Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория риска. Лабораторный практикум
.pdf
51
где
]1;0[p
i
X
ij
j
аmin
ij
j
аmax
ij
j
ij
j
i
арvрН max)1(min
1
X
5
25
15
2
X
7
23
15
3
X
12
21
16,5
4
X
15
30
22,5
– коэффициент пессимизма. При р=0 критерий Гурвица
совпадает с максимаксным критерием, а при р=1 – с критерием Вальда.
Воспользуемся критерием Гурвица для решения Примера 1 при
a = 0,5. Результаты расчетов приведены ниже в таблице:
Согласно результатам расчетов, оптимальное значение по
критерию Гурвица равно 15 и обеспечивается допустимыми
решениями X1 и X2.
Задачи для самостоятельного решения
Задание
Для следующих задач определить оптимальные стратегии:
1) по критерию Лапласа;
2) по критерию Вальда;
3) по максимаксному критерию;
4) по критерию Сэвиджа;
5) по критерию Гурвица для р=0,6; р=0; р=1.
Какую стратегию следует рекомендовать к применению?
Задача 1
Компания изучает возможность производства нового товара.
Этот проект может быть реализован на большой или малой
производственной базе. Рынок для реализации продукта может быть
благоприятным и неблагоприятным. Кроме того, компании вообще
может быть не выгодно производить товар.
При благоприятном рынке большое производство позволило бы
получить прибыль 200 тыс. руб., малое ‒ 100 тыс. руб. При
неблагоприятном рынке убыток от большого производства составит
180 тыс. руб., от малого ‒ 20 тыс. руб.
52
Задача 2
Численность населения, тыс. чел
Магазин
Более 100
50-100
20-50
10-20
Менее 10
Большой
15
10 0 -6
17
Средний
7
19
10 2 0
Маленький
3
14 8 9
2
Ларек 1 5
14
20
-3
s1
s2
s3
a1
85
60
40
a2
92
85
81
a3
100
88
82
Необходимо принять решение о строительстве магазина в
строящемся микрорайоне. Магазин может быть большим, средним,
маленьким, либо ларьком. Население микрорайона меняется. Имеются
следующие предполагаемые данные о доходах в зависимости от
размеров магазина и численности населения:
Задача 3
Хенк ‒ прилежный студент, который обычно получает хорошие
отметки. Перед завтрашним экзаменом Хенк столкнулся с небольшой
проблемой. Его однокурсники организовали вечеринку на всю ночь, в
которой он хочет участвовать. Хенк имеет три альтернативы:
1) а1 ‒ участвовать в вечеринке всю ночь;
2) а2 ‒ половину ночи участвовать в вечеринке, а половину –
учиться;
3) а3 ‒ учиться всю ночь.
Профессор, принимающий завтрашний экзамен, непредсказуем, и
экзамен может быть легким (s1), средним (s2) или трудным (s3).
В зависимости от сложности экзамена и времени, затраченного Хенком
на повторение, можно ожидать следующие экзаменационные баллы:
а) Порекомендуйте Хенку, какой выбор он должен сделать
(основываясь на каждом из критериев).
б) Предположим, что Хенк более заинтересован в оценке (в
буквенном выражении), которую он получит на экзамене. Буквенным
оценкам от А до D, означающим сдачу экзамена, соответствуют 90, 80,
70 и 60 баллов. Иначе при числе баллов ниже 60 студент получает
оценку F, которая свидетельствует о том, что экзамен не сдан.
Изменит ли такое отношение к оценкам выбор Хенка?
53
Лабораторная работа 7
n
j
ijj
mi
ap
1
,1
max
n
j
ijj
mi
rp
1
,1
min
nj
ijj
ap
1
Решение
Состояния природы (спрос)
1 2 3 4
ОДО
1
0
-7
-15
-8
-5,1
2
-6
5,5
10
-3,5
0,85
3
-10
-1,5 9 1
-3,625
4
-14
-5 1 4,5
-7,675
0,45
0,35
0,15
0,05
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА
Цель работы: освоить методы принятия решения в условиях риска.
Методы принятия решения в условиях риска разрабатываются и
обосновываются в рамках теории статистических решений. В том
случае, когда вероятности состояний природы известны (определены
экспериментально либо проведены исследования), решение обычно
принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего
выигрыша или минимума ожидаемого среднего риска.
Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной
матрицей А, стратегиям природы Пj соответствуют вероятности pj то
лучшей стратегией игрока А будет та, которая обеспечивает ему
максимальный средний выигрыш, т.е.
(35)
.
Применительно к матрице рисков лучшей будет та, которая
обеспечивает минимальный средний риск:
(36)
.
Величина
называется ожидаемой денежной оценкой (ОДО).
