Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
31
Решая полученные задачи, например, по алгоритму симплекс-
2
1
2
1
3
2
1
111
2
1
321321
1
qqqppp
v
3
1
1
3
2
1
1
vv
)0;
3
2
;
3
1
()0
3
2
;1
3
2
;
213
2
(
)
3
2
;
3
1
;0()1
3
2
;
213
2
;0
3
2
(
4523
6426
5842
А
метода с помощью инструмента «Поиск решения» в ППП Excel,
получаем
(q1, q2, q3) = (0;
; 1), (p1, p2, p3) = (
; 1; 0).
Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А1 равна
,
а игры с исходной платёжной матрицей А:
.
При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид
Х = (х1, х2, х3) = (uр1; uр2; uАр3) =
.
Y = (y1, y2, y3) = (uq1; uq2; uq3) =
.
Пример 2
Задание. Дана матрица игры. Привести игру к задаче линейного
программирования. Решить игру в смешанных стратегиях:
Решение
Игра имеет большую размерность, попробуем ее уменьшить,
выделив невыгодные стратегии и вычеркнув их из матрицы
(выполняем доминирование):
1). все элементы столбца В3 больше или равны элементам
столбца В2, поэтому вычеркиваем столбец В3:
32
423
626
542
23
26
42
26
42
26
42
А
min)(
21
ppXF
.0
124
162
21
21
i
p
pp
pp
2). все элементы столбца В4 больше или равны элементам
столбца В2, поэтому вычеркиваем столбец В4:
3). так как все элементы строки А3 меньше или равны элементам
строки А2, вычеркиваем строку А3:
Получили матрицу (А1, А2, В1, В2):
Составим пару симметричных двойственных задач так, чтобы
исходная задача была стандартной задачей максимизации, матрица
коэффициентов совпадала с платежной матрице A, а коэффициенты
при неизвестных в целевой функции и свободные члены неравенств
были бы равны единице.
Прямая задача
,
.
33
Обратная задача
max)(
21
qqYF
.0
126
142
21
21
i
q
qq
qq
10
1
1
q
5
1
2
q
10
3
,
5
1
1
p
10
1
2
p
10
3
,
3
10
)(
1
XFv
.
3
2
5
1
3
10
;
3
1
10
1
3
10
21
xx
.
3
1
10
1
3
10
;
3
2
5
1
3
10
21
yy
)0;0;
3
1
;
3
2
(),(
21
xx
)0;0;
3
2
;
3
1
(),(
21
yyY
.
3
10
v
,
Находим
,
, F(Y)=
.
, F(X) =
.
Из решений пары двойственных задач получим цену игры и
оптимальные стратегии игроков:
Оптимальные стратегии для исходной игры:
Х=
,
, цена игры
34
Задачи для самостоятельного решения
2 5 -4
-1
-3 0 -1
0
-3
-1
-3
-1 1 1
-4
-4 2 4
-5
-1
2116
4354
3260
2410
036
412
606
428
214
310
214
128
142740
35153
242220
35152
34170
3
-2
0
-2 0 0 2 1
4
-2 3 4 4 1 1 3 1 3 2 4
0
-2 1 0
0
-1
-2 4 1 1 0 0 1 4 4
1
-1 0 2 2 2 5 -2
-1 0 1
-1 0 -3
-1
1
4 3 3
-1
-1 3 0
1
-2
-3 0 2
-3 0 1 3 -3 1 0 3 3 2 1 3 2 3 3 2 0 1 0
-1
2 1 1
2
Задание 1. Используя понятие доминирования, уменьшить
размеры матриц и найти решение.
1. 2.
3. 4.
5. 6. 6.
Задание 2. Составить двойственные ЗЛП и найти решение
матричных игр с помощью инструмента «Поиск решения» MS Excel.
а)
; б)
; в)
; г)
Задание 3. Составить двойственные ЗЛП и найти решение
матричных игр с помощью инструмента «Поиск решения» MS Excel
для задач 2, 3, 5 и 7 из лабораторной работы 1. Какое решение должно
быть принято в каждом из этих случаев?
35
Лабораторная работа 5
ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ
Цель работы: изучить понятие позиционных игр, освоить
процесс их нормализации, графического представления и решения.
