Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
11
4 полка, у генерала – 3 полка. Каждый из этих противников хочет
n
DDD ...,,
21
n
RRR ...,,
21
ij
a
занять данные позиции. Взятие позиции оценивается выигрышем в
единицу. Каждый из противников может послать на любую позицию
только целое число полков или совсем не посылать. Позиция
считается занятой тем, кто послал на нее больше полков, и выигрыш
составляет единицу за счет взятия позиции плюс количество единиц,
совпадающее с количеством полков противника, не занявшего
позицию. Если у позиции оказывается одинаковое число полков
полковника и генерала, то никто не выигрывает, выигрыш обоих
составляет 0. Общий выигрыш каждого участника равен сумме его
выигрышей у обеих позиций, и то, что получил один из противников,
считается потерей для другого.
5. Фирма изготавливает железобетонные панели, используя в
качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенным спросом
на изделия, потребность в сырье в течение месяца также не
определена. Цемент поставляется в мешках, причем известно, что
потребность может составлять
складе могут составлять
мешков в месяц. Учитывая, что
мешков. Резервы сырья на
удельные затраты на хранение сырья равны с1, а удельные издержки
дефицитности сырья (потери, связанные с отсутствием необходимого
количества цемента на складе) равны с2, определить оптимальную
стратегию управления запасами цемента на складе. Рассмотреть
частный случай: n = 5, с1 = 5, с2 = 3;
D = (1500, 2000, 2500, 3500, 4000), К = (1500, 2000, 2500,
3 500, 4000).
6. Игрок 2 прячет некоторый ценный предмет в одном из n мест,
а игрок 1 этот предмет ищет. Если он его находит, то получает сумму
, где i = 1, 2,..., n, в противном случае не получает ничего.
7. Два игрока независимо друг от друга называют по одному
числу из диапазона 1-5. Если сумма чисел нечетная, то игрок 2 платит
игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то
платит игрок 1.
12
8. Два игрока имеют по n рублей и предмет ценою c>0. Каждый
игрок делает заявку в запечатанном конверте, предлагая i руб. (где i –
одно из целых чисел от 0 до n) за предмет. Записавший большее число
получает предмет и платит другому предложенную им сумму. Если
оба игрока заявляют одинаковую сумму, то предмет назначается без
компенсирующего одностороннего платежа одному из игроков путем
бросания монеты, так что ожидаемая доля каждого в предмете
составляет в этом случае половину с. Постройте платежную матрицу
игры и определите, имеет ли игра седловую точку.
13
Лабораторная работа 2
mnmm
n
aaa
a
aaa
A
21
21
11211
...
1,0 , x,… , x,x=X
1
m21
mi
ii
xx
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ
Цель работы: освоить поиск решения матричных игр в
смешанных стратегиях, а также графический метод решения
матричных игр.
Решение матричных игр в смешанных стратегиях
Исследование любой матричной игры начинается с нахождения
верхней
и нижней цены игры. Если они совпадают, игра имеет
седловую точку и решение сразу известно. Но далеко не каждая
матричная игра имеет седловые точки. Если же в матричной игре нет
седловой точки, то есть
, то это означает, что игрок А может
обеспечить себе выигрыш, не меньший, чем , а игрок В имеет
возможность не дать ему больше, чем β. Поэтому логично
предположить, что равновесный выигрыш игроков будет находится
где-то в интервале от до β.
Смешанной стратегией игрока называется полный набор
вероятностей применения его чистых стратегий.
Для матрицы игры
игрок А имеет m чистых стратегий. Тогда его смешанная стратегия
может быть описана набором m неотрицательных чисел x1, x2, …, xm,
сумма которых равна 1:
. (1)
Аналогично для второго игрока, который имеет n чистых
стратегий, смешанная стратегия Y – это набор чисел y1, y2, …, yn,
удовлетворяющих соотношению
14
1,0 ,y ,… ,y ,y=Y
1
n21
nj
jj
yy
. (2)
0 , ... 1,… 0, 0,=X
min
j
jiij
yxaYXH
1 1
),(
),(maxmin YXH
X
Y
),(minmax YXH
Y
X
),(),(minmax),(maxmin
OptOpt
Y
XX
Y
YXHYXHYXH
Тогда любую чистую стратегию можно представить как частный
случай смешанной стратегии. Чистую стратегию Ai можно
рассматривать как смешанную стратегию
, где
стратегия Ai применяется с вероятностью 1, а все остальные – с
вероятностями 0.
Необходимо отметить, что каждый игрок применяет свои
стратегии независимо от выбора другого игрока.
Средний выигрыш первого игрока в матричной игре с матрицей
А выражается в виде математического ожидания его выигрышей
(3)
Очевидно, что средний выигрыш первого игрока есть функция
двух наборов переменных X и Y. Первый игрок имеет целью за счет
применения своих смешанных стратегий X максимально увеличить
свой средний выигрыш Н(X, Y), а второй – за счет своих смешанных
стратегий стремится сделать выигрыш игрока А минимальным. То
есть для решения игры необходимо найти такие наборы X и Y, при
которых достигается верхняя цена игры
(4)
С другой стороны, ситуация должна быть аналогичной
относительно второго игрока т.е. нижняя цена игры должна быть
(5)
По аналогии с играми, имеющими седловые точки в чистых
стратегиях, вводится следующее определение: оптимальными
смешанными стратегиями первого и второго игроков называются
такие наборы X
Opt
Opt
и Y
, которые удовлетворяют равенству
(6)
15
Величина , получаемая по этой формуле, называется ценой
),(
OptOpt
YXH
Opt
Opt
Opt
Opt
mnmm
n
OptOptOptOpt
x
x
x
x
aaa
a
aaa
yyyy
2
2
2
2
21
21
11211
4321
...