Пример 1
Консалтинговая фирма провела исследование спроса на жилье в
новостройках. Было установлено, что четырехкомнатные квартиры
покупают в 5 % случаев, трехкомнатные ‒ в 15 %, двухкомнатные – в 45 %,
однокомнатные ‒ в 35 %, тогда сводная матрица будет иметь вид:
54
Лучшей является стратегия А2 – строить двухкомнатные квартиры.
n
j
jij
i
n
j
jij
i
papa
11
max)max(
jpQ 4205000
2
07.0212 QQS
4,26205000 pQ
20
4,5026Q
p
Часто при принятии решений в условиях риска необходимо
провести дополнительное исследование рынка. Но такое
исследование, как правило, стоит достаточно дорого. Поэтому часто
возникает дилемма: стоит ли его проводить.
Под ожидаемой ценностью достоверной информации
понимается разность между выигрышем в условиях определенности и
выигрышем в условиях риска:
(37)
.
Пример 2
Задание
1. Получить решение задачи аналитически.
2. Проверить решение с помощью Поиска решения в MS Excel.
Спрос на автомобили китайского производства определяется
зависимостью
,
где j – достоверно неизвестный уровень дохода потребителей, p ‒ цена
автомобиля. По оценкам экспертов j=6 с вероятностью 0,7 и j=8 с
вероятностью 0,3. Полные затраты (S) на производство товара
определяются зависимостью
.
Какое количество автомобилей должен выпускать
производитель, и по какой цене продавать, чтобы максимизировать
свою ожидаемую прибыль?
Решение
Прибыль = количество∙цена ‒ затраты.
ОДО (уровень дохода потребителей j) = 6∙0,7 + 8∙0,3 = 6,6.
;
;
55
П
SQQS
QQ
SQ
Q
204.5026
20
4.5026
20
4.5026
2
2
max2404.24.4986)Q0,07+Q2+12(204.5026
222
QQQQ
,08,44,4986 Q
dQ
dП
1039,1038,833
8,4
4,4986
Q
08,4
2
2
dQ
Пd
p=
199,3783
Цена автомобиля
j=
6,6
уровень дохода
Q=
1039
спрос, количество автомобилей
S=
77631,9
затраты
Прибыль=
129489
‒ max.
Прибыль равна 129488,96 ден. ед.
Поиск решения
;
Пример 3
Задание
1. Построить платежную матрицу.
2. Рассчитать ожидаемую денежную оценку каждого из
решений и выбрать лучшее.
3. Оценить меру риска с помощью среднеквадратичного
отклонения и вариабельности.
4. Определить ожидаемую ценность точной информации.
Магазину необходимо закупить зонты на осенний сезон.
Количество хранимого товара ограничено и составляет 100 шт. За
осень товар должен быть полностью раскуплен, поскольку зимой
склад заполняется другим сезонным товаром. Покупать зонты можно
летом (дешевле) и осенью (дороже). Имеются следующие данные о
количестве и ценах на зонты осенью:
56
Осень
Количество
зонтов, шт.
Средняя цена за 1 шт.,
ден. ед.
Сухая
20
14
Умеренные осадки
70
15
Дождливая
100
17
Цена одного зонта летом составляет 12 ден.ед.
Осень
Сухая
Умеренные осадки
Дождливая
Сухая
20∙12 = 240
20∙12+50∙15 = 990
20∙12+80∙17 = 1600
Умеренные
осадки
70∙12 = 840
70∙12 = 840
70∙12+30∙17 = 1350
Дождливая
100∙12 = 1200
100∙12 = 1200
100∙12 = 1200
0,1
0,5
0,4
Осень
Сухая
Умеренные
осадки
Дождливая
ОДО
Сухая
240
990
1600
240∙0,1+990∙0,5+
+1600∙0,4=1159
Умеренные
осадки
840
840
1350
1044
Дождливая
1200
1200
1200
1200
0,1
0,5
0,4
По данным предыдущих наблюдений известно, что вероятность
сухой осени ‒ 0,10; осени с умеренными осадками – 0,5; дождливой – 0,4.
Сколько зонтов следует закупить на осень?
Решение
Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями
игрока являются различные ожидаемые типы осени. Состояниями природы
выступают типы наступившей осени в реальности.
Получим следующую платежную матрицу в игре с природой:
Как видим, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна
1200 ден. ед. Она отвечает закупке зонтов на дождливую осень.
57
Найдем дополнительно среднеквадратичное отклонение как
ϭ
Вариабельность
844561
28561
194481
176529
420,1535
0,362514
41616
41616
93636
62424
249,848
0,239318
0 0 0 0 0
0
jpQ 55100
меру риска и вариабельность (отношение среднеквадратичного
отклонения к математическому ожиданию):
Покупать зонты следует в расчете на умеренные осадки в
осенний сезон, так как при почти одинаковой ОДО
среднеквадратичное отклонение для осени с умеренными осадками в
1,5 раза меньше, что и видно по вариабельности.
Пример 4
Предположим, что в условиях предыдущей задачи имеется
частная метеорологическая исследовательская станция, которая
занимается исследованием климата и погоды. Она может предсказать,
какой тип осени скорее всего ожидается. Фирма просит за свои услуги
30 ден. ед. Следует ли заказать проведение исследования?