Естественным расширением матричной игры двух игроков с
нулевой суммой является позиционная игра, в которой может
принимать участие более двух (конечное число) игроков, каждый из
них может последовательно делать конечное число ходов, некоторые
ходы могут быть случайными, а сведения о них могут меняться от
хода к ходу.
Такие игры могут быть формализованы, т.е. определенным
образом преобразованы в игру, эквивалентную некоторой матричной
игре двух игроков с нулевой суммой. Процесс сведения позиционной
игры к матричной называется нормализацией, а полученная матричная
игра – игрой в нормальной форме.
В исследовании позиционной игры большую пользу приносит
наглядное графическое изображение конкретной позиционной игры в
виде так называемого дерева игры.
Деревом позиционной игры называется плоская фигура,
состоящая из узлов и конечного числа направленных вниз
прямолинейных отрезков, соединяющих эти узлы, каждый узел
обозначается цифрой, соответствующей номеру игрока, делающего
ход, и изображает ход этого игрока, поэтому каждому ходу
соответствует набор узлов, расположенных на одном определенном
уровне. Дерево игры удобно изображать так, что на самом верхнем
уровне имеется только один узел – основание дерева, каждый узел
соединяется только с одним узлом на более высоком уровне, каждый
прямолинейный отрезок означает выбор, сделанный игроком на
данном ходе, и обозначается номером, соответствующим сделанному
выбору. Если в игре используется ход, осуществляемый не игроком, а
случайным механизмом, то обычно узлу, соответствующему данному
ходу, присваивается номер «0» (нуль).
Вершинами (самыми нижними частями) дерева являются
окончания прямолинейных отрезков, исходящих из узлов последнего
уровня. Ветвью дерева называется ломаная линия, состоящая из
прямолинейных отрезков дерева, которая начинается в самом верхнем
узле и идет вниз последовательно через соответствующие узлы до
36
вершины дерева. Каждая ветвь дерева отображает партию игры. Для
А
А
А
А
В
В
А
изображения необходимых сведений о сделанных выборах при
определенных ходах игроков на дереве игры отмечают пунктиром так
называемые информационные множества узлов определенного игрока.
В каждое информационное множество входят только неразличимые
для игрока узлы, т.е. только те узлы, для каждой пары из которых
соответствующий игрок не может точно указать, в какой точке дерева
он находится, делая этот ход.
Пример 1
Игра состоит из трех ходов, которые делают два игрока. Первый
ход делает первый игрок A: он выбирает число x из множества двух
чисел {1, 2}. Второй ход делает игрок B: зная, какое число x выбрано
игроком B в первом ходе, он выбирает число y из множества двух
чисел {1, 2}. Третий ход делает игрок A: зная, какое число y выбрал
игрок B, и помня, какое число x он выбрал при первом ходе, выбирает
число z из множества двух чисел {1, 2}. На этом игра заканчивается и
происходит распределение выигрышей, второй игрок B платит
первому сумму, определенную функцией W (x, y, z), где W задана
следующим образом:
W (1, 1, 1) =2, W (1, 1, 2) =1, W (1, 2, 1) = 3, W (1, 2, 2) =4;
W (2, 1, 1) =5, W (2, 1, 2) =2, W= (2, 2, 1) =2, W (2, 2, 2) = 6.
Графическое представление позиционной игры приведено
на рис. 3.
Рис. 3
Поскольку первый ход делает первый игрок А, то самый
верхний узел соответствует ходу первого игрока и обозначен буквой
37
А. Из этого узла исходят два отрезка (ветви), соответствующие выбору
1 или 2, которые обозначены соответственно цифрами 1 и 2. Второй
ход делает второй игрок В, поэтому узлы второго уровня обозначены
буквой В. Поскольку второму игроку известен выбор первого игрока
на первом ходе, то он, делая свой ход, знает, в каком месте дерева (на
какой ветви дерева) находится. Если первый игрок на первом ходе
выбрал число 1, то второй игрок находится на левой ветви дерева, если
же первый игрок на первом ходе выбрал число 2, второй находится на
правой ветви дерева. Таким образом, левый узел с буквой В образует
отдельное информационное множество. Аналогично и правый узел с
буквой В также образует информационное множество. Поскольку
третий ход делает первый игрок, то третий уровень узлов обозначен
буквой А.
