанных обоими участниками игры.
3. Каждому из игроков выдается по бубновому и трефовому
тузу. Игрок 1 получает также бубновую двойку, а игрок 2 – трефовую.
При первом ходе игрок 1 выбирает и откладывает одну из своих карт,
а игрок 2, не зная карты, выбранной игроком 1, также откладывает
одну из своих карт. Если были отложены карты одной масти, то
выигрывает игрок 1, в противном случае выигравшим считается игрок
2. Если отложены две двойки, выигрыш равен нулю. Размер выигрыша
определяется картой, отложенной победителем (тузу приписывается
одно очко, двойке – два).
4. Военная игра. Имеется два противника и две позиции. Один
противник – это полковник, второй – генерал. У полковника имеется
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]