Найдем выигрыш в условиях определенности. Если мы
угадываем типы осени и закупаем нужное количество зонтов, то
минимальными затратами будут 240, 840 и 1200 ден. ед.
соответственно для каждого типа осени. Тогда ожидаемые средние
затраты будут 240∙0,1+840∙0,5+1200∙0,4=924 ден. ед.
Если мы не знаем, какая будет погода, то минимальные затраты
составят 1044 ден. ед.
Разница 924 ‒ 1044 = -120 ден. ед. То есть, в среднем
использование достоверной информации может дать дополнительный
эффект в 120 ден. ед. В этих условиях платить за достоверную
информацию 30 ден. ед. имеет смысл.
Задачи для самостоятельного решения
монополистом, определяется зависимостью
Задача 1. Спрос на некоторый товар, производимый
,
58
где j ‒ достоверно неизвестный уровень дохода потребителей; p ‒ цена
Зима
Количество угля, т
Средняя цена за 1 т, ден.ед.
Мягкая 4 7
Обычная 5 7,5
Холодная 6 8
товара. По оценкам экспертов j=2 с вероятностью 0,6 и j=4 с
вероятностью 0,4. Полные затраты (S) на производство товара
определяются зависимостью
S = 5 + 4Q + 0,05Q2.
Сколько товара должен выпускать монополист, и по какой цене
продавать, чтобы максимизировать свою ожидаемую прибыль?
1. Получить решение задачи аналитически.
2. Проверить решение с помощью Поиска решения в MS Excel.
Для задач 2-4:
3. Построить платежную матрицу.
4. Рассчитать ожидаемую денежную оценку каждого из
решений и выбрать лучшее.
5. Оценить меру риска с помощью среднеквадратичного
отклонения и вариабельности.
6. Определить ожидаемую ценность точной информации.
Задача 2. Необходимо закупить уголь для обогрева дома.
Количество хранящегося угля ограничено и составляет 6 т. Уголь за
зиму должен быть полностью израсходован (летом уголь пропадает).
Покупать уголь можно летом (дешевле) и зимой (дороже). Имеются
следующие данные о количестве и ценах на уголь зимой:
Цена угля летом составляет 6 ден. ед.
По данным предыдущих наблюдений известно, что вероятность
мягкой зимы ‒ 0,35; обычной – 0,5; холодной – 0,15. Сколько следует
закупить угля на зиму?
59
Задача 3. Магазин «Молоко» продает в розницу молочные
продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов
сметаны следует закупить у производителя для торговли в течение
недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение недели
будет 7, 8, 9 или 10 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1.
Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 70 руб., а
продается сметана по цене 110 руб. за бидон. Если сметана не
продается в течение недели, она портится и магазин несет убытки.
Сколько бидонов сметаны желательно приобретать для продажи?
Задача 4. В производственном процессе партии товаров,
имеющие 8, 10, 12 и 14 % брака, выпускаются с вероятностями 0,4,
0,3, 0,25 и 0,05 соответственно. Производитель связан контрактами с
тремя потребителями. В контрактах оговорено, что процент брака в
партиях, направляемых потребителям А, В и С, не должен превышать
8, 12 и 14 % соответственно. Если процент брака превышает
обусловленный, то штраф составляет $ 100 за один процент
превышения. С другой стороны, производство партий более высокого
качества, чем требуется, приводит к увеличению затрат производителя
на $ 50 за 1 %. Кто из потребителей будет иметь наибольший
приоритет в выполнении заказа, если партия не проверяется до
отправки?
60
Лабораторная работа 8
Белая область (Б)
Красная область (К)
Легкое вращение (Л)
800
200
Сильное вращение (С)
-2500
1000
АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ
Цель работы: освоить особый графический прием,
позволяющий наглядно представить логическую структуру принятия
решений, на основании которого следует научиться делать анализ и
выбирать наилучшее решение.
Дерево решений – это графическое изображение
последовательности решений и состояний среды с указанием
соответствующих вероятностей и выигрышей для любых альтернатив
и состояний среды.
Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем
случае предполагает выполнение нижеследующих пяти этапов.
Этап 1. Формулирование задачи.
Этап 2. Построение дерева решений.
Этап 3. Оценки вероятностей состояний среды.
Этап 4. Установление выигрышей.
Этап 5. Решение задачи.
Пример 1
Колесо разделено на две области (белую и красную) и
управляется двумя кнопками: сильное и легкое вращение. В белой
области колесо останавливается с вероятностью 0,3. В красной – 0,7.
Ниже представлена таблица возможных выигрышей:
Построим дерево решений (рис. 6).
1) Выбираем первое звено – исходное действие, которое может
развиваться по нескольким «веткам» – вращение колеса.
2) Определяем критерий, по которому далее будет происходить
распределение – кнопка для сильного (С) или легкого (Л) вращения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]