Первый игрок, делая третий ход, помнит о своем выборе на
первом ходе, и поэтому он знает, на какой ветви дерева находится
второй игрок, делая второй ход.
Далее, так как первому игроку известен выбор второго игрока,
то он точно знает, в каком месте дерева сам находится, делая выбор на
третьем ходе. Поэтому каждый узел третьего уровня образует
отдельное информационное множество.
Каждая партия игры представляется на дереве в виде отдельной
ветви, которая идет от самого верхнего узла через один узел каждого
уровня и заканчивается одной нижней точкой. Всего может быть
восемь возможных партий (по количеству самых нижних точек).
Любая партия игры характеризуется точкой, координата которой
соответствует выбору определенного игрока. Всего может быть 8
точек (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1),
(2, 2, 2). Каждой точке соответствует выигрыш первого игрока
согласно функции W (x, y, z). Часто под каждой нижней точкой
проставляют выигрыш первого игрока в соответствующей партии
(рис. 3).
Позиционная игра, в которой игрок, делающий ход, в любой
точке любой партии точно знает, какие выборы были сделаны раньше,
называется позиционной игрой с полной информацией. Такой игрой
является игра, рассмотренная в Примере 1.
После того, как позиционная игра приведена в нормальную
форму, т.е. сведена к матричной игре, ее можно решать всеми
методами, применимыми к матричным играм.
38
Для сведения вышеприведенной позиционной игры к
),,(21iii
нормальной форме воспользуемся понятием стратегии игрока (набора
правил и указаний), как надо поступать ему во всех мыслимых
ситуациях или при любом мыслимом состоянии информации,
получаемой в любой момент игры. Рассмотрим сначала мыслимые
стратегии второго игрока. Ясно, что у него имеется возможность
выбора одного из двух чисел 1 или 2, т.е. имеются две возможности.
Кроме того, у него есть информация о выбранном числе x при первом
ходе, следовательно, он, выбирая число y, может учитывать или не
учитывать эту информацию, поэтому для каждого y имеется еще два
значения x, т.е. всего четыре стратегии:
первая – выбирать у=1, не взирая на x;
вторая – выбирать у=2, не взирая на x;
третья – выбирать y = x;
четвертая – выбирать у=1, х=2 и выбирать у=2, если х=1.
Другими словами, у второго игрока столько стратегий, сколько
имеется способов отображения множества {1, 2} в себя.
Стратегия для первого игрока должна учитывать результаты
сделанных ранее выборов. При каждом выборе на первом ходе может
быть два выбора на втором ходе, т.е. уже имеются четыре варианта, а
при каждом из этих вариантов может быть сделано два выбора, т.е.
всего 8 возможных стратегий. Обозначим через
первого игрока, где i означает выбор первым игроком на первом ходе;
i1 – выбор первым игроком на третьем ходе, если второй игрок на
втором ходе выбрал число 1; i2 – выбор первым игроком на третьем
ходе, если второй на втором ходе выбрал число 2.
Например, (1, 2, 1) означает следующую стратегию первого
игрока: на первом ходе он выбирает число 1 (первая цифра в скобках),
а на третьем ходе он выбирает число 2, стоящее на втором месте в
скобках, если второй игрок на втором ходе выбрал число 1; если же
второй игрок на втором ходе выбрал число 2, то первый игрок на
третьем ходе должен выбрать число 1, стоящее на третьем месте в
скобках.