1,,,0
2121
OptOptOptOpt
yyxx
1
21
222112
221111
xx
xaxa
xaxa
1
21
222121
212111
yy
yaya
yaya
игры:
. (7)
Обычно оптимальные смешанные стратегии записываются
следующим образом:
Набор оптимальных смешанных стратегий игроков и цены игры
называется решением матричной игры.
Если матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях, то
смешанные стратегии отличны от нуля и единицы:
. (8)
И тогда решение можно найти через следующие системы:
(9)
. (10)
Решение системы уравнений (9) даст смешанные стратегии
игрока А, а системы (10) – игрока В.
Пример 1
Задание. Определить нижнюю цену игры , верхнюю цену игры
Проверить наличие седловых точек в данной матричной игре:
.
16
.
,4)6,4,1,1(maxminmaxmax
i
ji
j
i
i
i
a
.5)6,7,8,5(minmaxminmin
j
ji
i
j
j
j
a
64
15
A
21
,xxX
21
, yyY
2
1
21
64
15
x
x
A
yy
2111
,aa
21
,xx
2212
,aa
21
,xx
Решение. Проверим наличие седловых точек в матрице игры,
для этого найдем нижнюю и верхнюю цену игры и сравним их
значения. Итак,
соответственно
Так как
, игра седловой точки не имеет.
Пример 2
Задание. Найти решение следующей матричной игры:
α=4, β=5, α≠β – игра не имеет седловой точки.
Обозначим смешанные стратегии игрока А как
игрока В как
, и запишем их сверху и справа от матрицы:
, а
Составляем систему уравнений для первого игрока.
Для составления первого уравнения надо найти сумму
произведений элементов первого столбца матрицы
с
столбца
. Второе уравнение – это произведение элементов второго
на
. Третье уравнение записываем согласно
на столбец
условию (10). Таким образом, имеем систему из трех уравнений с
тремя неизвестными:
17
.
3
13
;
3
2
;
3
1
.1
;6
;45
2121
21
21
vxxxx
vxx
vxx
21,ii
aa
21
, yy
3
13
;
6
1
;
6
5
.1
;64
;
2121
21
21
vyyyy
vyy
vyy
3
13
v
6
1
;
6
5
,
3
2
;
3
1
00
YX
21
03
A
.1;
2
1
;
2
1
1
20
13
21
21
21
21
vxx
xx
vxx
vxx
Составляем систему уравнений для второго игрока. Вторая
система получается путем умножения элементов строк
:
на
Таким образом, цена игры
стратегии игроков соответственно равны
Пример 3
Задание. Найти решение следующей матричной игры.
α= -1, β=2, α≠β – игра не имеет седловой точки.
Составляем соответствующую систему неравенств для первого
игрока и находим её решение:
, а полученные оптимальные
.
18
Далее составляем соответствующую систему неравенств для
.1;
3
2
;
3
1
1
21
03
21
21
21
21
vyy
yy
vyy
vyy
3
2
;
3
1
,
2
1
;
2
1
00
YX
1v
28
51
A
2)min(max
21
21
ij
j
i
a
5)max(min
21
21
ij
i
j
a
21
,xxX
.1
25
8
21
21
21
xx
vxy
vxx
определения стратегии второго игрока и определяем ее решение:
Решением игры являются следующие смешанные стратегии:
c ценой игры, равной
. То есть игроку А
для реализации своих оптимальных стратегий надо в половине случаев
использовать одну стратегию, а в половине – другую. Тогда средний
выигрыш обоих игроков составит 1.
Пример 4
Задание. Найти решение игры, заданной матрицей
.
Решение
Проверим матрицу на наличие седловой точки:
,
.
Так как 2≠5, то решением игры будут смешанные стратегии, а
цена игры 2≤v≤5.
Пусть
– оптимальная стратегия первого игрока,
тогда при 1 стратегии второго игрока получаем, что x1+8x2=v, а при
применении им 2 стратегии 5х1+2х2=v. Добавим еще одно условие
x1+x2=1, и получим систему уравнений
19
Решение полученной системы:
.8,3
4,0
6,0
2
1
v
x
x
21
, yyY
.1
28
5
21
21
21
yy
vyy
vyy
.8,3
7,0
3,0
2
1
v
x
x
40
21
14
32
13
32
31
1348
2517
1432
1231
Пусть
– оптимальная стратегия второго игрока,
тогда при 1 стратегии первого игрока получается, что y1+5y2=v, а при
применении им 2 стратегии 8y1+2y2=v. Добавим еще одно условие
x1+x2=1, и получим систему уравнений
Решение полученной системы:
Итак, решением игры являются следующие смешанные
стратегии X= (0,6; 0,4) и Y= (0,3; 0,7) с ценой игры, равной v=3,8.
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1. Для приведенных задач определить:
- нижнюю цену игры ;
- верхнюю цену игры ;
- чистую цену игры
, седловые точки и чистые оптимальные
стратегии игроков, если они есть:
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
20
5.
43271
24123
26153
73121
10
36
65
94
13
13
57
31
Задание 2. Найти решение следующих матричных игр.
1.
; 2.
; 3.
; 4.
Задание 3. Решить задачу 8 из работы 1.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]