Выигрыши первого игрока определяются так: пусть, например,
первый игрок применяет стратегию (1, 2, 1), а второй – первую
стратегию, тогда из (1, 2, 1) следует, что x=1. Далее, второй игрок, не
взирая на x, выбирает y=1, а из (1, 2, 1) следует, что первый игрок
стратегию
39
выберет z=2. Получится выигрыш W(x,y,z)=W(1,1,2)= -1. Аналогично
В
1
В
2
В
3
В
4
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(2,2)
А
1
(1, 1, 1)
W(1, 1, 1) = -2
W(1, 2, 1) = 3
W(1, 1, 1) = -2
W(1, 2, 1) = 3
А
2
(1, 1, 2)
W(1, 1, 1) = -2
W(1, 2, 2) = -4
W(1, 1, 2) = -2
W(1, 2, 2) = -4
А
3
(1, 2, 1)
W(1, 1, 2) = -1
W(1, 2, 1)= 3
W(1, 1, 2) = -1
W(1, 2, 1) = 3
А
4
(1, 2, 2)
W(1, 1, 2) = -1
W(1, 2, 2)= -4
W(1, 1, 2) = -1
W(1, 2, 2) = -4
А
5
(2, 1, 1)
W(2, 1, 1) = 5
W(2, 2, 1) = 2
W(2, 2, 1) = 2
W(2, 1, 1) = 5
А
6
(2, 1, 2)
W(2, 1, 1) = 5
W(2, 2, 2) = 6
W(2, 2, 2) = 6
W(2, 1, 1) = 5
А
7
(2, 2, 1)
W(2, 1, 2) = 2
W(2, 2, 1)= 2
W(2, 2, 1) = 2
W(2, 1, 2) = 2
A8
(2, 2, 2)
W(2, 1, 2) = 2
W(2, 2, 2)= 6
W(2, 2, 2) = 6
W(2, 1, 2) = 2
2662
2222
*566*5
5225
4141
3131
4242
3232
А
рассчитываются остальные выигрыши.
Приведем матрицу выигрышей первого игрока в зависимости от
применяемых стратегий:
В этой таблице столбцы соответствуют стратегиям второго
игрока, а строки – стратегиям первого игрока. Таким образом,
позиционная игра свелась к матричной игре двух игроков с нулевой
суммой и матрицей A:
имеется две седловые точки, отмеченные звездочкой (рис. 3).
Оптимальная стратегия первого игрока (2, 1, 2) состоит в выборе числа
х=2 на первом ходе и числа z – на третьем ходе, равного числу y,
Исследуя эту игру обычными способами, приходим к решению:
40
выбранного вторым игроком на втором ходе. У второго игрока
имеются две оптимальные стратегии: первая и четвертая, т.е. выбирать
у=1, не взирая на x, или выбирать y, отличное от x. Цена игры равна 5.
Если в позиционной игре принимает участие n игроков, то
нормальная форма игры представляет собой n-мерную матрицу
n-мерных векторов.
В случае n=2 нормальная форма изображается плоской
матрицей, элементами которой являются пары вещественных чисел.
Пример 2
Дать графическое изображение, привести к нормальной форме и
найти решение ниже следующей игры.
Ход 1. Первый игрок выбирает число x из множества двух чисел
{1, 2}.
Ход 2. Второй игрок выбирает число y из множества двух чисел
{1, 2}, не зная значения x.
Ход 3. Первый игрок выбирает число z из множества двух чисел
{1, 2}, не зная значений ни x, ни y.
После того, как сделаны все три хода, второй игрок платит
первому игроку сумму W(х, у, z), заданную следующим образом:
W (1, 1, 1) =-2, W (1, 1, 2) =-1, W (1, 2, 1) = 3, W (1, 2, 2) =-4,
W (2, 1, 1) =5, W (2, 1, 2) =2, W= (2, 2, 1) = 2, W (2, 2, 2) = 6.
Решение
Построим дерево позиционной игры. Оно состоит из узлов и
конечного числа направленных вверх прямолинейных отрезков,
соединяющих эти узлы, каждый узел обозначается цифрой,
соответствующей номеру игрока, делающего ход, и изображает ход
этого игрока, поэтому каждому ходу соответствует набор узлов,
расположенных на одном определенном уровне.
На самом низшем уровне имеется только один узел – основание
дерева, каждый узел соединяется только с одним узлом на низшем
уровне, каждый прямолинейный отрезок означает выбор, сделанный
игроком на данном ходе, и обозначается номером, соответствующим
сделанному выбору.
Если в игре используется ход, осуществляемый не игроком, а
случайным механизмом, то обычно узлу, соответствующему данному
ходу, присваивается номер 0 (нуль).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]